2014年高一自主招生(数学)试题
上海中学自主招生数学试题(含解析)
2
4
【解析】（1）设正五边形 ABCDE ，联结 AC, BE ，且设它们交于点 M ．可以计算得到
ABM ABC 36 ，因此 ABM ACB ，可得 AB2 AM AC ．同时， BMC CBM 72 ，所以 BC MC ．若正五边形边长为 1，则 AB BC CM 1，
设 AC x ，则由 AB2 AM AC 可列方程12 x(x 1) ，解得 x 5 1 （另一负根舍 2
2、设 a b 0 ， a2 b2 4ab ，则 a b
．
ab
【答案】 3 ．
【解析】由条件可得 (a b)2
6ab ，(a b)2
2ab ．因此 (a b)2 (a b)2
6ab 2ab
3．由于 a b 0 ，
a b 0 ，所以 a b 3 ． ab
3、若 x2 x 1 0 ，则 x3 2x2 3
【解析】（1） 0 f 1 f 2 f 3 3 ， f x k 0 有三个实根 x 1, 2, 3 ， f x k x 1 x 2 x 3 ，展开得 c k 6 ，6 c 9 ； （2）方程 f x 10x 0 有三个实根 x 1, 2,3 ， 记第 4 个根为 x p ，则 f x 10x x p x 1 x 2 x 3 ， f x x p x 1 x 2 x 3 10x ， f 10 f 6 10 p 9 8 7 100 6 p 7 8 9 60 8104 ．
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．
高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)
唐山市 唐山一中 自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=； 若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分 设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分 把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分 当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分 综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分 （2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分 由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分 但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分 又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分 设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分 又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分 设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ， 则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分 由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分 由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----， 解得16x =.………………………………………………………………………………15分 故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。
高一自主招生数学
2015直升班A 班第二次选拔考——数学试卷（考试时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）1、已知∠A 、∠B 是两个锐角，且满足t B A 45cos sin 22=+，22243sin cos t B A =+，则实数t 所有可能值的和为（ ）A 、 38－ B 、35－ C 、1 D 、3112、满足不等式m＜n ＜3532的有序整数对（m ，n ）的个数是（ ）A 、12B 、13C 、14D 、153、如图是一立体的三视图，则该立体图形的体积为（ ）。
A 、π254+B 、π234+C 、π214+ D 、π+44、已知A 为反比例函数xy 4=图象上一点，点A 的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A 处旋转，保持两直角边始终与x 轴交于D 、E 两点，F （0，－3）为y 轴上一点，连接DF 、EF ，则四边形ADFE 面积的最小值为（ ）。
A 、24B 、28C 、36D 、485、[]x 表示不超过实数x 的最大整数，在平面上由满足[][]5022=+y x 的点所形成的图形的面积为（ ）。
A 、3B 、6C 、12D 、256、如图，正方形ABCD 被分成了面积相等的8个三角形，若AG =50，则正方形ABCD 的边长为（ ）。
A 、10B 、210C 、28D 、27 第4题 D A BC E I F G H第6题 侧视图 22 1 俯视图（圆和正方形） 2 2主视图 2 2 1 3B C P 7、如图，在△ABC 中，已知AB =5，BC =8，AC =7，动点P 、Q 分别在边AB 、AC 上， 使△APQ 的外接圆与BC 相切，则线段PQ 长的最小值为（ ）。
A 、730B 、374 C 、4 D 、38、有2015个整数，任取其中2014个相加，其和恰可取到1、2、…、2014这2014个不同的整数值，则这2015个整数之和为（ ）。
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . （第6题图） （正视图） （俯视图） （第7题图）（第16题图）19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.(第21题图)N22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．(第22题图) Q ABC EFPO（第23题图）．1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P ，OP=8,过点P 所有的弦中长是整数的弦有 条。
2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。
自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2014年北约自主招生数学试题评析
所以底面半径为 1 ， 底面面积为 π， 故圆锥的 表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练 组 合 基 础 题 型，部 分 均 匀 的 分 组 题2 10 个人分成 3 组， 一组 4 人， 两组 问题 每组各 3 人， 求共有几种分法？ 解： 部分均匀的分组问题： 分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生 数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校 试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力 ）、 2014 年综合大学自主 测试（ 俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试 （ 俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取 （ 俗称 “卓越 ” ） 三大高校联盟自主招生考试 落下帷幕． 从 2002 年以来， 自招走过了十几 年的风雨， 三大联盟试题整体难度趋于稳定 ， “三分之一高考， 维持着 三分之一边缘， 三分 之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持 都是 6 道选择加上 4 道解答． 选择题（ 1 一致， ～ 6 题） 偏常规， 难度不高， 大致相当于高考 中等或稍难一点的题目难度． 只是在个别题 目上考查学生是否有开放的数学思想， 比如 关于反三角函数的认知 （ 第 6 题 ） ． 其他的选 比如空间几何体 择题也基本属于高考难度， 的表面积问题（ 第一题 ） ， 排列组合中的分组 分配问题（ 第二题 ） ． 解答题 （ 7 ～ 10 题 ） 保持 了一定难度． 问题往往来源于一些很基本的 数学常识 （ 比如 tan3° 是无理数 ） ， 要求学生 ， 给出证明 实际上是对学生分析问题解决问 题能力的考查， 不强调复杂的计算， 但是要给 ， 出合理证明 则要求学生有一定的数学素养． 考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题， 难度很低， π 的扇形面积为 6 π， 求 3 有利于稳定考生情绪 题1 圆心角为 张 彬 277500
2014年自主招生考试模拟试题 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题—— “华约”模式一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？二、在ABC 中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值.六、 已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
芜湖一中2014年高一自主招生考试
数 学 试 卷
的选项序号填在答题栏中）
1．若a 是实数，化简0
2)1(|23|324++-++a 的结果为（ ）
A ．333+
B ．3
C ． 3
D ． 4
2．某班体育委员对七位同学定点投篮进行数据统计，每人投十个，投进篮筐的个数依次为： 5，6，5，3，6，8，9．则这组数据的中位数和平均值分别为（ ）
A ．6，6
B ．6，24
C ．6，
7
24 D ．7，
7
24 3．连续三次抛掷一枚质地分布均匀的硬币，至少连续．．两次正面向上的概率为（ ） A ．
8
1
B ．
4
1 C ．
8
3 D ．
2
1 4．在一列数123x x x ，，，…中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭
（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x 等于（ ）． A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (-1,0)，顶点坐标为C (1,k )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(不包含端点)，则k 的取值范围是（ ）
A ．2＜k ＜3
B ． 5
2
＜k ＜4
C ． 8
3
＜k ＜4 D ．3＜k ＜4
6．如图，四边形ABCD 对角线AC 与BD 互相垂直.若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．
7．设a, b, c 都是实数，且12,2222=++=++c b a c b a ，则c 的最大值与最小值的和为（ ） A ．2-
B ．
316 C ．3
10
D ．
3
4
二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分） 8
．已知 , a b =
=，则22
a b +=
9．已知关于x 的方程2
239
3042
x kx k k ++
-+=（k 为实数）的两个实数根分别为1x 、2x ，则22
1212
x x x x +=
10．已知实数0abc ≠，且k b
a c a c
b
c b a =+=+=+，则直线k kx y +=与两坐标轴围成的三角形面积为
11．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，ΔPEF 、ΔPDC 、ΔP AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2，则S 1+S 2=
12．已知关于x 的方程|21|0x a --=恰有两个正数解，则实数a 的取值范围为 13．使得不等式
98
1715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 14．已知二次函数2
y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a 的取值范围为
三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤） 15．（本小题10分）
解方程组229410(9)(4)24x y x y x y xy ⎧
+++=⎪⎨⎪++=⎩
第5题图
第6题图 第11题图
如图，在直角平面坐标系中，点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上，3AO =，AB AC =，
4
cos 5
ABC ∠=
，点D 在AB 上，CD 与y 轴交于点E ，且满足COE ADE S S ∆∆=. 求以点C 为顶点，经过点E 的抛物线的解析式. 17．（本小题13分）
矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口.现拟建一个收费站P ，在铁路线BC 段建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 及PH 之长度和为l . (Ⅰ) 求出l 的最小值； (Ⅱ) 请指出当l 取最小值时，收费站P 和发货站H 的几何位置.
E
设正整数q p n m ,,,满足)13(),13(22-=+=q p n q p m ，求满足条件的所有q 值. 19．（本小题13分）
如图，M 是以AB 为直径的圆O 内一点，AM 、BM 的延长线分别与圆O 交于C 、D 两点，过点M 作⊥MN AB 于点N ，过点C 作圆O 的切线，交MN 于E 点，联结DE ，求证：DE 是圆O 的切线.
证明：。