第六章 代数与建模
高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
浙江大学 数学建模第六章初等数学方法建模
分 析 ： 设 6 人 为 A1, A2 ,, A6 ;下 面 分 二 种 情 形 ， 1. A1 至 多 只 和 两 个 人 相 识 ， 不 妨 设 A1 不 认 识 A2 , A3 , A4 ；若 A2 , A3 , A4 互相都认识，则结论成立，若 A2 , A3 , A4 中有两人不认识，则加上 A1 ，有三人互 不 相 识 . 2． A1 至 少 和 三 人 相 识 ， 不 妨 设 A1 认 识 A2 , A3 , A4 ； 若 A2 , A3 , A4 互 不 相 识 结 论 成 立 ， 若 A2 , A3 , A4 有两人相识，加上 A1 则有三人互相认识 。这样，我们就证明了结论成立,这个问题的讨论，我
第一节 有关自然数的几个模型
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N ) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹
果。
问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N ) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人， 这样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即 有两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽 笼”至多为 N 1个，也有结论成立
数学建模经典案例
X射线强度衰减与图像重建的数学原理
I~射线强度 l~物质在射线方向的厚度
I0~入射强度 μ~物质对射线的衰减系数
• 射线强度的衰减 率与强度成正比.
dI I
dl
I I 0e l
• 射线沿直线L穿行, 穿过由
y I0
不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体(人体器官).
l L (x, y)dl)
0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
根据A和b, 由 Ax b 确定像素的衰减系数向量x
m和n很大且m> n, 方程有无穷多解 + 测量误差和噪声
Ax e b 在x和e满足的最优准则下估计x
6.3 原子弹爆炸的能量估计
1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界!
模型应用 x Ax d (I A)x d, x (I A)1d
问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？
求解 总产出对外部需求线性
Δd~d增加1个单位
x的增量 x (I A)1d
若农业的外部需求增加1单位 d (1,0,0,0,0,0)T
• 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部 门的产出水平以满足社会的需求 .
• 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.
• 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合， 应用领域不断扩大 .
建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.
投入产出表
国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
高等代数课件 第六章
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向 量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一 条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的 子空间(6.1,例1)。
例4 F n中一切形如
(1,2 ,,n1,0),i F
的向量作成 F n的一个子空间。
例5 F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项 式全体连同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
第六章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
空间 M n (F)的非空子集。又中M n (F) 的运算是矩阵的
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
+AY =β+β≠β，故
V对A, 的F加n 法不封闭。
定理6.2.2 向量空间W的一个非空子集W是V 的一个子空间的充要条件是对于任意a,b∈F和任意 α,β∈W，都有aα+bβ∈W
二、子空间的交与和
命题1 设W1，W2是向量空间V的二个子空间， 那么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间.
第六章 代数与建模
第六章 代数与建模§1 特征值与特征向量在层次分析法中的应用模型一、层次分析模型的基本原理层次分析法的本质就是多因素的权重确定方法。
设有n 个因素，确定它们相对某个事情、标准之下各自的重要性大小、各自所占的地位的大小的量化。
先分析一种特殊情况之下的权重的存在与确定方法：（1）单位重量大小的石头分解模型：将一个单位重量的石头分成n 块小石头C 1,C 2,…，C n精确称出它们的重量w 1,…w n,则向量就是每一个小石头在整个石头中的权重。
这是非常形象化的概念与意义。
Tn w w w w ),,(21L =为了从总体上显示这些权重以及其重要的性质，权重之间的比较应当是非常有价值的一种数学模型，因此将它们进行两两比较，形成矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A /////////212221212111L M M M M L L 如果记：，则有：Tn w w w w ),,(21L =nw Aw =，这表明权重向量是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。
w 矩阵A 满足，这表明：位置处的元素为所在的行和所在的列上，在对称位置即列、行数相同处的两个元素的乘积，称这种矩阵A 为一致矩阵。
jkij ik a a a .=).(k i 一致矩阵A 的基本性质:1、A 有唯一非零特征值n 2、A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量。
这表明：真正精确的权重，进行两两对比所形成的矩阵，必是一致矩阵。
其基本特点是：有唯一非零特征值n ；A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量，并且在所有特征向量中，归一化的即分量之和为1的特征向量就是相应的权向量。
（2）一般情况下，如果对于各因素的权重不易具体确定时，可以先形成相互的对比量化结果，即权重的对比，这种对比显示了相对分析的模式，也是单一的描述到直接进行关系分析与显示思想的进展。
代数问题几何建模策略
代数问题几何建模策略代数问题几何建模策略代数问题几何建模策略【1】摘要:利用代数问题的几何信息,建立模型,给出一些代数问题的解题策略。
关键词:代数问题几何建模策略代数问题几何建模是根据代数命题蕴含的特征或性质,运用适当数学变换,将代数命题表述为等价的几何命题,再借助几何直观性探寻解题途径,从而解答代数命题的一种方法。
运用这种方法解题,必须审清题意,挖掘明显或隐含的条件,找到恰当的切入点,进行联想、类比,进而转化。
题目I:已知a,b,c,d为正数,,ac=bd,求证a=d,b=c建模策略:从题目本身出发,寻求解答难以找到突破口,注意到,如果把a,b,c,d分别看作两个直角三角形的直角边,,分别表示这两个直角三角形的斜边的平方,建立如图1几何模型。
利用RtABC与RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c。
题目Ⅱ:求的最小值,a、b、c是正数。
建模策略:表达式与两点间距离公式很相似,可将其看作动点M(x、o)到两定点A(o,a),B(c,-b)的距离的和,则只有这三点共线时才可能最小,由平面内三点共线的充要条件或者由三点共线知KMA=KAB,易得,代入原式化简得当且仅当时,取得该值。
可见,代数问题几何建模策略构思精巧,不仅能化繁为简,化抽象为直观,而且能触类旁通,锻炼思维能力,增强学习兴趣。
其关键在于寻找有效的数形结合模型,一般思路是(图2)。
1平面几何建模就是为代数问题建立平面几何模型,像题目I。
代数中的等式和不等式反映出来的是线段间的等量或不等量关系,根据这一特征,可用比较基本的知识点(如直角三角形、相似三角形的有关知识,平行线、圆的切割线、相交弦、射影定理,三角形的边角不等关系,面积总量等于各面积分量之和等)对某些代数问题建立几何模型。
最常见有如下基本模型。
2解析曲线建模题目Ⅴ:解方程建模策略:将原式变形为。
取y2=4,则有。
这恰是以(1,0)、(11,0)为焦点,8为实长轴,中心在(6,0)的双曲线方程。
初中数学代数基本模型教案
初中数学代数基本模型教案教学目标：1. 理解代数基本模型的概念和应用。
2. 学会使用代数基本模型解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 代数基本模型的概念和应用。
2. 使用代数基本模型解决实际问题。
教学难点：1. 理解代数基本模型的概念。
2. 学会使用代数基本模型解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示代数基本模型的例子。
2. 准备一些实际问题，供学生练习使用代数基本模型解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾代数的定义，即用字母表示数和表达式。
2. 提问：代数可以解决哪些问题？二、新课（20分钟）1. 介绍代数基本模型的概念：代数基本模型是指用代数表达式表示实际问题中的数量关系和变化规律。
2. 举例说明代数基本模型的应用：a) 线性模型：y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
例子：一辆汽车以60km/h的速度行驶，每小时增加5km/h的速度，求行驶3小时后的距离。
解答：设行驶时间为t小时，距离为d千米，则d = (60 + 5t)t。
b) 二次模型：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
例子：一个抛物线方程为y = 2x^2 - 3x + 1，求抛物线与x轴的交点。
解答：令y = 0，解方程2x^2 - 3x + 1 = 0，得到x轴的交点为(1/2, 0)和(1, 0)。
3. 引导学生尝试解决实际问题，给予指导和帮助。
三、练习（15分钟）1. 学生分组合作，解决教师提供的实际问题。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、总结（5分钟）1. 学生总结代数基本模型的概念和应用。
2. 教师强调代数基本模型在实际问题中的应用重要性。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习更复杂的代数模型，如函数、方程等。
2. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，深入研究代数基本模型的应用。
教学反思：本节课通过介绍代数基本模型的概念和应用，让学生了解代数在解决实际问题中的重要作用。
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第六章 代数与建模§1 特征值与特征向量在层次分析法中的应用模型一、层次分析模型的基本原理层次分析法的本质就是多因素的权重确定方法。
设有n 个因素，确定它们相对某个事情、标准之下各自的重要性大小、各自所占的地位的大小的量化。
先分析一种特殊情况之下的权重的存在与确定方法：（1）单位重量大小的石头分解模型：将一个单位重量的石头分成n 块小石头C 1,C 2,…，C n精确称出它们的重量w 1,…w n,则向量就是每一个小石头在整个石头中的权重。
这是非常形象化的概念与意义。
Tn w w w w ),,(21L =为了从总体上显示这些权重以及其重要的性质，权重之间的比较应当是非常有价值的一种数学模型，因此将它们进行两两比较，形成矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A /////////212221212111L M M M M L L 如果记：，则有：Tn w w w w ),,(21L =nw Aw =，这表明权重向量是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。
w 矩阵A 满足，这表明：位置处的元素为所在的行和所在的列上，在对称位置即列、行数相同处的两个元素的乘积，称这种矩阵A 为一致矩阵。
jkij ik a a a .=).(k i 一致矩阵A 的基本性质:1、A 有唯一非零特征值n 2、A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量。
这表明：真正精确的权重，进行两两对比所形成的矩阵，必是一致矩阵。
其基本特点是：有唯一非零特征值n ；A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量，并且在所有特征向量中，归一化的即分量之和为1的特征向量就是相应的权向量。
（2）一般情况下，如果对于各因素的权重不易具体确定时，可以先形成相互的对比量化结果，即权重的对比，这种对比显示了相对分析的模式，也是单一的描述到直接进行关系分析与显示思想的进展。
因为要同时比较多个因素的权重大小是不容易的，但是两两进行权重大小的比较还是可以比较精确进行的，从能得到一个成对比较矩阵。
这个矩阵的特点是：jiij ij ij a a a a A 1,0),(=>=，它是正互反矩阵，其中往往把元素取为整数及其倒数。
如果恰好这个比较矩阵是一致矩阵，则它的对应于特征值n 的所有特征向量中，归一化的特征向量就是相应各因素的权向量。
否则的话，说明我们所做的权重的比值是不精确的，并不是由和为1的权重进行两两对比形成的比较矩阵，是其近似。
因此通过对比可以用比较矩阵的最大特征值对应的归一化的特征向量作为权向量。
（3）一致性检验。
成对比较矩阵一般并不是一致矩阵，也就是说并不是真正的各权重的比较，因此这样做出来的权向量只是原来权向量的一种近似。
那么，这种近似的合理程度如何呢？现在提取数值特征来反映和体现这种一致性的程度，相当于建立了数学模型。
已经知道的是：真正的一致性矩阵就是原来权的成对比较矩阵，其最大特征值为n ，现在用互反矩阵的最大特征值进行比较，并建立一致性指标模型：1−−=n nCI λ，这个指标越大表明不一致性程度越高。
就要重新调整对比程度，本质上由于权向量是存在的，因此只要合理分析对比，所做成的成对比较矩阵应当接近于原来的一致性矩阵，从而一致性指标就可以很小。
指标是与标准一致性矩阵进行的对比。
另外，成对比较阵本身的出现带有一定的随机性，因此需要考虑它的存在实际背景，将它放在所有的随机出现的互反矩阵背景中，进行对比分析。
Saaty 运用几百个样本进行统计分析，得到了CI CI 的平均值，作为随机一致性指标：RIn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51因为这些样本中含有一致性很强的互反矩阵，因此它们的平均值具有较好的参考价值，利用这个数值指标构做一个新指标：RI CICR =，称作为一致性比率。
一般认为，如果1.0<CR ，则不一致性程度在容许范围之内，从而其最大特征值对应的归一化的特征向量可作为权向量。
二、组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象-----各个因素之间权重的比较状态，能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息，显然也是矩阵数学模型的重要应用价值。
因素往往是有层次的，我们经常在进行决策分析时，要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究，把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的。
一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等，而每个这种因素又有新的成份在里面。
这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在。
定理1：对于三决策问题，假设第一层只有一个因素，即这是总的目标，决策总是最后要集中在一个总目标基础之上的东西，然后才能进行最后的比较。
又假设第二层和第三层因素各有n,m 个，并且记第二层对第一层的权向量（即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果）为：Tn w w w⎟⎠⎞⎜⎝⎛=)2()2(1)2(,,L ，而第3层对第2层的全向量分别是：()Tkm k k w w w )3()3(1)3(,L =，这表示第3层的权重大小，具体表示的是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标。
那么显然，第三层的因素相对于第一层的因素而言，其权重应当是：先构造矩阵，用)3(k w 为列向量构造一个方阵())3()3(1)3(,,n w w W L =，这个矩阵的第一行是第3层次的m 个因素中的第1个因素，通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重，故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为∑=nk ki kw w 1)3()2(，从而可以统一表示为：)2()3()1(w W w=，它的每一行表示的就是三层（一般是方案层）中每一个因素相对总目标的量化指标。
定理2：一般公式如果共有s 层，则第k 层对第一层（设只有一个因素）的组合权向量为s k w W w k k k L L ,4,3,)1()()(==−，其中矩阵的第i 行表示第k 层中的第i 个因素，相对于第k-1层中每个因素的权向量；而列向量则表示的是第k-1层中每个因素关于第一层总目标的权重向量。
)(k W )1(−k w 于是，最下层对最上层的的组合权向量为：，实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算。
逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量。
)2()3()1()()(w W W W ws s s L −=三、应用举例1 层次分析法的一般步骤层次分析方法在T.L.Satty 正式提出来以后，其应用已经遍及计划管理、分配政策、行为科学、军事指挥、运输、教育、人才管理、医疗、环境等等领域。
（1）建立层次结构模型 构作适当的因素成份层次，分析总目标的存在状态及属性特征所受的影响分析：总目标所包含的成分、总目标的各种属性、与总目标相关的各种直接或间接的事物特征过程等；最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。
（2）构做成对比较矩阵 从第二层开始，对于从属于（或影响及）上一层的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构做成对比较矩阵，实际上就是先近似地给出它们与上一层相应因素之间的关系的量化。
第k 层中成对比较矩阵的个数为上一层重的因素个数。
（3）计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较矩阵，目的是要求出相应因素的权向量，方法是：计算出最大特征根以及其对应的特征向量，利用一致性指标和一致性比率做一致性检验。
若检验通过，特仍向量归一化后即得权向量，如果检验通不过，需要重新构做比较矩阵。
（4）计算组合权向量并做组合一致性检验。
应用举例：管理信息系统综合评价层次分析法模型信息管理水平高低直接关系着工作的效率，对于各种各样的管理信息系统（MIS ）进行开发和准备推广时，要做全面的检查、测试和分析，层次分析法是进行综合评价分析的有效方法之一。
假设综合评价指标体系如下：1、系统建设B1规划目标的科学性，经济技术管理上的可行性科学性C11是否达到系统分析阶段提出的目标实现程度C12较强的适应性先进性C13投资———功能比经济性C14对软硬件、信息资源的利用程度资源利用率C15遵循国家标准、行业标准，易于使用、维修和扩充规范性C162、系统性能B2可靠性B软硬件系统的可靠性21系统响应时间、周转时间等系统效率B22修正系统所需要的代价可维护性B23系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度可扩充性B24可移植性B将系统移植到另一种软硬件环境的代价。
25安全性B当出现故障时的有效对策263、系统应用B3降低成本、增加利润、提高竞争力经济效益B31提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、保护生态环境等社会效益B32人机界面好、操作方便、错容性强等用户满意度B33是否达到预期目标。
功能应用程度B34由系统专家和用户组成的小组对三个MIS 系统D 2、D 2、D 3进行综合评价。
将成对矩阵略去，得到的权向量和一致性检验的结果如下：准则层对目标层的权向量为：T w )529.0,309.0,162.02（）（=，一致性指标为：0056.0)2(=CI ，子准则层C 对B 1、B 2、B 3的权向量分别为 ，这是系统建设中的6个方面)177.0,056.0,312.0,177.0,177.0,101.031（）（=w在系统建设方面的重要性指标数值；，这是系统性能6个方面指标在系统性能方面的重要性指标数值；)126.0,043.0,126.0,230.0,126.0,350.0()32(=w)082.0,420.0,161.0,336.0()33(=w ，这是系统应用方面的4个指标在应用方面的重要性指标数值；方案层对子准则层D （共16个因素）的权向量和一致性指标)4(k w )4(k CI 列入表(1)中，其中C 对A 的权向量，而是以、 、)2()3()3(w W w=)3(W ~)31(w )32(~w为列向量的矩阵，其中=（ ，)33(~w316×~)31(wTw），，，，，，，，，，）（000000000031 =)32(~wTw ），，，，，，，，，，（）（000000000032 )33(~w=Tw ），，，，，，，，，，（）（330000000000 ， 再以表(1)中的16个权向量（三个方案针对每个C 准则进行两两对比形成的权向量））（4kw 为列向量构成163×矩阵）（4W ，形成方案层对目标层的组合权向量为： T w W w )207.0,478.0,315.0344（）（）（）（===数值表：C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 21）（3w0.016 0.029 0.029 0.051 0.009 0.029 0.018 0.462 0.344 0.462 0.162 0.535 0.462 0.333 0.369 0.535 0.369 0.309 0.344 0.369 0.476 ）（4kw0.169 0.121 0.169 0.529 0.121 0.169 0.190 CI 0.0111 0.01270.01110.00560.0127 0.01110.0304C 23C 24C 25C 26C 31C 32C 33）（3w0.071 0.039 0.013 0.039 0.178 0.085 0.223 0.109 0.309 0.309 0.109 0.462 0.2310.274 0.570 0.529 0.529 0.570 0.369 0.5540.632 ）（4kw0.321 0.162 0.162 0.321 0.169 0.215 0.095 CI 0.0027 0.00560.00560.00270.0111 0.01030.0136最终结果:系统D 2最优,D 1次之§2 线性代数在Hill 密码的加密、解密与破译中的应用一、 问题的提出甲方通过某种手段获得了对方秘密通信往来的一个密文信息，根据分析，对方的密文通信采用的是密码编译的，如何破译这个信息？ 2Hill 二、密码的数学模型 2Hill 1、密码 的加密过程如下：2Hill 明文具体步骤如下：(1) 将明文字母信息根据名文字母的表值，用数字表示。