天一大联考 2014-2015学年高三年级上学期期末考试数学(理科)答案
数学_2014-2015学年河南省某校高三(上)第二次联考数学试卷(理科)(含答案)
2014-2015学年河南省某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知实数R 为全集，集合A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={y|y =√4x −x 2}，则(∁R A)∩B 等于（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, 1]D (1, 2] 2. 复数3−i2+i 的实部与虚部之和为（ ）A 0B 1C 2D 33. 设随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)的值为（ ） A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.24. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B “x =−1”是“x 2−2x −3=0”的必要不充分条件C 命题“∃x ∈R 使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0”D 命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠5，则x ≠1或y ≠4”为真命题 5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是195，则输出的P =( )A 11B 12C 13D 146. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ ）A 3B 2√5C 6D 87. △ABC 中，∠A ＝60∘，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD →=13AC →+λAB →(λ∈R)，则AD 的长为（ ） A 1 B √3 C 2√3 D 38. 若函数y =2x图象上存在点(x, y)满足约束条件{x +y −3≤0x −2y −3≤0x ≥m，则实数m 的最大值为（ ）A 12 B 1 C 32 D 29. 已知θ为锐角，且sin(θ−π4)=√210，则tan2θ=( ) A 43 B 34 C −247 D 24710. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8−1)3+2015(a 8−1)=1，(a 2008−1)3+2015(a 2008−1)=−1，则下列结论正确的是（ ）A S 2015=2015，a 2008<a 8B S 2015=2015，a 2008>a 8C S 2015=−2015，a 2008≤a 8D S 2015=−2015，a 2008≥a 811. 已知函数f(x)=sinx ，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则关于f(x)g(x)有下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①函数y =f(x)⋅g(x)是偶函数； ②函数y =f(x)⋅g(x)是周期函数；③函数y =f(x)⋅g(x)的图象关于点(π2, 0)中心对称；④函数y =f(x)⋅g(x)的最大值为4√39． A 1 B 2 C 3 D 412. 已知定义在R 上的可导函数f(x)满足：f′(x)+f(x)<0，θ的终边不落在第一象限的角平分线上，则e √2−sinθ−cosθ与f(√2)的大小关系是（ ）Ae √2−sinθ−cosθ>f(√2) B e √2−sinθ−cosθ<f(√2) Ce √2−sinθ−cosθ=f(√2) D 不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13. 若(x +a)6的展开式中x 3的系数为160，则∫x a a1dx 的值为________．14. 已知双曲线3y 2−mx 2=3m(m >0)的一个焦点与抛物线y =18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．15. 已知三棱锥D −ABC 中，AB =BC =1，AD =2，BD =√5，AC =√2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为________．16. △ABC 中，BC =1，AB =√3，AC =√6，点P 是△ABC 的外接圆上的一个动点，则BP →⋅BC →的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17. 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a(S n−a n+1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18. 衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括9的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：(Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．19. 在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．（1）求证A1A⊥A1C；（2）若A1A=A1C，求二面角B−A1C−B1的余弦值．20. 已知动圆M过定点F(1, 0)且与直线x=−1相切，圆心M的轨迹为H．（1）求曲线H的方程；（2）一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x=−1上的动点，是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．21. 已知函数f(X)的定义域为(0, +∞)且满足2f(x)+f(1x )=2lnx+a(2x+1)x+1．（1）若a=−8，判断f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2(x1≠x2)，求证：f(x1)+f(x2)≥f(x)+2x−2．选考题（在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22.如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BĈ的中点，连接AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E ． （1）求证：OE =12AC ；（2）求证：PDPA =BD 2AC 2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知不等式|t +3|−|t −2|≤6m −m 2对任意t ∈R 恒成立． (1)求实数m 的取值范围.(2)若(1)中实数m 的最大值为λ，且3x +4y +5z =λ，其中x ，y ，z ∈R ，求x 2+y 2+z 2的最小值．2014-2015学年河南省某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. D5. D6. C7. C8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 13. 7314. 2 15. 6π 16. 2 17. 解：（1）根据S n =a(S n −a n +1)，分别令n =1，2，3，可求得： a 1=a ，a 2=a 2，a 3=a 3； ∴ 6a +a 2=a 3； ∵ a >0；∴ 6+a =a 2，解得a =3； ∴ S n =3(S n −a n +1)①；∴ n >1时，S n−1=3(S n−1−a n−1+1)②； ∴ ①-②得：a n =3a n−1； ∴ a nan−1=3；∴ {a n }是首项为3，公比为3的等比数列； ∴ a n =3n ；（2）b n =3n log 23n =n ⋅3n log 23；∴ T n =b 1+b 2+...+b n =log 23(1⋅31+2⋅32+...+n ⋅3n ) ①； ∴ 3T n =log 23(1⋅32+2⋅33+⋯+n ⋅3n+1) ②； ∴ ①-②得：−2T n =log 23(3+32+⋯+3n −n ⋅3n+1)=log 23⋅[3(1−3n )1−3−n ⋅3n+1]=32−(n +12)3n+1； ∴ T n =−34+2n+14⋅3n+1．18. （I ）获得参赛资格的人数m ＝(0.005+0.0043+0.032)×20×500＝125 (II)平均成绩：X ¯=(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20＝(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)×20＝78.48 (III)设甲答对每一道题的概率为．P 则(1−p)2=19，∴ p =23， ∴ ξ可能取得值为3，4，5， P(ξ＝3)＝P 3+(1−P)3=13，P(ξ＝4)=C 32P 2(1−p)P +C 32(1−p)p(1−p)=1027，P(ξ＝5)＝1−13−1027=827，∴ ξ的分布列为Eξ=3×13+4×1027+5×827=10727．19. 解：（1）∵ 平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴ BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴ A 1A ⊥BC ，∵ A 1B ⊥C 1C ，A 1A // CC 1 ∴ A 1A ⊥A 1B ，∴ A 1A ⊥平面A 1BC ， ∴ A 1A ⊥A 1C ；(II)建立如图所示的坐标系C −xyz ．设AC =BC =2， ∵ A 1A =A 1C ，则A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(1, 0, 1)，C(0, 0, 0)．CB →=(0, 2, 0)，CA1→=(1, 0, 1)，A1B1→=AB →=(−2, 2, 0)．设n 1→=(a, b, c)为面BA 1C 的一个法向量，则n 1→⋅CB →=n 1→⋅CA1→=0，则{2b =0a +c =0取a =1，n 1→=(1, 0, −1)． 同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2→=(1, 1, −1)．∴ cos <n 1→，n 2→>=|n 1→||n 2|˙=√63， ∴ 二面角B −A 1C −B 1的余弦值为√63．20. 解：（1）由题意圆心为M 的动圆M 过点(1, 0)，且与直线x =−1相切， 所以圆心M 的轨迹是以(1, 0)为焦点的抛物线， ∴ 圆心M 的轨迹方程为y 2=4x ．F(1, 0) 故曲线H 的方程为：y 2=4x ．（2）假设存在点C ，使得△ABC 为正三角形，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−1, m)， 直线AB 的方程．{y 2=4x x =ty +1，化简得：y 2−4ty −4=0，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4 x 1+x 2=4t 2+2，得AB 的中点坐标M(2t 2+1, 2t)，①当直线的斜率不存在时，t =0，A(1, 2)，B(1, −2)，可能C(−1, 0)， AB =4，AC =BC =2√2，不可能为正三角形，②当直线的斜率存在时，M(2t 2+1, 2t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(−1, m)， |AB|=x 1+x 2+2=4t 2+2+2=4t 2+4 ∵ △ABC 是正三角形， ∴ K CM ⋅K AB =−1， 即−m−2t 2t 2+2⋅1t=−1，得m =2t 3+4t∴ C(−1, 2t 3+4t)，∵ |CM|=√(2t +2t 3)2+(2t 2+2)2=(2t 2+2)√t 2+1， ∴ √32(4t 2+4)=(2t 2+2)√t 2+1，解得：t =±√2，m =2(√2)3+4√2=8√2所以存在这样的点C(−1, ±8√2)，使得△ABC 是正三角形 21. 解：令1x=t ，x =1t，则：2f(1t )+f(t)=2ln 1t +a(2t +1)1t+1=−2lnt +a(t+2)t+1；∴ f(x)+2f(1x )=−2lnx +a(x+2)x+1①；又2f(x)+f(1x )=2lnx +a(2x+1)x+1②； ∴ ①②联立得f(x)=2lnx +axx+1；∴ （1）a =−8时，f(x)=2lnx −8xx+1，f′(x)=2x−8(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0；∴ 函数f(x)在定义域(0, +∞)上单调递增； （2）f′(x)=2x 2+(4+a)x+2x(x+1)2；若f(x)在定义域上有两个极值点x 1，x 2(x 1≠x 2)，则方程2x 2+(4+a)x +2=0有两个不等实根，且： x 1+x 2=−4+a 2，x 1x 2=1；∴ f(x 1)+f(x 2)=2lnx 1+ax 1x 1+1+2lnx 2+ax 2x 2+1=a ；∵ a =f(x)−2lnxx⋅(x +1)；∴ 要证明原不等式成立，只要证明f(x)−2lnxx⋅(x +1)≥f(x)+2x−2=f(x)−2(x−1)x；也就是证明对任意的x >0，lnx ≤x −1； 令g(x)=lnx −x +1，g′(x)=1x −1=1−x x；∴ x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，x ∈(1, +∞)时，g′(x)<0；∴ g(1)=0是g(x)的最大值，∴ g(x)≤0，即lnx −x +1≤0，lnx ≤x −1； ∴ f(x 1)+f(x 2)≥f(x)+2x−2．22. （1）证明：因为AB 为⊙O 直径，所以∠ACB =90∘，即 AC ⊥BC ，因为D 是弧BĈ的中点，由垂径定理 得OD ⊥BC ，因此OD // AC又因为点O 为AB 的中点，所以点E 为 BC 的中点，所以OE =12AC（2）证明：连接CD ，因为PC 是⊙O 的切线， 所以∠PCD =∠CAP ， 又∠P 是公共角，所以△PCD ∽△PAC ． 得PC PA =PD PC =CD AC，∴ PCPA ×PDPC =CDAC ×CDAC ， ∴ PDPA =CD 2AC 2．因为D 是弧BC ̂的中点，所以CD =BD ，因此PD PA =BD 2AC 2． 23. 解：（1）由ρcos(θ−π4)=2√2， 得ρ(cosθ+sinθ)=4，∴ l:x +y −4=0，∵ {x =√3cosθy =sinθ，（θ为参数），∴ 消去参数得x 23+y 2=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1和直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0； （2）在C:{x =√3cosθy =sinθ上任取一点(√3cosθ, sinθ)，则点P 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−4|√2=|2sin(θ+π3)−4|√2≤3√2，∴ 当sin(θ+π3)=−1时，d max =3√2，此时这个点的坐标为(−32,−12)．24. 解：(1)∵ |t +3|−|t −2|≤|(t +3)−(t −2)|=5， 不等式|t +3|−|t −2|≤6m −m 2对任意t ∈R 恒成立， 可得6m −m 2≥5，求得1≤m ≤5， 即实数m 的取值范围为{m|1≤m ≤5}． (2)由题意可得 λ=5，3x +4y +5z =5．∵ (x 2+y 2+z 2)(32+42+52)≥(3x +4y +5z)2=25， 当且仅当x3=y4=z5时，等号成立， 即x =310，y =25，z =12 时，取等号． ∴ 50(x 2+y 2+z 2)≥25，∴ x 2+y 2+z 2≥12，即x 2+y 2+z 2的最小值为12.。
天一大联考2014-2015学年高三年级上学期期末考试
天一大联考2014-2015学年高三年级上学期期末考试文科综合本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第1卷本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
下图为某区域地形与1 2月7-14日的大气垂直结构示意图，图中的粗虚线为对流层顶，细实线为等压线(单位：hPa)，细虚线为等温线（单位：℃）。
据此完成1—2题。
1．b、c两地之间的对流层比d、e两地之间的对流层厚的主要原因是A．纬度较低B．暖流流经C．深居内陆D．地势较低2．图中a、b两地之间与c、d两地之间的天气状况分别是A．a、b两地之间为晴朗天气，c、d两地之间为降水天气B．a、b两地之间和c、d两地之间均为降水天气C．a、b两地之间和c、d两地之间均为晴朗天气D．a、b两地之间为降水天气，c、d两地之间为晴朗天气读某山地及附近地形剖面示意图，完成3—5题。
3．图中的中山山地在形成原因上属于A．背斜山B．向斜山C．断块山D．火山4．图中P区域古聚落密集的主要原因是A．地势平坦，土肥水足B．矿产资源丰富C．气候温和多雨D．交通便利5．图示区域温泉久负盛名，甲、乙、丙、丁四地中最有可能存在大型温泉的是A．甲B．乙C．丙D．丁下图为欧洲某地区农业地域类型中的土地利用示意图，夏季上山放牧、农田两年轮种和种植橄榄是图示地区重要的农业生产特点。
据此完成6~7题。
6．该地区的农业地域类型主要是A．水稻种植业B．混合农业C．大牧场放牧业D．商品谷物农业7．该地区的农业生产特点反映了人与自然的和谐，形成这一特点的主要自然原因是A．水源不足B．土壤贫瘠C．洪涝频繁D．气温较低读1979-2010年中国西部大城市制造业企业迁移模式图，完成8~9题。
8．在这段时期，我国西部大城市在产业空间分布上工业集中程度最高的区域是A．城市中心区B．城市近郊内缘C．城市远郊内缘D．城市近郊外缘9．这段时期，影响我国西部大城市企业迁移的主要因素是A．地理位置B．自然资源C．优惠政策D．生态环境托坎廷斯河发源于戈亚斯州巴西利亚中部（海拔1 000m）阿纳波利斯附近，自源头由南向北沆，在贝伦附近注入大西洋马拉若湾。
天一大联考2014—2015学年高三期末理科综合参考答案
天一大联考2014—2015学年高三年级上学期期末考试理科综合·答案1～21题，每小题6分，共126分。
1.C2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.B9.A 10.B 11.D12.C 13.A 14.C 15.D 16.A 17.B 18.C 19.BD 20.CD 21.BD22. 6.3(2分，6.1~6.5均给分) 2.5(2分，2.4~2.6均给分) 无影响(1分) 偏大(1分)23.（1）0.1 相同 （2）0.15（每空3分）24.（1）物体放到传送带上后，沿斜面向下做匀加速直线运动，物体受力分析如图甲所示，则a 1=g sin θ+μg cos θ=10 m/s 2（2分）当物体加速到与传送带同速时对应的时间为：t 1=1v a =1 s(2分) 对应的位移为：x 1＝212v a ，代入数据解得：x 1＝5 m(2分) （2）物体加速到与传送带同速后，因为mg sin θ>μmg cos θ，所以物体相对于传送带向下运动，摩擦力变为沿斜面向上(受力如图乙所示)，所以物体加速度为：a 2=g sin θ-μg cos θ=2 m/s 2(2分)设物体完成剩余的位移x 2＝L-x 1=24 m 所用的时间为t 2，则x 2＝vt 2+12222a t (2分) 代入数据解得：t 2=2 s(2分)所以：t=t 1+t 2=1 s+2 s=3 s(2分)25.（1）当金属棒的速度最大时，产生的感应电动势最大，电阻R 消耗的功率最大。
由图像可知，导体棒的最大速度为v 0，根据导体切割磁感线产生的电动势公式有E m ＝Bl 0v ＝2 V （2分）根据闭合电路欧姆定律有m m E I R r=+＝0.4 A （2分） 所以电阻R 消耗的最大功率为2m m P I R =＝0.64 W （2分）（2）由v t -图像可知，金属棒做匀变速运动的加速度为ΔΔv a t=＝-2 m/s 2（1分） 速度与时间的函数关系为v ＝4-2t （1分）设沿导轨向上为正方向，金属棒受到的安培力为A 0.10.2F BIl t ==- （2分）金属棒沿导轨上滑阶段，根据牛顿第二定律得A cos sin mg mg F F ma μθθ--++= （2分）解得：F ＝1.4－0.1t （0＜t ＜2），方向沿斜面向上 （2分）金属棒沿导轨下滑阶段，根据牛顿第二定律得A sin cos mg F mg F ma θμθ-+++= （2分）解得：F ＝0.6-0.1t （2＜t ＜4），方向沿斜面向上 （2分）26.（1）除去氯气中混有的HCl 气体（2分）（2）2Na 2CO 3+2Cl 2+H 2O====2NaHCO 3+2NaCl+Cl 2O （2分）（3）b （2分）（4）①向上排空气法（2分）②防止Cl 2和ClO 2泄漏（或其他合理答案，2分）③2ClO 2+2CN -====N 2+ 2CO 2+2Cl -（2分） 5013b （2分）27.（1）+2（2分）0.2（2分）（2）2MnO2+Cu2S+8H+====S+ 2Mn2++2Cu2++4H2O（2分）S和CuSO4（2分）（3）MnO2+2e-+2H2O====Mn(OH)2+2OH-（2分）（4）MnO2-4-e-====MnO-4（2分） 2 g（2分）28.Ⅰ.（1）-1 160 kJ·mol-1（2分）K22/K1（2分）（2）cd（2分）Ⅱ.（3）①酸性（2分）HSO-3的电离程度大于水解程度，溶液显酸性（2分）②增大（2分）（4）2NO+3H2O+4Ce4+====4Ce3++NO-2+NO-3+6H+（3分）29.（除注明外，每空1分，共9（1）最快A—P～P～P（2）红光和蓝紫光区域（3）下降呼吸酶氧气是有氧呼吸的原料（4）①大于②细胞呼吸的酶比光合作用的酶对高温的敏感性低（或光合作用的酶比细胞呼吸的酶对高温的敏感性高）（2分）30.（除注明外，每空1分，共10（1）5 4（2）2 7/16（3）①截刚毛纯种正常刚毛②雌雄果蝇全为正常刚毛（2分）雄果蝇全为截刚毛，雌果蝇全为正常刚毛（231.（除注明外，每空1分，共10（1）获得抗体和记忆细胞（2分）艾滋病病毒的遗传物质是RNA，呈单链，易发生变异（2（2）侵染性（3）增强诱导产生的体液免疫反应和细胞免疫反应（2（4）含疫苗的接种物（或疫苗） 接种不含疫苗的接种物 不同浓度的疫苗（或含不同浓度疫苗的接种物）32.（除注明外，每空1分，共10（1）矿质元素（或无机盐） “J ”（2）垂直 鱼类食性不同（3）浮床植物能吸收N 、P 等矿质元素 水葫芦遮光，水中藻类因不能进行光合作用而死亡（4）高 该时期对照组藻类大量繁殖，浮游动物急剧增加，导致水体中溶氧量下降（2分）33.（1）ACD （6分）（2）①气缸倒置前后封闭气体等温变化：10p p =+p '=1.2×105Pa （1分）20p p =-p '=0.8⨯105Pa （1分）1p L 1 =2p L 2解得： L 2=15 cm （2分）②气缸倒置后升高温度，封闭气体等压变化：T 2=T 1=(273+27)K=300 KL 2=15 cm ，L 3=25 cm3223V V T T =（3分） 332V T V =322L T L =T 2=500 K （2分） 34.（1）BCE （6分）（2）①由几何关系知，光线在AC 边射入时的入射角为45︒，根据折射定律有： sin 45sin n α︒=（2分）解得：α＝30°（1分）②光线在棱镜中，设全反射的临界角为C ，有：1sin C n = （1分）解得：C ＝45°º（1分）如图所示，由几何关系知，第一次折射后到达底边CD 的光线，在CD 边的入射角θ＝75°＞C ，光线在CD 边发生全反射，不能从CD 边射出（2分）由几何关系知，光线到达BD 边处的入射角为30°，小于临界角C ，故光线从BD 边射出。
【精品】2014-2015年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
例． 20． （14 分） 已知 k 为实数， 对于实数 a 和 b 定义运算“*”： a*b= 设 f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1） ． （Ⅰ）若 f（x）在[﹣ ， ]上为增函数，求实数 k 的取值范围； （Ⅱ）已知 k ，且当 x＞0 时，f（f（x） ）＞0 恒成立，求 k 的取值范围． ，
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2014-2015 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1． （5 分）已知集合 A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆ A，则实数 a 的不同取 值个数为（ A．2 ） B．3 C．4 ”是“sinA＞ ”的（ ） D．5
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题：本大题共 7 小题，前 4 题每空 3 分，后 3 题没空 4 分，共 36 分． 9． （6 分）已知 f（x）= ，f（1）= ，f（f（3） ）= ． ，
10 ． （ 6 分）若正项等比数列 {an} 满足 a2+a4=3 ，a3a5=1 ，则公比 q= an= ．
4． （5 分）下列命题中，错误的是（
A．平行于同一平面的两个不同平面平行 B．一条直线如果与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面 垂直 D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 5． （5 分）函数 f（x）=Asin（ωx+ 成一个公差为 （x）的图象（ A．向左平移 C．向左平移 ） （ω＞0）的图象与 x 轴的交点的横坐标构
河南省安阳一中等天一大联考2015届高三数学阶段测试(三)试题 理(含解析)新人教A版
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。
通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.【题文】第I 卷【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】(1)已知全集U=R ，集合 {}{}2|02,|0A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为(A)(-∞,1]U(2,+∞) (B) ()(),01,2-∞ (C)[1，2) (D)(1，2]【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】A 解析：图中的阴影部分表示的集合为()()(](),12,A B C AB =-∞+∞, 故选 A .【思路点拨】根据题中韦恩图得阴影部分表示的集合为()()A B C A B ，再结合 {}{}2|02,|0A x x B x x x =≤≤=->得结论.【题文】(2)已知i 是虚数单位，则复数213(1)i i -++在复平面内所对应的点位于 (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案】【解析】D()1122i i -+==+-，所以 此复数在复平面内所对应的点位于第一象限.【思路点拨】先把复数化为a+bi 形式，再由复数的几何意义得结论.【题文】(3)已知数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-,则“ 0λ<”是“ 1,n n n N a a *+∀∈>” 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案】【解析】A 解析：因为22n a n n λ=-，所以1210n n a a n +-=->对于n ∈N +恒成立，所以0λ<”是“ 1,n n n N a a *+∀∈>”的充分不必要条件 .【思路点拨】先求出10n n a a +->的条件，再根据充分性、必要性的判定方法确定结论.【题文】(4)已知圆 222:(1)C x y r ++=与抛物线 2:16D y x =的准线交于A ，B 两点，且 8AB =，则圆C 的面积为( A)5 π (B)9 π (C)16π (D)25π【知识点】抛物线的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理. H7 H4【答案】【解析】 D 解析：设抛物线准线交x 轴于E ，则CE=3，所以2223425r =+=， 所以圆C 的面积为25π，故选 D.【思路点拨】结合图形可知，利用勾股定理求得圆C 半径得平方. 【题文】(5)已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0对， 2cos ,08,()6log ,8,x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩ ((16))f f -= (A) 12-(B) (C)12【知识点】奇函数的性质；分段函数的应用. B4 B1【答案】【解析】C 解析：因为2(16)log 164f ==，所以((16))f f -=(16)(4)ff f -=- 421cos cos 632ππ=-=-=，故选 C. 【思路点拨】根据奇函数的性质，以及分段函数的函数值的意义求解.【题文】(6)高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为( A)36 (B)24 (C)18 (D)12【知识点】排列与组合；计数原理. J2 J1【答案】【解析】A 解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由3种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由24A 种方法. 根据分步计数原理得不同的安排方案种数为24336A =种. 故选 A.【思路点拨】完成把六名教师中安排4人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论.【题文】(7)设 331sin(810),tan(),lg 85a b c π=-==，则它们的大小关系为 (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<c<a (D)c<a<b【知识点】数值大小的比较. E1 【答案】【解析】B 解析：∵()11,0,lg 1,085a b tan c π=-=>=∈-，∴a<c<b,故选B. 【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围，从而得到它们的大小顺序.【题文】(8)函数 33()xx f x e -=的大致图象是【知识点】函数图像得确定. B8【答案】【解析】C 解析：因为f(0)= -3,所以排除选项A 、B ；又因为33x ≥()0f x ≥,所以排除选项D,故选 C.【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项.【题文】 (9)如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分，其中113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为(A 211cm π (B) 222cm π211223( D)21122cm π【知识点】几何体的结构. G1【答案】【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，而若长方体 1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，则长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ，所以2222211(2)332222R R =++=⇒=，所以该几何体的外接球的表面积222cm π，故选 B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D -的外接球的关系，进而得结论.【题文】(10)执行如图所示的程序框图，输出的S 为(A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009【知识点】算法与程序框图. L1【答案】【解析】B 解析：根据程序框图得执行的结果是计算：()()()()2342014112131412014S =-+-+-+-++-()()()()12345620132014=-++-++-+++-+=1007，故选B .【思路点拨】根据程序框图描述的意义，得其运行结果是计算()()()()2342014112131412014S =-+-+-+-++-的值.【题文】(11)双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0垂直， 12,F F 为C 的焦点，A 为双曲线上一 点，若 又122F A F A =，则 21cos AF F ∠=(D) 14【知识点】双曲线及其性质. H6【答案】【解析】C 解析：因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0垂直，所以b=2a, 又122F A F A =，且122F A F A a -=，所以212,4F A a F A a ==，而2252c a c =⇒=，所以21cos AF F ∠=22222212211222F F AF AF F F AF +-== C. 【思路点拨】根据题意得a,b,c 关系，以及1212,,F A F A F F 关于a,b,c 的表达式，然后用余弦定理求得结论. 【题文】(12)设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的 取值范围是(A) 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) ln 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ( C) ln 21,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【知识点】函数的零点；数形结合法确定参数范围；导数的几何意义. B9 B12 【答案】【解析】C 解析：即方程ln x ax =区间(0，4)上有三个根，令()()1ln h x x h x x '=⇒=，由h(x)在()00,ln x x 处切线()0001ln y x x x x -=-过原点得0x e =，即曲线h(x)过原点得切线斜率为1e ，而点()4,ln 4与原点确定的直线的斜率为ln 22所以实数a 的 取值范围是ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选 C.【思路点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，方程的根与两函数图像交点的关系，采用数形结合法，结合导数的几何意义，确定参a 的取值范围.【题文】 第Ⅱ卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分【题文】(13)设 2010sin n xdx π=⎰，则 n-展开式中的常数项为_________（用数字作答）【知识点】定积分；微积分基本定理；二项式定理. B13 J3【答案】【解析】210 解析：2010sin n xdx π=⎰=2010cos |10x π-=，又n -展开式的通项()1510536110101r r r r r r r T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由55066r r -=⇒=，所以展开式中的常数项为()66101210C -=.【思路点拨】由微积分基本定理得n=10，由二项展开式的通项公式得展开式中的常数项为第七项()6661101210T C +=-=. 【题文】14某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B 就行；小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行；小刘说：除了E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为____【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：小赵可以看的电影的集合为：{A,C,D,E,}，小张可以看的电影的集合为{B,C,D,E}，小李可以看的电影的集合为：{A,B,D,E}，小刘可以看的电影的集合为： {A,B,C,D}，这四个集合的交集中只有元素D ，故填D .【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合，然后求这些集合的交集即可.【题文】(15)△ABC 中， 2,1,120AB AC BAC ==∠=，若 2BD DC =，则 AD BC ⋅= =______________.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案】【解析】13- 解析：因为2,3BD BC BC AC AB ==-,所以AD BC ⋅= ()212333AB BC BC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AC AB =-⋅- 21121cos120333=--⨯⨯⨯=-. 故填13-. 【思路点拨】先把,AD BC 用,AB AC 表示，再用向量数量积的运算性质求解.【题文】(16)已知数列{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列 {}n x 满足 11233,39,x x x x =++= 1212n n n a a a n n n x x x ++++==，则 n x =__________.【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法. D2 D3【答案】【解析】3n 解析：设1212n n n a a a n n n x x x ++++===k ，则1log log n n x k n na k x a =⇒=， 同理121211log ,log k n k n n n x x a a ++++==，因为数列{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以212122log log log k n k n k n n n n x x x x x x ++++=+⇒=，所以数列 {}n x 是等比数列，把13x =代入12339x x x ++=得公比q=3(负值舍去)，所以1333n n n x -=⨯=.【思路点拨】设1212n n n a a a n n n x x x ++++===k ，利用指数与对数互化及对数换底公式得1log k n nx a =， 121211log ,log k n k n n n x x a a ++++==，再由{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算性质得212n n n x x x ++=，所以数列 {}n x 是等比数列，又因为{}n x 各项都是正数且11233,39,x x x x =++=得公比q ,从而求得nx . 【题文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【题文】(17)（本小题满分10分）已知向量 2,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，记 ()f x m n =⋅ (I) 若 3()2f a =，求 2cos()3a π-的值； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 23π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围 【知识点】向量的数量积；三角函数的求值；三角函数的图像. F3 C3 C7【答案】【解析】(I)1(II) 302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 解析：()21cos cos sin 444262x x x x f x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ (I)由已知()32f a =得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，于是22224,cos cos 413333k k Z k ππππαπαπ⎛⎫⎛⎫=+∈∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(II)将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到函数()11sin 262g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，当x ∈70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，1626x πππ-≤-≤，所以11sin 1226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以1130sin 2622x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，若函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则k ∈302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的取值,从而求得使函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点得k 范围. 【题文】(18)（本小题满分12分）设等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ， 561124,143a a S +==数列 {}n b 的前n 项和为n T 满足112(1)()n a n T a n N λ-*=--∈(I)求数列 {}n a 的通项公式及数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和； (Ⅱ)是否存在非零实数 λ，使得数列 {}n b 为等比数列？并说明理由【知识点】等差数列、等比数列的性质；数列求和. D2 D2 D4【答案】【解析】(I) 69n n + (II)见解析. 解析：(I)设数列{}n a 的公差为d,由11665611143,13,a 24S a a a ==∴=+=又，解得511,d 2a ==,因此{}n a 的通项公式是()()*55221n a a n n n N =+-⨯=+∈ 所以1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而前n 项的和为 ()()11111111113557212323557212369n n n n n n ⎛⎫+++=-+-+-= ⎪⨯⨯+++++⎝⎭(II)因为1113,2(1)(),42n a n n n a T a n N T λλ-*==--∈∴=-124n n T λλ⇒=+ 当1n =时，16b λ=；当2n ≥时，1134n n n n b T T λ--=-=.所以()142n n b b n +=≥，若{}n b 是等比数列，则有214b b =而12612,b b λλ==，所以221124b b b b ==与矛盾，故数列{}n b 不是等比数列. 【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前n 项和，再通过项的关系判定{}n b 不是等比数列.【题文】(19)（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案】【解析】（1）215；（2），()1516E ξ=. 解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以42()3015P A ==. （2）由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，所以213115113316163355(0),(1)112112C C C P P C C ξξ====== 1231155331616111(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======,所以ξ的分布列为：故335511115()0123112112565616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为423015=；（2）由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，根据组合数公式求得ξ取每个值的概率，从而写出ξ的分布列，进一步求得ξ的期望.【题文】(20)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥DB ，其中三棱锥P- BCD 的三视图如图所示，且3sin 5BDC ∠=(1)求证：AD ⊥PB(2)若PA 与平面PCD 所成角的正弦值为121365，求AD 的长 【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6. 解析：由三视图可知ABCD PD AD ABCD AD PD ⊥⊂∴⊥平面，而面又,,,PBD AD AD DB PD BD D PD BD PBD ⊥⋂=⊂∴⊥且平面，平面，又PBD AD PB PB ⊂∴⊥平面，。
2014-2015年河北省廊坊市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
10． （5 分）已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥面 ABC，∠ABC=90°，PA=2，AB= 则该三棱锥的外接球体积为（ A．8π B． π ） C． π D．12 π
11． （5 分）动点 A（x，y）在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转一周，已知时间 t=0 时，点 A 的坐标为（ ， 时，动点 A 的纵坐标 y 的取值范围是（ A．[﹣ ，1] B．[﹣1，1] ） C．[﹣ ， ] D．[﹣ ，1] ） ，则当 0≤t≤6
16． （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17． （12 分）已知等差数列{an2}满足首项 a12=1，且公差 d=1，an＞0，n∈N+． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记 bn= ，求数列{bn}的前项和 Tn，并求 lg（Tn+1）的取值范围．
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D．135°
7． （5 分）已知函数 f（x）=5x﹣3sinx，x∈（﹣2，2） ，如果 f（1﹣a）+f（1﹣a2） ＜0 成立，则实数 a 的取值范围为（ A． （1 ， ） ） B． （1，3） D． （﹣2，1） }， 平面点集 B={ （x， y） | }，
C． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 8． （5 分） 已知平面点集 A={ （x， y） |
20． （12 分）在高中数学课本中我们见过许多的“信息技术应用”，我们可以利用 几何画板软件的拖动、动画及计算等功能来研究许多数学问题，比如：在平 面内做一条线段 KL，以定点 A 为圆心，以|KL|为半径作一圆，在圆内取一定 点 F，在圆上取动点 B，作线段 BF 的中垂线与圆 A 的半径 AB 交于点 P．当点 B 在圆上运动时，就会发现点 P 的运动轨迹． （Ⅰ）你能猜出点 P 的轨迹是什么曲线吗？请说明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以 线段 AF 的中点 O 为原点，以直线 AF 为 x 轴，建立平面直角坐标系，试求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点 A 作直线 l 与点 P 的轨迹交于两点 M、N，试求 线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程； （Ⅲ）拖动改变线段 KL 的长度，会发现点 P 的轨迹 C 的形状在发生变化，请问 在保持（Ⅰ）中轨迹 C 类型不变的前提下，当 C 的离心率 e 在什么范围变化 时，C 上总存在点 R，使得 AR⊥FR？
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学(理)试题(扫描版,有答案)
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C D B C B C A C二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13）2（14）3或73 （15）12π（16）804三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===又cos 3cos cos b C a B c B =-，所以sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，…………………………………………（2分） 即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 所以sin()3sin cos B C A B +=， 即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠， 所以1cos 3B =.………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由2,BA BC =得cos 2ac B =，又1cos 3B =，所以6ac =.……………………（8分） 由2222cos ,b a c ac B =+-22b =，可得2212a c +=， 所以2()0a c -=，即a c =，所以6a c ==.…………………………………………（12分）（18）解：（Ⅰ）由0.15100a =，得15a =，因为352510100ab ++++=，所以15b =，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率3123()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+⨯⨯-=………………………………………………（4分） （Ⅱ）记分期付款的期数为ξ,依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，…………………………………（6分）因为X 的可能取值为1,1.5,2,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=.…………………………………（10分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()10.35 1.50.420.25 1.45E X =⨯+⨯+⨯=（万元）.…………（12分）（19）解：（Ⅰ）当M 是PB 的中点时，BC ME //.因为//BC 平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，所以AN ME //.又AD ME //，所以N 、D 两点重合. 所以223(2)11PN PD ==+=.……………………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：连接AC 、BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则23(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(0,2,0),0,,.22B C P A E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 323(2,0,3),(0,2,3),0,,.22PB PC AE ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………（6分）设平面PBC 的一个法向量为=(,,),x y z m 则230,230,PB x z PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 令2z =，得(3,3,2).=m ………………………………………………………（8分） 设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则923223022sin cos ,.1533252AE θ+=〈〉==⋅m 所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.……………………………………（12分） X1 1.52 P 0.35 0.40.25解法二：设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ.因为()112322=+=PC ，所以211=CE ，所以1122112cos ==∠PCA .………………………………………（6分） 由余弦定理，得427cos 2222=∠⋅⋅-+=PCA CE AC CE AC AE ,故233=AE . 因为PCB A ABC P V V --=，易得23231=⨯⨯=-ABC P V ，10=∆PBC S ，……………………（8分）所以点A 到平面PBC 的距离10531032=⨯=d ，故15302sin ==AE d θ，所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为15302.…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M . 因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k ++=+.………………………………………………………（7分）由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+，…………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++，由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，…………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85.因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分） （21）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………（2分） 当0a <时，1()a x a f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=，若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞，则()0f x '<,()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a =-=--极大值.……………（4分）综上可知：当0a …时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，1()ln()1f x a =--极大值.…………………………………………………………………………………………………（5分） (Ⅱ)函数()g x 的导函数()e xg x b '=，(0)g b '∴=.(0)g b c =+，∴1,1,b c b +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴()e x g x =.…………………………………………………………………………………（6分）当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()e ln 2xx x ϕ=--，∴1()e x x xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数，设()0x ϕ'=的根为x t =，则1e t t=，即e tt -=，当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，……………………………（9分）min ()()e ln 2e lne 2e 2t t t t x t t t ϕϕ-∴==--=--=+-.……………………………（10分）(1)e 10ϕ'=->，1e 202ϕ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1,12t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由于函数()e 2xx x φ=+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，∴12min 11()()e 2e 2 2.252022tx t t ϕϕ==+->+->+-=， ∴()()2f x g x <-.…………………………………………………………………………（12分） （22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EFDG AG=. 因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. …………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当240,x +…即2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当240,x +>.即2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。
河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)
天一大联考高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。
下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。
图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN的最小值是7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 21xf x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3322⎡-+⎢⎣⎦11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,1,cos sin .AB AD CD αβ===+ （1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.A D A B A E ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分） 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。