中北大学离散数学第六章格和布尔代数分析
合集下载
离散数学第6章 格与布尔代数

设c是a∧b 的任一下界,即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5)下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之,若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理:〈A,∨,∧〉代数系统,∨.∧满足交换性, 结合性,吸收性,则A上存在偏序关系≤,使〈A,≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A,∨,∧〉; 而从满足三个条件的〈A,∨,∧〉也可导出格〈A,≤〉 证明见书:(格中⑻⑼⑾三个性质很重要,决定了格)
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理:格〈A,≤〉 (1)引理6-1.1:〈A,∨,∧〉代数系统,若∨, ∧满足吸收性,
则∨, ∧满足幂等性 证:a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支,由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A,≤〉,≤偏序关系:满足自反性,反对称性, 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示:
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A,∨,∧〉是格〈A,|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
6-1 格的概念
5)下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之,若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理:〈A,∨,∧〉代数系统,∨.∧满足交换性, 结合性,吸收性,则A上存在偏序关系≤,使〈A,≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A,∨,∧〉; 而从满足三个条件的〈A,∨,∧〉也可导出格〈A,≤〉 证明见书:(格中⑻⑼⑾三个性质很重要,决定了格)
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理:格〈A,≤〉 (1)引理6-1.1:〈A,∨,∧〉代数系统,若∨, ∧满足吸收性,
则∨, ∧满足幂等性 证:a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支,由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A,≤〉,≤偏序关系:满足自反性,反对称性, 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示:
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A,∨,∧〉是格〈A,|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
《离散数学及其应用》魏雪丽第6章 格与布尔代数

6.1.1 格的概念(lattices) 格的概念( ) 虽然偏序集合的任何子集的上确界、 虽然偏序集合的任何子集的上确界、下确界并不一 定都存在,但存在,则必唯一, 定都存在,但存在,则必唯一,而格的定义保证了 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。因此我 们通常用a∨b表示 ,b}的上确界,用a∧b表示 , 表示{a, 的上确界 的上确界, 表示{a, 们通常用 ∨ 表示 ∧ 表示 b}的下确界,即 的下确界, 的下确界 a∨b=LUB{a,b}(Least upper bound), ∨ ( ) a∧b=GLB{a,b}(Greatest lower bound), ∧
LUB{a, b} = LUB{a, b}, GLB{a, b} = GLB{a, b}
L B L B
为此我们考察下面的例子。 为此我们考察下面的例子。 如图6.1.4), 取 【例6.1.4】设〈A,≤〉是一个格 如图 】 , 〉是一个格(如图
B1 = {b, d , h}, B2 = {a, b, d , h}, B3 = {a, b, d , f } B4 = {c, e, g , h}, B5 = {a, b, c, d , e, g , h},
计算机科学与技术学院
第6章 格和布尔代数 章
6.1.1 格的概念(lattices) 格的概念( )
表示正整数集, ”表示Z 上整除关系, (3)设Z+表示正整数集,“|”表示 +上整除关系,那么 ) 〈 Z+ ,|〉为格,其中并、交运算即为求两正整数最小公倍数 〉为格,其中并、 和最大公约数的运算, 和最大公约数的运算,即 m∨n=LCM(m,n) m∧n=GCD(m,n), ∨ = ( ) ∧ = ) 由〈 Z+ ,|〉所诱导的代数系统为〈 Z+ , ∨,∧ 〉。 〉所诱导的代数系统为〈 (4)任一全序集〈A, 〉是一个格。因为 a,b ∈A, )任一全序集〈 , 是一个格。 , ∀
格与布尔代数课件2

= {y | y≤x1} ∩{y | y≤x2} = f(x1) ∧2 f(x2) f (x1∨1x2) = f (max{x1,x2}) = {y | y≤max{x1,x2}}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f,使得对 x1,x2 A, 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2),f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律:a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明:幂等律 ∵ a≤a,∴ a是a的上界,而a∨a是a的最小上界, ∴a∨a≤a ,又 ∵ a≤a ∨a,
由反对称性得:a∨a = a 由对偶原理得,a∧a = a
第15页,共28页。
证明:吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a, a∨(a ∧ b)≤a
解:< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系,对a,bI, a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数, a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页,共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系,对a,b P(S),
a、b的最小上界等于a∪b,
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2,>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1:,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f,使得对 x1,x2 A, 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2),f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律:a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明:幂等律 ∵ a≤a,∴ a是a的上界,而a∨a是a的最小上界, ∴a∨a≤a ,又 ∵ a≤a ∨a,
由反对称性得:a∨a = a 由对偶原理得,a∧a = a
第15页,共28页。
证明:吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a, a∨(a ∧ b)≤a
解:< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系,对a,bI, a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数, a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页,共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系,对a,b P(S),
a、b的最小上界等于a∪b,
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2,>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1:,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
离散数学格与布尔代数优秀课件

于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 。
由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
b c d
由<A,≤>诱导的代数系统。B是A的
非空子集,如果∧
a
和∨在B上封闭,则 称<B, ≤>是<A, ≤>
b
c b
d
e
f e
的子格。
g
a
e
c
a
b f
c
g
d
<C,≤>是<A,≤>的子格。 <A,≤>
<B,≤> <C,≤>
而<B,≤>不是. b∧c=dB, (运算规则要从格<A,≤>中找)
二. 格的对偶原理
界,所以 a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论:在一个格中,任意 a,b,c∈A,如果b≤c,则
a∨b≤a∨c,a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。
3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a,a∧b=b∧a 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明:由性质1, a≤a∨a (再证a∨a≤a)
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b,c≤d,则 a∨c≤b∨d,a∧c≤b∧d。 证明:如果a≤b,又b≤b∨d,由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d, d≤b∨d,由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界,而a∨c是 {a,c} 的最小上
离散数学格与布尔代数

<L, > <L, , *>
§7.1 格
例 < P(S) , >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L,≤〉中自然存在两个运算 和 * ,从而 派生出一个代数系统〈L,,*〉
6
<S15,|>,
2
2019/10/5
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
2019/10/5
§7.1 格
例 设Z+为正整数集合,对于a,b Z+,关系“≤”定义为: a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格,
并、交 运算的性质
定理1 设〈L,≤〉是一个格,并运算与交运算 * 满足 如下性质:
L1 a a = a
a*a=a
(幂等律)
L2 a b = b a a * b = b * a (交换律)
L3 (a b) c = a (b c)
§7.1 格
例 < P(S) , >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L,≤〉中自然存在两个运算 和 * ,从而 派生出一个代数系统〈L,,*〉
6
<S15,|>,
2
2019/10/5
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
2019/10/5
§7.1 格
例 设Z+为正整数集合,对于a,b Z+,关系“≤”定义为: a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格,
并、交 运算的性质
定理1 设〈L,≤〉是一个格,并运算与交运算 * 满足 如下性质:
L1 a a = a
a*a=a
(幂等律)
L2 a b = b a a * b = b * a (交换律)
L3 (a b) c = a (b c)
第六章 格与布尔代数

21
4. 格的半分配律
格中一般地不满足分配律
定理6-1.5:设<A, ≼>是一个格,对任意的a,b,c,d∈A,都有 (1) a∨( b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨c) (2) (a∧b)∨( a∧c) ≼ a∧( b∨c) 证明:(1)因为a≼a∨b,a≼a∨c, 所以a∧a≼(a∨b)∧(a∨c) 又a=a∧a,故a≼(a∨b)∧(a∨c) 又因b≼a∨b,c≼a∨c,所以由保序性 b∧c≼(a∨b)∧(a∨c) 故(a∨b)∧(a∨c)是a和b∧c的上界, 所以a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
由(3)(4)式 a∨a=a, ∨满足等幂性。 同理可证:∧都满足等幂性。
2
回顾
1. 极大(极小)元: B⊆A,b∈B,B中无元素x满足b≺x (x≻b)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 2. 最大(最小)元: a B⊆A,b∈B,B中每一元素x都满足x≼b (b≼x)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 3. 上界(下界 ): B⊆A,a∈A,B中每一元素x有x≼a (a≼x)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 4. 最小上界、最大下界。不一定存在;若存在则必唯一。
24
四、格的代数结构
根据前面的讨论: 格<A, ≼>可以诱导出具有结合律、交换律、吸收律的两个 代数运算∨和∧的代数系统<A,∨,∧> 。
反之,什么样的代数系统<A,*, °> 可确定一个格。 一个代数系统<A,*, °>,如果运算*和°满足结合律、交 换律、吸收律,则可诱导出一个格<A, ≼>,其中偏序 ≼ 定 义为:a ≼b ⇔ a°b=a, 或 a ≼b ⇔ a*b=b
例:<I+, |>是偏序集。 最小上界:两个元素的最小公倍数; 最大下界:两个元素的最大公约数。 <I+, |>是格.
离散数学-格和布尔代数

的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集,则对于任意元素 l1, l2, l3 L,有以 下六个关系式成立: l1 l1 若 l1 l2,l2 l1,则 l1 = l2 若 l1 l2,l2 l3,则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2,l2 l1,则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的,格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的,是他在研究命题演算中发现的,通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集,也可以看作是有两个二元运算的代数系统, 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中,都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集,如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界,则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一,故引入记号: l1 l2 = glb(l1, l2),l1 l2 = lub(l1, l2), 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算,分别称为交和并。 注:若 < L; > 是一个格,则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统,其中 和 是 L 上的两个二元运算, 对于任意 l1, l2 L,l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下,l1 和 l2 的最小上界,l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
离散数学布尔代数

一个非零元素b,至少存在一个原子a,使得a ≤ b。 1
证明:若b本身就是一个原子,则b ≤ b,得证。c
df
若b不是原子,肯定存在b1,使得0 ≤ b1 ≤ b, a
be
若b1是原子,则定理得证;
0
否则,若b1不是原子,则必存在b2,使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格,
定理1:对于布尔代数中任意两个元素 a, b,必定有
(1) ( a ) = a, (2) a∨b = a∧b , (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3:设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数, 如果存在A到B的双射 f,对于a,bA,有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA,有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) :
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数,S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合,则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析:要证两个代数系统同构,分为以下几步:
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ,又∵a ≤ c, ∴a ≤ c ∧ c,即 a ≤ 0,
这与a是原子相矛盾, ∴假设错
∴b ∧ c = 0,由引理1得: b≤c ∴b=c,即:b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2):设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界, ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b,而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子, {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集,即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|, 即:t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
证明:(反证法)设有两个全上界a和b,则由定义 a≤b,且b≤a,由“≤”的反对称性, a=b。
[定义]设<L,≤>是一个格,格中存在全上界和全下 界,则称该格为有界格。
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格,全上界和全下界分别 是1和0,则对任意元素aL,有: a1=1a=1 ,a1=1a=a, a0=0a=a ,a0=0a=0。
证明:因为1≤a1, 又因(a1)L且1是全上界,∴a1≤1, ∴ a1=1。由交换律:1a=a1=1。 因为a≤a,a≤1,∴a a≤a1,即:a≤a1, 又a1≤a, ∴ a1=a。仿此可得另两式。
17
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格,对于L中的一个元素 a,如果存在bL,使得ab=1和ab=0,则称元素 b是元素a的补元。
6
§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b,有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL,如a≤b,
c≤d,则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)(交换律)交和并运算是可交换的。 (5)(结合律)交和并运算是可结合的。
7
§6.1 格的概念
(6)(幂等律)对L中每一个a,有aa=a,aa=a。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
,其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界,用 a b 表示a和b的最 小上界。即:
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算,
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
3
§6.1 格的概念
例:以下均为偏序集合格(D为整除关系,Sn为n的因 子集合)。
4
§6.1 格的概念
2.代数系统格 [定义]设 L, 是一个格,如果在A上定
义两个二元运算和,使得对于任意的a,bA, ab等于a和b的最小上界,ab等于a和b的最大 下界,那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
13
§6.2 分配格
[定理]每个链均是分配格。 证明:设<L,≤>是链。对任意a,b,cL (1)若a≤b或a≤c,则 a (b c) = a,
(a b) (a c)=a 即: a (b c) = (a b) (a c) (2)若a≥b且a≥c,则 a (b c) = b c,
第六章 格和布尔代数
§6.1 格的概念 §6.2 分配格 §6.3 有补格 §6.4* 布尔代数
1
第六章 格和布尔代数
教学目的及要求: 深刻理解和掌握格与布尔代数的基本概念和基本 运算。 教学内容: 格的概念、分配格、有补格、布尔代数、布尔表 达式。 教学重点:格、布尔代数、布尔表达式。 教学难点:布尔代数、布尔表达式。
9
§6.2 分配格
讨论定义: (1)定义中的两式互为对偶式。 (2)如<L,≤>非为分6配. 格,则有下面的分配不等式:
a (b c) ≤ (a b) (a c) a (b c) ≥ (a b) (a c) 以及模不等式: a≤ca (b c) ≤ (a b) c
10
§6.2 分配格
(7)(吸收律)对L中任意a,b,有
a(ab)=a
a(ab)=a。
8
§6.2 分配格
对格所定义的代数系统<L,,>,其运算和不一 定满足分配律。
[定义]设<L,,>是由<L,≤>所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cL,满足: a (b c)=(a b) (a c) 及 a (b c)=(a b) (a c) 则称<L,≤>是分配格。
讨论定义: (1)∵ 和是可交换的,∴补元是相互的。 (2)0 1 0 1 0 0,0 1 1 1 0 1,在有界格 中,1和0互为补元; (3)由定义可知L中一个元素的补元不一定唯一;
例:
18
§6.3 有补格
[定义]在一个有界格中,如果每个元素都至少有一 个补元素,则称此格为有补格。
讨论定义: (1)在有补格中,每一个元素一定存在补元(不一
定是一个补元); (2)有补格一定是有界格,而有界格不一定是有补
格。请看下例:
19
§6.3 有补格
[定义]在一个有界格中,如果每个元素都至少有一 个补元素,则称此格为有补格。
讨论定义: (1)在有补格中,每一个元素一定存在补元(不一
定是一个补元); (2)有补格一定是有界格,而有界格不一定是有补
[定义]如对L中任意a,b,c有: a≤ca (b c) = (a b) c
则称<L,≤>为模格。 例:
11
§6.2 分配格
[定理]如果格中交对并是分配的,那么并对交也是 分配的,反之亦然。
证明:已知a(bc)=(ab)(ac) (ab)(ac)=((ab)a)((ab)c) =a((ab)c) =a((ac)(bc)) =(a(ac))(bc) =a(bc)
(a b) (a c)= b c 即:a (b c) = (a b) (a c)。得证。
14
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个格,如果存在元素aL,对 于任意的x L,都有: a≤x 则称a为格<L,≤>的全下界,记格的全下界为0。
例:
15
§6.3 有补格
[定理]如果格<L,≤>有全上界(全下界),那么它 是唯一的。
5
§6.1 格的概念
3.格的主要性质: (1)格的对偶原理 设<L,≤>是格,“≤”的逆关系“≥”与L组成的偏
序集 <L, ≥>也是格。两者互为对偶。前者的GLB,LUB 恰好是后者的LUB,GLB。如有关于<L,≤>的有效 命题,将“≤”换成“≥”,“”换成“”, “”换成 “”,便能得到<L, ≥>的有效命题。 反之亦然。
即:并对交也是分配的。
12
§6.2 分配格
[定理]分配格是模格。 证明:由于a (b c) = (a b) (a c) (1)若a≤c,则a c=c,代入上式得
a (b c) = (a b) c (2)若a (b c) = (a b) c,则
a≤ a (b c) = (a b) c≤c,即: a≤c ∴分配格是模格
[定义]设<L,≤>是一个格,格中存在全上界和全下 界,则称该格为有界格。
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格,全上界和全下界分别 是1和0,则对任意元素aL,有: a1=1a=1 ,a1=1a=a, a0=0a=a ,a0=0a=0。
证明:因为1≤a1, 又因(a1)L且1是全上界,∴a1≤1, ∴ a1=1。由交换律:1a=a1=1。 因为a≤a,a≤1,∴a a≤a1,即:a≤a1, 又a1≤a, ∴ a1=a。仿此可得另两式。
17
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格,对于L中的一个元素 a,如果存在bL,使得ab=1和ab=0,则称元素 b是元素a的补元。
6
§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b,有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL,如a≤b,
c≤d,则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)(交换律)交和并运算是可交换的。 (5)(结合律)交和并运算是可结合的。
7
§6.1 格的概念
(6)(幂等律)对L中每一个a,有aa=a,aa=a。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
,其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界,用 a b 表示a和b的最 小上界。即:
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算,
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
3
§6.1 格的概念
例:以下均为偏序集合格(D为整除关系,Sn为n的因 子集合)。
4
§6.1 格的概念
2.代数系统格 [定义]设 L, 是一个格,如果在A上定
义两个二元运算和,使得对于任意的a,bA, ab等于a和b的最小上界,ab等于a和b的最大 下界,那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
13
§6.2 分配格
[定理]每个链均是分配格。 证明:设<L,≤>是链。对任意a,b,cL (1)若a≤b或a≤c,则 a (b c) = a,
(a b) (a c)=a 即: a (b c) = (a b) (a c) (2)若a≥b且a≥c,则 a (b c) = b c,
第六章 格和布尔代数
§6.1 格的概念 §6.2 分配格 §6.3 有补格 §6.4* 布尔代数
1
第六章 格和布尔代数
教学目的及要求: 深刻理解和掌握格与布尔代数的基本概念和基本 运算。 教学内容: 格的概念、分配格、有补格、布尔代数、布尔表 达式。 教学重点:格、布尔代数、布尔表达式。 教学难点:布尔代数、布尔表达式。
9
§6.2 分配格
讨论定义: (1)定义中的两式互为对偶式。 (2)如<L,≤>非为分6配. 格,则有下面的分配不等式:
a (b c) ≤ (a b) (a c) a (b c) ≥ (a b) (a c) 以及模不等式: a≤ca (b c) ≤ (a b) c
10
§6.2 分配格
(7)(吸收律)对L中任意a,b,有
a(ab)=a
a(ab)=a。
8
§6.2 分配格
对格所定义的代数系统<L,,>,其运算和不一 定满足分配律。
[定义]设<L,,>是由<L,≤>所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cL,满足: a (b c)=(a b) (a c) 及 a (b c)=(a b) (a c) 则称<L,≤>是分配格。
讨论定义: (1)∵ 和是可交换的,∴补元是相互的。 (2)0 1 0 1 0 0,0 1 1 1 0 1,在有界格 中,1和0互为补元; (3)由定义可知L中一个元素的补元不一定唯一;
例:
18
§6.3 有补格
[定义]在一个有界格中,如果每个元素都至少有一 个补元素,则称此格为有补格。
讨论定义: (1)在有补格中,每一个元素一定存在补元(不一
定是一个补元); (2)有补格一定是有界格,而有界格不一定是有补
格。请看下例:
19
§6.3 有补格
[定义]在一个有界格中,如果每个元素都至少有一 个补元素,则称此格为有补格。
讨论定义: (1)在有补格中,每一个元素一定存在补元(不一
定是一个补元); (2)有补格一定是有界格,而有界格不一定是有补
[定义]如对L中任意a,b,c有: a≤ca (b c) = (a b) c
则称<L,≤>为模格。 例:
11
§6.2 分配格
[定理]如果格中交对并是分配的,那么并对交也是 分配的,反之亦然。
证明:已知a(bc)=(ab)(ac) (ab)(ac)=((ab)a)((ab)c) =a((ab)c) =a((ac)(bc)) =(a(ac))(bc) =a(bc)
(a b) (a c)= b c 即:a (b c) = (a b) (a c)。得证。
14
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个格,如果存在元素aL,对 于任意的x L,都有: a≤x 则称a为格<L,≤>的全下界,记格的全下界为0。
例:
15
§6.3 有补格
[定理]如果格<L,≤>有全上界(全下界),那么它 是唯一的。
5
§6.1 格的概念
3.格的主要性质: (1)格的对偶原理 设<L,≤>是格,“≤”的逆关系“≥”与L组成的偏
序集 <L, ≥>也是格。两者互为对偶。前者的GLB,LUB 恰好是后者的LUB,GLB。如有关于<L,≤>的有效 命题,将“≤”换成“≥”,“”换成“”, “”换成 “”,便能得到<L, ≥>的有效命题。 反之亦然。
即:并对交也是分配的。
12
§6.2 分配格
[定理]分配格是模格。 证明:由于a (b c) = (a b) (a c) (1)若a≤c,则a c=c,代入上式得
a (b c) = (a b) c (2)若a (b c) = (a b) c,则
a≤ a (b c) = (a b) c≤c,即: a≤c ∴分配格是模格