人教版七年级(数学)下册解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
人教版七年级下册数学：平面直角坐标系中的面积问题(共16张PPT)
(三)三角形的任意一边不与坐标轴平行
例3 三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A（7，1），B（4，5），C（-3，3）， 求三角形ABC的面积.
B C
A
8
解决问题
3.你能求情景引入中三角形地皮的面积吗？
y
5
4 中心广场
(1,3)
3
2
1
牡丹亭
(6,2)
x
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
SBCE SABF
y355142.513.5C(1,3)5 1E
B(6,2)
1 2 3 4 5 46 7 8 x
7
F
10
拓展延伸
4. 四边形ABCD四个顶点的坐标分别为 A（0，-2），B（3，0），C（7，-2）， D（4，-7）求四边形ABCD的面积.
B
A
C
D
11
拓展延伸
5. 四边形ABCD四个顶点的坐标分别为 A（-2，0），B（3，0），C（7，-2）， D（4，-7）求四边形ABCD的面积.
1
一、情景引入
如图,这是一个利用平面直角坐标系画出的某公园 的示意图,音乐台、牡丹亭、中心广场的坐标分别是 (-1,-2),(6,2),(1,3), 现需要在它们所围成的三角形 地皮上进行绿化，那这块三角形地皮的面积是多少？
y
5
4 中心广场
(1,3)
3
2
1
牡丹亭
(6,2)
x
-2 -1 O
-1
音乐台
A（7，1），B（4，5），C（-3，3），
求三角形ABC的面积.
S BC D
1 2
27
7
D
S BEA
人教版七年级数学下册解题技巧专题
人教版七年级数学下册解题技巧专题目录：目录：【专题一】平行线中作辅助线的方法【专题一】平行线中作辅助线的方法【专题二】相交线与平行线中的思想方法【专题三】开方运算及无理数判断中的易错题【专题四】平面直角坐标系中的图形面积【专题五】平面直角坐标系中的变化规律【专题六】解二元一次方程组【专题六】解二元一次方程组【专题七】一元一次不等式（组）与学科内知识的综合【专题八】一元一次不等式（组）中含字母系数的问题【专题一】平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题◆类型一类型一 含一个拐点的平行线问题含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A ．30°B ．32°C ．42°D ．58°第1题图 第2题图题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD ＝90°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足( ) A ．∠α＋∠β＝180°B ．∠β－∠α＝90°C ．∠β＝3∠αD ．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB ∥CD ，∠B ＝35°，∠D ＝32°，求∠BED 的度数．的度数． 解：过E 作EF ∥AB .∵AB ∥CD ，∴CD ∥EF .∵AB ∥EF ，∴∠1＝∠B ＝35°35°..又∵CD ∥EF ，∴∠2＝∠D ＝32°，∴∠BED ＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°67°. . 如图②、如图②、图③，图③，图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．题，请你帮他解决．(1)如图②，已知∠D ＝30°，∠ACD ＝65°，为了保证AB ∥DE ，∠A 应多大？应多大？ (2)如图③，要使GP ∥HQ ，则∠G ，∠GFH ，∠H 之间有什么关系？之间有什么关系？◆类型二类型二 含多个拐点的平行线问题含多个拐点的平行线问题4．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝70°，∠CDE ＝140°，则∠BCD 的大小为( ) A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°第4题图 第5题图题图5．如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________． 6．如图，给出下列三个论断：①∠B ＋∠D ＝180°；②AB ∥CD ；③BC ∥DE .请你以其中两个论断作为已知条件，请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________． 解：解：7．如图①，AB ∥CD ，EOF 是直线AB ，CD 间的一条折线．间的一条折线． (1)试说明：∠EOF ＝∠BEO ＋∠DFO ；(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO ，∠EOP ，∠OPF ，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．【专题二】相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想类型一 方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为() A．180°B．160°C．140°D．120°题图第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B 的度数．的度数．4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC. (1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．由．◆类型二分类讨论思想类型二 分类讨论思想5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对．以上都不对6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，MPA A＝40°，则∠NPB的度数是________________．当∠MP7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则180°))其他所有可能符合条件的度数为________________．∠BAD(0°＜∠BAD＜180°8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD 上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．之间的关系．第9题图题图第10题图。
人教版数学七年级下册 微探究小专题3 平面直角坐标系中的面积问题 PPT课件
微探究小专题3 平面直角坐标系中的面积问题
∵A(3,3),B(5,1),C(-2,-3),
∴D(-2,3),E(5,3),F(5,-3).
∴DC=6,CF=7,DA=5,AE=2,BE=2,BF=4.
∴三角形
=长方形
–三角形
-三角形
-三角形
=
6×7-6×5× -2×2× -7×4× =11.
求三角形ABC的面积.
解:∵C(0,4),D(0,1),∴CD=4-1=3.
∵由题图可知,三角形ACD中,CD边上的高为点A横坐
标的绝对值3;三角形BCD中,CD边上的高为点B横坐
标的绝对值2,
∴三角形
=3×3× =4.5,三角形
=3×2× =3.
∴三角形
=三角形
+三角形
微探究小专题3 平面直角坐标系中的面积问题
4.[2023·沧州盐山县期末改编]如图,已知A(0,2),B(4,0),C(-1,-1),求三角形
ABC的面积.
微探究小专题3 平面直角坐标系中的面积问题
.解:过点A,B,C作长方形DEFC,如图所示.
∴S三角形ABC=S长方形DEFC-S三角形ADC-S三角形AEB-S三角形BCF=5×3-1×3×
微探究小专题3 平面直角坐标系中的面积问题
1.如图,已知A(-2,0),B(4,0),C(-4,4),求三角形ABC的面积.
解:∵A(-2,0),B(4,0),∴AB=4-(-2)=6.
∵C(-4,4),
∴三角形ABC的边AB上的高为4.
人教版数学七年级下册8.平面直角坐标系中的面积问题-课件
1 — 2
×(AD+BE)×DE
+ —1 ×EC×BE-5 -4 -3 -2 -1
12
3
1D O-11
2
3
E
34
C
15 6
x
2
= —1 ×1×2+ —1 ×(2+3)×3+
-2
2
2
—1 ×1×3
2
-3 -4
=10
典例精讲
S 解： 四边形OABC
= S梯形OCBD
y
4
D3
B补
- S OAD- S ADB
则△ABC的面积为：
—1 BC ·AO
2
-2
= —1 ×5 ×2 =5
-3
2
-4
典例精讲
二：利用割补法求图形的面积
例2：如图，求四边形OABC的面积。
y
4
3A
2 1
O1 2
利用割补法求图 形的面积
B
C 3 4x
典例精讲
y
S 解： 四边形OABC
割 =S OAD+ S梯形ADEB
4
3A
B
2
S =+—21 ×OBDE×C AD+
例3：在平面直角坐标系中，已知点 A(0,3),B(2,1),C(3,4).在x轴上是否存在点P，使 △OCP的面积为△ABC面积的1.5倍？说明理由。
解：因为S ABC
= S梯形EBCD- S AEB - S ADC
D A
= —1 ×(3+2)×3— —1×2×2— —1×1×3 =4
2
2
2
E
所以S OCP= 1.5S ABC=6
人教版七下数学第七章 巧用坐标解图形面积问题的四种常见题型
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点分别 是 O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)．求四边 形 OABC 的面积．
【点拨】本题的解题技巧在于把不规则的四边形 OABC 分割为 几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用 分割法，还可以用补形法.
7．已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)． (1)若点 C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点 C 的坐标，并求
三角形 ABC 的面积；
解：因为点 C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4， 所以点 C 的坐标为(－4，4)． 又易知 AB＝6，所以 S 三角形 ABC＝12×6×4＝12.
解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D， 过点B作BE⊥AD，垂足为点E.
观察上图可知 D(－4，0)，E(－4，8)，所以 BE＝－4－(－12)＝ 8，AE＝10－8＝2，CD＝－4－(－14)＝10. 所以 S 四边形 OABC＝S 三角形 AOD＋S 三角形 ABE＋S 梯形 DEBC ＝12OD·AD＋12AE·BE＋12(BE＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8 ＝20＋8＋72＝100.
人教版 七年级下
第七章 平面直角坐标系
阶段题型专训 巧用坐标解图形面积问题的四种常见
题型
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3 见习题 4 见习题
5A 6 －2.4或2.4 7 见习题
答案显示
1．如图，已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形 ABC 的面积．
解：因为 C 点坐标为(－4，4)， 所以三角形 ABC 的 AB 边上的高为 4. 又由题易知 AB＝6， 所以 S 三角形 ABC＝12×6×4＝12.
人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计
人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。
二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。
七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。
教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。
三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。
五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为： 例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为： 到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。
人教版七年级数学下册巧用坐标求涉图形的面积问题的五种方法
5．如图，四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O（0，0），A（2， 0），B（4，2），C（2，3），过点 C 与 x 轴平行的直线 EF 与 过点 B 与 y 轴平行的直线 EH 交于点 E.
4．如图，已知 A（－2，0），B（4，0），C（2，4）， （1）求△ABC 的面积；
解：过 C 作 CD⊥AB 于 D，则 CD＝4. 又易知 AB＝4－(－2)＝6， ∴S（2）设 P 为 x 轴上一点，若 S△APC＝12S△PBC，求 P 的坐标．
3．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点分别 是 O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)．求四边 形 OABC 的面积．
【点拨】本题的解题技巧在于把不规则的四边形 OABC 分割为 几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用 分割法，还可以用补形法.
人教版 七年级下
第七章 平面直角坐标系
阶段核心方法专训 巧用坐标求涉图形的面积问题的五种
方法
1．如图，已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形 ABC 的面积．
解：因为 C 点的坐标为(－4，4)， 所以△ABC 的 AB 边上的高为 4. 因为点 A，B 的坐标分别为(－2，0)，(4，0)，所以 AB＝6. 所以 S△ABC＝12×6×4＝12.
（2）在线段 EH 上是否存在点 P，使得四边形 OAPC 的面积为 7？若不存在，说明理由；若存在，求点 P 的坐标．
平面直角坐标系中的面积问题
突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法”，即套用求面积的公式.二是常用“割补法”.割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分.三是“平行线转化法”，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB2=（x 1- x2）2 + （y1– y2）2 .若两点平行于坐标轴，则两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回顾】：例1如图Δ ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求ΔABC的面积.例2如图2，点C为平面直角坐标系中的任意一点，已知点A （-5，0），点B （3, 0）Δ ABC的面积为12，试说明点C的坐标特点.例3如图Δ ABC三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.y >6 -5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4图5例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2），（1，0），（6，2）（2, 4）求四边形 ABCD 的面积.类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为 （2，一 1），则Δ ABC 的面积为 ________________________ .y,:4(?1)〆o123 4 1例6如图，已知Δ ABC中，A（4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8已知：A（0,1）,B（2,0）,C（4，3）.（1）在坐标系中描出各点，画出ΔABC（2）求ΔABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。
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解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一直接利用面积公式求图形的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()
A．2B．4C．8D．6
第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．
◆类型二利用分割法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．
4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】
(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；
(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？
(3)求多边形ABCDEF的面积．
◆类型三利用补形法求图形的面积
5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题
6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)求点B的坐标；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
2.1523．11解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D .∵A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)，∴OC ＝2，BD
＝4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO ＝S 梯形OCBD ＋S 三角形ABD ＝12
×(4＋2)×3＋12
×1×4＝9＋2＝11.4．解：(1)A (－2，0)，B (0，－3)，C (3，－3)，D (4，0)，E (3，3)，F (0，3)．
(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．
(3)S 多边形ABCDEF ＝S 三角形ABF ＋S 长方形BCEF ＋S 三角形CDE ＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12
×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.
5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)．
(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF －S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.
6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．
(2)S 三角形ABC ＝12
×3×4＝6.(3)存在这样的点P .设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203
.点P 在y 轴正
半轴时，点P 在y 轴负半轴时，综上所述，点P。