第六章 格与布尔代数

21
4. 格的半分配律
格中一般地不满足分配律
定理6-1.5：设<A, ≼>是一个格，对任意的a,b,c,d∈A，都有 (1) a∨( b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨c) (2) (a∧b)∨( a∧c) ≼ a∧( b∨c) 证明：(1)因为a≼a∨b，a≼a∨c， 所以a∧a≼(a∨b)∧(a∨c) 又a=a∧a，故a≼(a∨b)∧(a∨c) 又因b≼a∨b，c≼a∨c，所以由保序性 b∧c≼(a∨b)∧(a∨c) 故(a∨b)∧(a∨c)是a和b∧c的上界， 所以a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
由(3)(4)式 a∨a=a， ∨满足等幂性。 同理可证：∧都满足等幂性。
2
回顾
1. 极大(极小)元： B⊆A，b∈B，B中无元素x满足b≺x (x≻b)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 2. 最大(最小)元： a B⊆A，b∈B，B中每一元素x都满足x≼b (b≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 3. 上界(下界 )： B⊆A，a∈A，B中每一元素x有x≼a (a≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 4. 最小上界、最大下界。不一定存在；若存在则必唯一。
24
四、格的代数结构
根据前面的讨论： 格<A, ≼>可以诱导出具有结合律、交换律、吸收律的两个 代数运算∨和∧的代数系统<A,∨,∧> 。
反之，什么样的代数系统<A,*, °> 可确定一个格。 一个代数系统<A,*, °>，如果运算*和°满足结合律、交 换律、吸收律，则可诱导出一个格<A, ≼>，其中偏序 ≼ 定 义为：a ≼b ⇔ a°b=a, 或 a ≼b ⇔ a*b=b
例：<I+, |>是偏序集。 最小上界：两个元素的最小公倍数； 最大下界：两个元素的最大公约数。 <I+, |>是格.
7
2. 格所诱导的代数系统 定义6-1.2：设<A, ≼>是一个格，如果在A上定义两个二元运 算∧、∨，使得对于任意的a，b∈A： a∨b =元素a，b的最小上界，(并运算) a∧b =元素a，b的最大下界，(交运算) 称<A,∨,∧>为由格<A, ≼>所诱导的代数系统。
∅
9
3. 子格 定义6-1.3：设<A, ≼>是一个格，由格<A, ≼>所诱导的代数系 统为<A,∨,∧>，B⊆A且B≠φ。 如果A中的两个运算∧、∨关于B是封闭的， 则称<B, ≼>是<A, ≼>的子格。 B中元素a,b在<A, ≼>中找出的最小上界和最大下界仍在B中。
10
例：<I+,|>是一个格，其诱导的代数系统为<I+,∨,∧>, 即： a∨b=a与b的最小公倍数，a∧b=a与b的最大公约数。 <E+,|>是子格吗？ E+是正偶数的全体，两个正偶数的最小公倍数与最大公 约数仍是正偶数，所以∨与∧关于E+是封闭的。 <E+,|>是<I+,|>的子格。 例 设<S, ≼>是一个格，任取a∈S，T={x|x∈S, x≼a}，则 <T,≼> 是<S, ≼>的一个子格。 证明：任意x, y∈T，有x≼a，y≼a，所以a是x和y的上界。 作为最小上界，x∨y≼a。同理，x∧y≼a。 从而，x∨y∈T，x∧y∈T，<T, ≼>是<S, ≼>的一个子格。
12
设 <A, ≼>是格，B⊆A，则<B, ≼>必是偏序集，但不一定是格； 即使<B, ≼>是格，也不一定是<A, ≼>的子格。 a 例：<S, ≼>是一个格. S1={a, b, d, f}. 可验证<S1, ≼>自身是格， 也是<S, ≼>的子格。 S3={a, b, c, d, e, g, h}. 可验证<S3, ≼>自身是一个格； 但不是<S, ≼>的子格。 因为b与d在S中的最小下界为f, 不在S3中. b e c f h d b g e h a c d g
22
定理6-1.2
由对偶原 理可得(2)
5. 序关系的运算刻画 定理6：在格<A, ≼>中，对任意a,b∈A，都有 a ≼ b ⇔ a∧b=a ⇔ a∨b=b 证明：(1) 首先证明 a ≼ b ⇔ a∧b=a。 “必要性”：因为a ≼ a, 所以由a ≼ b，根据保号性可得： a∧a ≼ a∧b，即a ≼ a∧b。 另一方面，由定义知 a∧b ≼ a。故 a∧b=a。 “充分性”：若a∧b=a，则由a∧b ≼ b 知a ≼ b。 (2) 同理可证明a ≼ b ⇔ a∨b=b。结论成立。
16
2. 格中运算的保序性 定理6-1.2：在一个格<A, ≼>中，由格<A, ≼>所诱导的代数系 统为<A,∨,∧>，则对任意的a, b, c, d∈A， 如果有 a≼b和c≼d，则 是b，d的一个下界， 而 b∧d是b，d的最大下界。 故 a ∧ c ≼ b∧d。 同理可证 a∨c ≼ b∨d 。
11
4. 格与子格的关系 a,b在<A, ≼>和<B, ≼>中找出的最小上界和最大下界可能是不 一样的. 如果B是A的子格，那么<B, ≼>一定是格吗？ 如果<B, ≼>是格，那么B一定是A的子格吗？ (1) 子格一定是格 证明: (1)若<B, ≼>是<A, ≼>的子格，则任给B中的两个元素a,b, a与b在A中的最大下界c也在B中。c ≼a, c ≼b，c= a∧b. c是a与 b在B中的下界. (2) 设d是a与b在B中的任意下界，则d ≼a, d≼b. 将a,b,c,d都视为<A, ≼>的元素，则d也是a与b在A中的下界, 从 而d≼ a∧b， d≼c. 证得c为a与b在B中的最大下界. 同理可证， B中的两个元素在B中存在最小上界。故B是格。
5
一、格、子格、格诱导的代数系统
1. 格的概念 一般地，偏序集中的子集不一定存在最小上界和最大下界。 特别地，如果偏序集中的任意两个元素都存在最小上界 和最大下界，则称之为格。 定义6-1.1：设<A, ≼>是一个偏序集。如果A中任意两个元素 都有最小上界和最大下界，则称<A, ≼>是格。
6
如：下列哈斯图所表示的偏序集都是格。
15
三、格的性质
1、格的基本性质 定理6-1.1：在一个格<A, ≼>中，由格<A, ≼>所诱导的代数系 统为<A,∨,∧>，则对任意的a, b∈A，都有 a ≼ a∨b, a∧b ≼ a, b ≼ a∨b a∧b ≼ b
证明：∵a∨b是a，b的一个上界，∴ a ≼ a∨b，b ≼ a∨b 由对偶定理可得：a∧b ≼ a, a∧b ≼ b
23
6. 半分配律的特殊情况 定理7：在格<A, ≼>中，对任意 a,b∈A，都有 a ≼ c ⇔ a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧c 证明：(1) “必要性”：若a ≼ c，则 a∨c=c。 由半分配律， a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨ c) a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧c (2) “充分性”：a ≼ a ∨ (b∧c) ≼ (a ∨ b) ∧ c ≼ c，即a ≼ c。 两个可比较大小的元素，针对第三个元素， 小者并另两个的交 小于等于 大者交另两个的并。
3
e d c
f
b
回顾
偏序集的任意子集，不一定存在最小上界或最大下界。 约定{a, b}的最小上界称为元素a和b的最小上界。 约定{a, b}的最大下界称为元素a和b的最大下界。
4
6-1 格的概念
目的要求 1. 从偏序集与代数学两个角度理解格的概念 2. 熟练理解掌握格的性质 3. 掌握格同态的性质
8
例：给定S={a, b}， 格<P (S), ⊆>如下图所示，列出该格所诱 导的代数系统<P (S), ∧, ∨>中运算的运算表 {a,b} ∧ {a} {b} ∅ {a} {b} {a,b} ∅ {a} {b} {a,b} ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ {a} ∅ {a} ∅ ∅ {b} {b} ∅ {a} {b} {a,b}
第六章
格和布尔代数
格，是一种特殊的代数系统。格论是代数学的一个 分支，形成于1935年。 格有两种解释：代数学的观点，偏序集的观点。 本章内容： 格的定义及其性质 特殊的格—分配格、模格、有补格 布尔格—布尔代数（在计算机科学中有重要应用）
1
回顾
偏序关系：自反性、反对称性、传递性。 偏 序 集：由一个集合A和偏序关系“≼”组成的序偶<A, ≼>。 盖 住：<A, ≼>，x，y∈A, x≼y, x≠y, 且不存在x≼z, z≼y, 称元素y盖住x。 哈 斯 图：体现了集合中元素的盖住关系。
13
二、格的对偶原理
1. 对偶现象： 命题逻辑中的析取与合取，集合运算中的并与交。 交通规则中的“左行规则”与“右行规则”。 偏序集中的对偶现象： 设<A, ≼>是一个偏序集，在A上定义一个二元关系≼R，使 得对于A中的两个元素a，b有关系a≼Rb当且仅当b≼a，则 <A,≼R>也是一个偏序集。≼R 一般用≽来表示。 显然格<A, ≼>所诱导的代数系统中的∨(∧)是<A, ≽>所诱导 代数系统的∧(∨)。
19
(3) 由定义易得运算的等幂性。 (4) 因为 a ≼ a， a∧b ≼ a，所以根据保序性可得： a∨(a∧b) ≼ a∨a, 亦即 a∨(a∧b) ≼ a， 另一方面，显然 a ≼ a∨(a∧b) ， 故有a∨(a∧b)=a。 由对偶原理得： a∧(a∨b)=a。