第六章格与布尔代数
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离散数学 第6章 格(祝清顺版)
格与布尔代数的简介
离散数学
第六章 格与布尔代数
2007年8月20日
Discrete Mathematics
第1节 格的基本概念
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
本节主要内容
1. 概念 一.格的定义
2. 对偶原理
3. 基本性质
二.格是代数系统
1. 作为代数系统的格的定义 2. 偏序集合的格与代数集合的格的关系 1. 子格 三.子格
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
对偶原理
格的对偶原理表述如下: 设P是对任意格都为真的命题, 如果在命题P中把≤换成 ≥ (或把≥换成≤), ∨换成∧, ∧换成∨, 就得到另一个命 题P, 我们把P称为P的对偶命题, 则P对任意格也是真的命 题. 例如, P: a∧b＝b∧a P: a∨b＝b∨a
用盖住的性质画出偏序集图或称哈斯图，其作图规则为：
(1)小圆圈代表元素。 (2) 如果 x≤y 且x≠y，将代表 y 的小圆圈画在代表 x 的小 圆圈之上。 (3)如果<x, y>∈covA，则在x与y之间用直线连结。
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
知识回顾
4. 上界、下界
定义 4 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集，对于 BA ，如有a∈A， 且对任意元素x∈B，都有x≤a ，则称a为 B的上界。同理， 对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。 5.最小上界和最大下界 定义 5 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集且 BA ， a 是 B 的任一上 界，若对B的所有上界 y均有a≤y ，则称 a是B 的最小上界，
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
格与布尔代数的简介
离散数学第6章 格与布尔代数
设c是a∧b 的任一下界，即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
《离散数学及其应用》魏雪丽第6章 格与布尔代数
6.1.1 格的概念（lattices） 格的概念（ ） 虽然偏序集合的任何子集的上确界、 虽然偏序集合的任何子集的上确界、下确界并不一 定都存在，但存在，则必唯一， 定都存在，但存在，则必唯一，而格的定义保证了 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。因此我 们通常用a∨b表示 ，b}的上确界，用a∧b表示 ， 表示{a， 的上确界 的上确界， 表示{a， 们通常用 ∨ 表示 ∧ 表示 b}的下确界，即 的下确界， 的下确界 a∨b=LUB{a,b}（Least upper bound）, ∨ （ ） a∧b=GLB{a,b}(Greatest lower bound), ∧
LUB{a, b} = LUB{a, b}, GLB{a, b} = GLB{a, b}
L B L B
为此我们考察下面的例子。 为此我们考察下面的例子。 如图6.1.4), 取 【例6.1.4】设〈A，≤〉是一个格 如图 】 ， 〉是一个格(如图
B1 = {b, d , h}, B2 = {a, b, d , h}, B3 = {a, b, d , f } B4 = {c, e, g , h}, B5 = {a, b, c, d , e, g , h},
计算机科学与技术学院
第6章 格和布尔代数 章
6.1.1 格的概念（lattices） 格的概念（ ）
表示正整数集， ”表示Z 上整除关系， （3）设Z+表示正整数集，“|”表示 +上整除关系，那么 ） 〈 Z+ ，|〉为格，其中并、交运算即为求两正整数最小公倍数 〉为格，其中并、 和最大公约数的运算， 和最大公约数的运算，即 m∨n＝LCM（m,n） m∧n＝GCD(m,n）, ∨ ＝ （ ） ∧ ＝ ） 由〈 Z+ ，|〉所诱导的代数系统为〈 Z+ ， ∨，∧ 〉。 〉所诱导的代数系统为〈 （4）任一全序集〈A， 〉是一个格。因为 a,b ∈A， ）任一全序集〈 ， 是一个格。 ， ∀
中北大学离散数学第六章格和布尔代数分析
证明：（反证法）设有两个全上界a和b，则由定义 a≤b，且b≤a，由“≤”的反对称性， a＝b。
[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。
证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
17
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格，对于L中的一个元素 a，如果存在bL，使得ab=1和ab=0，则称元素 b是元素a的补元。
6
§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b，有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL，如a≤b，
c≤d，则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)（交换律）交和并运算是可交换的。 (5)（结合律）交和并运算是可结合的。
7
§6.1 格的概念
(6)（幂等律）对L中每一个a，有aa=a，aa=a。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
，其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即：
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
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§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。
证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
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§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格，对于L中的一个元素 a，如果存在bL，使得ab=1和ab=0，则称元素 b是元素a的补元。
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§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b，有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL，如a≤b，
c≤d，则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)（交换律）交和并运算是可交换的。 (5)（结合律）交和并运算是可结合的。
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§6.1 格的概念
(6)（幂等律）对L中每一个a，有aa=a，aa=a。
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§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
，其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即：
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
地六章-格和布尔代数(1)
定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1，称为互 相对偶的两个关系。 对任意 x, y∈L，xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的 关系即为蕴涵关系 的逆关系。 因此，对任意 P, Q∈S， (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数，Sn 是 n 的所有因数的集合， 两个正整数的最大公因数 ，最小公倍数 可看作是 Sn 上两个代数运算，于是，(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义（以对应一个代数格；任意一个代 数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律，实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a，由 , 满足吸收律知
a(aa)＝a
a(aa)＝a
故
aa＝a(a(aa))
aa＝a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知，上面两式的等式右端都等于 a。
因此，
aa＝a
aa＝a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合，定义 “” 关系如下： A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S， sup{A, B}＝A∧B∈S inf{A, B}＝A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算 和 封闭， 则 M 称作子格。
例如：a 是格 L 的一个固定元素，则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合，显然是一个子格。若 a≥b，则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格，这样的子格 叫作一个闭区间(商)，记作 M(a,b)。
例如，S6＝{1, 2, 3, 6}， S24＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。
中北大学 离散数学第六章 格和布尔代数
[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
3
§6.1 格的概念
例：以下均为偏序集合格（D为整除关系，Sn为n的因 子集合）。
4
§6.1 格的概念
2.代数系统格 L, [定义]设 是一个格，如果在A上定 义两个二元运算和，使得对于任意的a，bA， ab等于a和b的最小上界，ab等于a和b的最大 下界，那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格 L, [定义]格是一个偏序集合 ，其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用 a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即： GLB{a, b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。
20
§6.3 有补格
[定理]在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。 证明：
21
§6.4 布尔代数
[定义]一个有补分配格称为布尔格。
[定义]一个格<L,≤>如果它既是有补格，又是分配格， 则它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元 素a的唯一补元记为a。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义L上的一个一元运算，称为补运算， 记为“-”。
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§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
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§6.1 格的概念
例：以下均为偏序集合格（D为整除关系，Sn为n的因 子集合）。
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§6.1 格的概念
2.代数系统格 L, [定义]设 是一个格，如果在A上定 义两个二元运算和，使得对于任意的a，bA， ab等于a和b的最小上界，ab等于a和b的最大 下界，那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
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§6.1 格的概念
1.偏序集合格 L, [定义]格是一个偏序集合 ，其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用 a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即： GLB{a, b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。
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§6.3 有补格
[定理]在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。 证明：
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§6.4 布尔代数
[定义]一个有补分配格称为布尔格。
[定义]一个格<L,≤>如果它既是有补格，又是分配格， 则它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元 素a的唯一补元记为a。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义L上的一个一元运算，称为补运算， 记为“-”。
第六章 格与布尔代数
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4. 格的半分配律
格中一般地不满足分配律
定理6-1.5：设<A, ≼>是一个格，对任意的a,b,c,d∈A，都有 (1) a∨( b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨c) (2) (a∧b)∨( a∧c) ≼ a∧( b∨c) 证明：(1)因为a≼a∨b，a≼a∨c， 所以a∧a≼(a∨b)∧(a∨c) 又a=a∧a，故a≼(a∨b)∧(a∨c) 又因b≼a∨b，c≼a∨c，所以由保序性 b∧c≼(a∨b)∧(a∨c) 故(a∨b)∧(a∨c)是a和b∧c的上界， 所以a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
由(3)(4)式 a∨a=a， ∨满足等幂性。 同理可证：∧都满足等幂性。
2
回顾
1. 极大(极小)元： B⊆A，b∈B，B中无元素x满足b≺x (x≻b)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 2. 最大(最小)元： a B⊆A，b∈B，B中每一元素x都满足x≼b (b≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 3. 上界(下界 )： B⊆A，a∈A，B中每一元素x有x≼a (a≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 4. 最小上界、最大下界。不一定存在；若存在则必唯一。
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四、格的代数结构
根据前面的讨论： 格<A, ≼>可以诱导出具有结合律、交换律、吸收律的两个 代数运算∨和∧的代数系统<A,∨,∧> 。
反之，什么样的代数系统<A,*, °> 可确定一个格。 一个代数系统<A,*, °>，如果运算*和°满足结合律、交 换律、吸收律，则可诱导出一个格<A, ≼>，其中偏序 ≼ 定 义为：a ≼b ⇔ a°b=a, 或 a ≼b ⇔ a*b=b
例：<I+, |>是偏序集。 最小上界：两个元素的最小公倍数； 最大下界：两个元素的最大公约数。 <I+, |>是格.
第六章 格与布尔代数
第六章格与布尔代数教学重点：掌握格、子格的定义，理解并且学会证明格的几个基本性质；透彻理解分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学难点：格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学要求：格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
6-1 格 (Lattice)一 . 基本概念1. 格的定义<A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称<A,≤>是格。
2. 由格诱导的代数系统设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈A a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound，称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e3. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是由<A,≤>诱导的代数系统。
B是A的非空子集，如果∧和∨在B上封闭，则称<B, ≤>是<A, ≤>的子格。
二. 格的对偶原理设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
<A, ≥>也是格，<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的Hasse图颠倒180º即可。
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ , 称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。
例如：P: a∧b≤a P’: a∨b≥a{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a三. 格的性质<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。
∀a,b,c,d∈A1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
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3、有界格
如果一个格存在全上界和全下界，则称其为有界格。
4、有界格性质 全上界和全下界唯一；
设<A, ≤>为格，任意x ∈A，x∨1=1， x∨0=x，x∧1=x ,x∧0=0。
二、有补格complemented L
1、补元
设<A, ≤>为有界格，如果任意a∈A，存在b ∈A，使得a∨b=1, a ∧ b=0,则
二、分配格性质
设<A, ≤>为分配格，任意a,b,c∈A，如果a∨b= a∨c, a∧b= a ∧ c,则b=c，
即分配格满足消去率。
证明： ( a∧b) ∨c= (a ∧ c) ∨c=c,
( a∧b) ∨c=(a∨c) ∧(b ∨c)= (a∨b) ∧(b ∨c)= b ∨( a∧c)= b ∨( a∧b)=b
性质：在有补分配格中，若一个元素有补元素，则补元素唯一。(利用消去 律证明) 6.4 布尔代数boolean algebra 一、基本概念 1、布尔代数
由布尔格的运算诱导的代数系统;其中， 若|A|元素个数有限，则其构成的
布尔代数称为有限布尔代数。 例1：设<A, ≤>为布尔格，其诱导出的布尔代数系统：<A, ∨,∧,- >
(3) 设a是原子，设任意b ∈A且b≠0有a ∧b=a不可兼或a ∧b=0 (4) 设a是原子，b为非0元素，则
3、在布尔格中，
6.3 有界格和有补格 一、有界格bounded L 1、全上界 设<A, ≤>为格，如果存在a∈A，使得任意x ∈A，都有x ≤a，则称a为格<A, ≤>的全上界，全上界记为1。
2、全下界
设<A, ≤>为格，如果存在a∈A，使得任意x ∈A，都有x ≥a，则称a为格<A, ≤>的全下界，全下界记为0。
2、 运算性质
设<A, ≤>为布尔格，其诱导出的布尔代数系统：<A, ∨,∧,- >
三、 有限布尔代数的原子表示 1、 原子
设<A, ≤>为格，具有全下届0，存在a ∈A，0 ≤a，则称a为原子。
2、 原子性质 (1) 设<A, ≤>为格，具有全下届0，任意b ∈A，至少有一个原子a，使a ≤b。 (2) 若a,b是原子，如果a≠b则a ∧b=0，否则a=b。
称a与b互为补元。 2、性质
a和b的补元关系是对称的；
一个元素可能存在多个补元或不存在补元。
2 、有补格
在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元素，则称此格为有补格。
3、布尔格 （有补分配格） 一个格如果它既是有补格又是分配格，则称它为有补分配格。我们把有补
分配格中任一元素a的补元记为egdafbc