Ax=b在有唯一解
第三章线性方程组AX=B的数值解法
线性方程组的解（续1）
求逆运算和行列式计算由于运算量大，实 际求解过程中基本不使用，仅作为理论上 的定性讨论 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在 实际应用中存在很大的困难，在线性代数 中，为解决这一困难给出了高斯消元法 还有三角分解法和迭代求解法
11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
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3.4 高斯消去法和选主元（续1）
考虑一个简单的例子：
3x 1 2x 2 7 4x 1 x 2 1
求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
3x 1 2x2 7 5 25 x2 3 3
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 u11 U
11.03.2019
U x b ， 其中
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价 对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
2 x1 x2 4 x3 16 1 x2 5x3 -14 2 x1 3x2 3x3 16
2 x1 x 2 4 x3 16 1 x 2 5 x3 -14 2 5 x 2 x3 8 2
11.03.2019
2x1 x2 4x3 16 x2 10x3 -28 26x3 78
ax=b的解的三种情况条件
ax=b的解的三种情况条件
ax=b是一个一元一次方程，其中a、b为已知常数，x为未知数。
解的三种情况条件如下：
1. 唯一解，当a不等于0时，方程有唯一解。
这意味着方程只
有一个解x，可以通过将b除以a来计算得到，x = b/a。
在这种情
况下，方程表示一条直线与x轴交于一个点。
2. 无解，当a等于0且b不等于0时，方程无解。
这是因为在
这种情况下，方程表示一条平行于x轴的直线，与x轴没有交点。
3. 无穷解，当a等于0且b等于0时，方程有无穷多个解。
这
是因为在这种情况下，方程表示一条与x轴重合的直线，对于任何
实数x，方程都成立。
这些是解一元一次方程ax=b的三种情况条件。
具体的解取决于
a和b的值。
国开《工程数学(本)》形成性考核作业1-4参考答案(1)
国家开放大学《工程数学(本)》形成性考核作业 1-4 参考答案15501-1.n阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是(A)．a.b.c.d.正确答案是：1-2. 三阶行列式的余子式M23=(B)．a.b.c.d.正确答案是：2- 1.设A为3×4 矩阵，B为4×3 矩阵，则下列运算可以进行的是(C) .a. A+Bb. B+Ac. ABd. BA'正确答案是：AB2-2. 若A为3×4 矩阵，B为2×5 矩阵，且乘积AC'B'有意义，则C为 (B) 矩阵.a. 2×4b. 5×4c. 4×2d. 4×5正确答案是：5×43-1.设，则BA-1(B) .a.b.c.d.正确答案是：3-2.设，则 (A) .a.b.c.d.正确答案是：4- 1.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是(C)．a.b.c.d.正确答案是：4-2.设A,B均为n阶方阵，k>0且，则下列等式正确的是(A)．a.b.c.d.正确答案是：5-1.下列结论正确的是(C)．a. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵b. 若A,B均为n阶非零矩阵，则c. 对任意方阵A，A+A'是对称矩阵d. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵正确答案是：对任意方阵A，A+A'是对称矩阵5-2.设A,B均为n阶方阵，满足AB=BA，则下列等式不成立的是(A)．a.b.c.d.正确答案是：6-1.方阵A可逆的充分必要条件是(B)．a.b.c.d.正确答案是：6-2.设矩阵A可逆，则下列不成立的是(C)．a.b. c. d.正确答案是：7-1.二阶矩阵(B)．a.b.c.d.正确答案是：7-2.二阶矩阵(B)．.... dc b a正确答案是：的秩是(D)．a. 1b. 2c. 4d. 3正确答案是： 3的秩为(C)．a. 2b. 4c. 3d. 5正确答案是： 39-1.设向量组为组．a.b.c. ，则(B)是极大无关8-2.向量组8-1.向量组d.正确答案是：9-2.向量组的极大线性无关组是(D)．a.b.c.d.正确答案是：10-1.方程组的解为(A)．a.b.c.d.正确答案是：的解为(C)．10-2.用消元法得a.b.c.d.正确答案是：11-1.行列式的两行对换，其值不变．(×)11-2.两个不同阶的行列式可以相加．(×)12-1.同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵．( √ )12-2.设A是对角矩阵，则A=A'．( √ )13-1.若为对称矩阵，则a=-3．(×)13-2. 若为对称矩阵，则x=0．( √ )14-1.设，则．(×)14-2. 设，则．( √ )15-1.设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n．( √ )15-2.零矩阵是可逆矩阵．(×)16-1.设行列式，则 -6 ．正确答案是： -616-2. 7 ．正确答案是： 7是关于 x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 ．正确答案是： 217-2. 若行列式 ，则 a= 1 ．正确答案是： 118-1.乘积矩阵 中元素 C 23= 10 ．正确答案是： 1018-2. 乘积矩阵 中元素 C 21= -16 ．正确答案是： -1619-1.设 A,B 均为 3 阶矩阵，且正确答案是： -7219-2. 设 A,B 均为 3 阶矩阵，且正确答案是： 920-1.矩阵的秩为 2 ．正确答案是： 217-1.29 ．-72 ．，则 ，则20-2. 矩阵的秩为 1 ．正确答案是： 12设线性方程组的两个解，则下列向量中(B)一定是的解.a.b.c.d.设线性方程组的两个解，则下列向量中 (B ) 一定是的解.a.b.c.d.设与分别代表非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则(D)．a.b.c..设与分别代表非齐次线性方程组个方程组有解，则(A)．a. b. c. d.以下结论正确的是(D)．a. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解b. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解c. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解d. 齐次线性方程组一定有解若某个非齐次线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组(D)．a. 有无穷多解b. 有唯一解c. 无解d. 可能无解若 向量组线性无关，则齐次线性方程组(D)．a. 有非零解b. 有无穷多解d 的系数矩阵和增广矩阵，若这2c. 无解d. 只有零解若向量组线性相关，则向量组内 (D) 可被该向量组内其余向量线性表出．a.至多有一个向量b. 任何一个向量c. 没有一个向量d. 至少有一个向量矩阵A的特征多项式，则A的特征值为(B)．a.b.c.d.，，矩阵的特征值为(A)．a. -1,4b. -1,2c. 1,4d. 1，-1已知可逆矩阵A的特征值为-3,5 ，则A-1的特征值为 (C) ．....的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为 (D) ．a. 2,6b. 0,0c. 0,2d. 0,6 设是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，则向量组秩是(D)．a. 不能确定b. 1c. 2d. 3设 A ，B 为 n 阶矩阵， 既是 A 又是 B 的特征值，x 既是 A 又是 B 的特征向 量，则结论(A)成立．a. x 是 A+B 的特征向量d c b a 设矩阵 的b. 是A-B的特征值c. 是A+B的特征值d. 是AB的特征值设A,B为两个随机事件，下列事件运算关系正确的是(C)．a.b.c.d.设A,B为两个随机事件，则(B)成立．a.b.c.d.若事件A，B满足，则A与B一定(B)．a. 互不相容b. 不互斥c. 相互独立d. 不相互独立如果(B)成立，则事件A与B互为对立事件．a.b. 且c. A 与 互为对立事件.袋中有 5 个黑球， 3 个白球， 一次随机地摸出 4 个球， 其中恰有 3 个白球 的概率为(D)．....某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为 0.3. 则 3 个抽奖者中恰有 1 人中奖的概率为(A)．a. b.c. d. 0.3非齐次线性方程组 相容的充分必要条件是 ． ( √ )线性方程组 可能无解．(×)当 1 时，线性方程组 只有零解．( √ )当 1 时，线性方程组 有无穷多解．(×)d c b a d 2设A是三阶矩阵，且，则线性方程组AX=B有无穷多解．(× )设A是三阶矩阵，且r(A)=3，则线性方程组AX=B有唯一解．( √ )若向量组线性相关，则也线性相关．(×)若向量组线性无关，则也线性无关．( √ )若A矩阵可逆，则零是A的特征值．(×)特征向量必为非零向量．( √ )当 1 时，齐次线性方程组有非零解．若线性方程组有非零解，则 -1 ．一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性相关 .向量组线性相关．向量组的秩与矩阵的秩相等．设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有非零解。
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务(1-5)试题与答案解析
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务（1-5）试题与答案解析（红色标注为正确答案）工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A）．A. B. －1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（C）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（A）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（C）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5×4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则．⒍设均为3阶矩阵，且，则-72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则-3 ．⒏若为正交矩阵，则0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．⒉设，求．⒊已知，求满足方程中的．⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．⒍求矩阵的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．⒏若是阶方阵，且，试证或．⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= 1 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是 ．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,,3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。
线性代数判断题
线性代数判断题线性代数课程组2015年4月最终版判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ）2、行列式01111≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）3、3阶行列式843576321的值等于行列式853472361的值. （ ）4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）5、行列式321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ） 6、行列式2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=成立. （ ） 7、行列式25434232124108684642⨯==D 成立. （ ）8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ）10、行列式25479623875156422547962356428751==D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ）13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ）14、行列式4444543225169454321111=D 是范德蒙行列式. （ ） 15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）18、行列式1694432111中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）19、设行列式3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D . （ ） 20、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则3222111=++c b a c b a . （ ）21、如果行列式D 有两列元素对应成比例，则0=D . （ ）22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即03232223121=+++n n A a A a A a . （ ）23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ）24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ）25、两个零矩阵必相等. （ ）26、两个单位矩阵必相等. （ ）27、3阶数量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a . （ ）28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （ ）29、若矩阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵. （ ）30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n =A n B n . （ ）31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，AB 的行列式||AB 与BA 的行列式||BA 也不相等. （ ）32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （ ）33、设A,B 都是三阶方阵，则B A B A +=+. （ ）34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也可逆，且111)(---=B A AB . （ ）35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （ ）36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （ ）37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （ ）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （ ）39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （ ）41、如果A 2-6A=E ，则1-A = A-6E. ( ) 42、设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2531，则A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1532. ( ) 43、设A 是n 阶方阵，且1=A ，则115)5(---=n T A . （ ）44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ）46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E . （ ）48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （ ）49、设A 是4×5矩阵，)(A r =3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （ ）50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有)()(B r A r =. （ ）51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则4)(0<≤A r . （ ）52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ）54、等价的矩阵有相同的秩. （ ）55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （ ）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （ ）57、设A 为三阶方阵且2-=A ，则=A A T 3108. （ ）58、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ）59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （ ）60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （ ）61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则C 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--O B A O C 11. （ ） 64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ）65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）66、若4321αααα，，，线性无关，则)4(21>n n ααα ，，线性相关.（ ）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （ ）68、若02211=++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性相关. （ ） 69、若对任意一组不全为0的数n k k k ，，， 21，都有02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性无关. （ ）70、若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关，且可由向量组B ：s βββ,,,21 线性表出，则s m ≤. （ ）71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ）72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）73、设向量组im i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个子组。
《线性代数B》复习题
一、填空题：1.行列式 843591712-中元素21a 的代数余子式等于_________.2. 若,8=d c b a ,2=c f ae 则=++f d c e b a ___________.3. 交换行列式中两行的位置行列式 .4.行列式 00 (00)0...10 02 (001)0...00n n -= .5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .6. =00000000a b b a b a ab ______________.7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2324B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =__________.8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1A -=______________.9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .10. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.《线性代数B 》复习题12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．（填线性相关，线性无关或不能确定）16.向量组123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===、、的秩是______.17.设η是非齐次线性方程组Ax =b 的解，ξ是方程组0=Ax 的解，则ξη2+为方程组________________的解.18.齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数_____________.19.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .20.若非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，则方程组0=Ax ___________.21.齐次线性方程组0AX =一定有 解.22. 设12143314A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则t = .23．线性方程组AX =B ，其增广矩阵经初等行变换化为100101020013A ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，此方程组的解为 ．24.设1x=η及2x=η都是方程Ax =b 的解，则12x =ηη-为线性方程组______的解.25.设A 为6阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有_______个线性无关的解向量.26.λ是A 的特征值，则___________是kA 的特征值.27.设可逆方阵A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为___________.28. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值___________.29.若矩阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值121,2,λλ=-=则A 的第3个特征值3λ= .30.设n 阶方阵()ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ ，则有12n λλλ= .二、单项选择题：1.若行列式a a a a a =222112110≠，则行列式222112115522a a a a=（）.A ．10aB ．2aC ．5aD ．7a2.若,8=d c b a ,2=a e cf 则=++f d c eb a （ ）.A ．10 B. 6 C. -6 D. -103. 设A 是6阶方阵，则=A 3( ).A ．63AB ．A 3C ．A 63D ．6A4. 二阶行列式θθθθcos sin sin cos -的值为（ ）A ．-1B ．1C ．θ2sin 2D ．θ2cos 25. 111334211=---k 时，k 的取值是( ).A ．2=kB ．1=kC ．1-=kD ．3=k6.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵*A =( ).A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11117．下列说法正确的是( )A. A 和B 为两个任意矩阵，则A-B 一定有意义.B ． 任何矩阵都有行列式.C ． 设AB 、BA 均有意义，则AB=BA.D ． 矩阵A 的行秩=A 的列秩=A 的秩.8.设A 与B 是等价矩阵，则下列说法错误的是（ ）.A ．齐次线性方程组AX=0与BX ＝0同解 B. 秩)()(B r A r =C. 非齐次线性方程组AX=b 与BX ＝b 同解D. A 经有限次初等变换得到B9.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）.A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210010001 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321213 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000000110.若矩阵A =1131422711⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩是（ ）.A . 3B ．2C ．1D ．011.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a aa A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y a x a 2111B ，且2,3==A B ，则=+BA （）. A ．4 B ．5 C ．10 D ． 612.设A ,B 是n 阶可逆矩阵，那么（ ）不正确.A ．111()AB B A ---= B ．T A A =C ． 112)2(--=A AD ．AB BA =13.对n 阶可逆方阵,A B ，数0λ≠，下列说法正确的是（ ）.A. AB BA =B. 111)(---=B A ABC. 11()A A --=D. 11()A A λλ--=14. 对任意同阶方阵A,B ，下列说法正确的是（ ）.A ．T T T AB AB =)( B. |A+B|=|A|+|B| C. 111)(---=B A AB D. BA AB =15.设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）.A ．若02=A ，则0=AB ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．若AC AB =，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+16.设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有（ ）.A ．121,,,-s ααα 线性相关 B. 121,,,+s ααα 线性相关C ．121,,,-s ααα 线性无关 D. 121,,,+s ααα 线性无关17.向量组),0,0,1(1=α),0,1,0(2=α)1,0,0(2=α的秩为（ ）.A ．0 B. 1 C. 2 D. 318.设向量组αα1,, m 线性相关,则必可推出（ ) .A ．αα1,, m 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合B ．αα1,, m 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合C ．αα1,, m 中至少有两个向量成比例D ．αα1,, m 中至少有一个向量为零向量19.设321a a a ,,线性相关,则以下结论正确的是（ ）.A. 12,a a 一定线性相关B. 13,a a 一定线性相关C. 12,a a 一定线性无关D. 存在不全为零的数k 1,k 2,k 3使1122330k a k a k a ++=20.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （ ）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.21. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kxx 有非零解，则k =( ) .A. -1B. -2C.1D.222. 若()r A r n =<，则n 元齐次线性方程组0=AX （ ）.A. 有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定23.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）.A. 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解B. 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（ ）.A. 若12,x =x =ξξ都是方程0Ax =的解，则12x =ξξ+也是方程0Ax =的解B. 若1x=ξ是方程0Ax =的解，则13x =ξ也是方程0Ax =的解C. 若1x=ξ是方程Ax b =的解，则13x =ξ也是方程Ax b =的解D. 0Ax =的基础解系中的解向量线性无关25.设12,u u 是非齐次线性方程组b AX =的两个解,则以下正确的是( ) .A ．12u u +是b AX =的解B ．12u u -是b AX =的解C ．12u u -是0Ax =的解D ．12u 是b AX =的解26.含有5个未知量的齐次线性方程组0AX =系数矩阵的秩是3, 则此齐次线性方程组0AX =（ ）.A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解27.设n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，则必有（ ）.A ．|A|=0 B. 秩0)(=A r C. 秩n A r =)( D. 秩n A r <)(28.n 元非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是（ ）.A ．n A r =)( B. )()(A r A r < C. n A r =)( D. )()(A r A r =29. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则其逆1-A 必有一个特征值等于（ ）.A ．14 B ．12 C ．2 D ．430. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3113A 的特征值为（ ）.A ．4,221==λλ B. 4,221-==λλ C. 4,221=-=λλ D. 4,221-=-=λλ三、判断正误：1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零．（ ）2.行列式0111101111011110=-3（ ）.3.两个n 阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等. （ ）4.设2阶方阵A 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111.（ ）5.若,AB BA 均有意义，则必有AB BA =.（ ）6. 矩阵的初等变换改变矩阵的秩. （ ）7.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中所有3阶子式都为零.（ ）8.设,A B 是n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++ （ ）.9.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出．（ ）10.向量组123,,ααα线性无关的充分必要条件是123,,ααα中任二向量线性无关（ ）.11. 5个4维向量线性相关. （ ）12.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（ ）13.若12,ξξ都是Ax b =的解，则()112ξξ+也是Ax b =的解. （ ）14.若齐次线性方程组0AX =有非零解，则它一定有无数个解.( )15. 若非齐次线性方程组AX b =的导出组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有无穷多解. （ ）16. 若1x =ξ，2x =ξ为Ax b =的解，则1232x =ξ+ξ也是它的解.（ ）17. 若λ是方阵A 的特征值，则λ也是2A 的特征值．（ ）18. 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值. （ ）19. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．（ ） 20. 特征向量可以是零向量.（ ）四、计算题：1.求4阶行列式 1013112513014112的值.2.求4阶行列式0022110112112110-----的值.3.设矩阵X 满足等式 1212+410T X -⎛⎫= ⎪⎝⎭0117232213-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 4.解矩阵方程，设AX B X -=，求X ，其中A =20133121,2001111B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311010211A ,求逆矩阵1-A .6. 解齐次线性方程组12341234123412344032023503560x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 求通解.7.解方程组124512351234521222225x x x x x x x xx x x x x +++=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-+=⎩.8. 当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++1432131321321ax x x x x x x x 有无穷多解？此时，求出方程组的通解。
《线性代数》第三章线性方程组
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记为c： 1,c2（ ,,cn）
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
x1 0
x2
0
x 3 0
就是它的一 组解。
（P－132）
含有自由未知量的解称为方程组的一般解。
自由未知量可以取任的意值，因此有无穷多。
【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵通过
初等行变换化为：1 3 1 2 6
0 1 3 1
4
0 0 0 2 1
0
0
00
0
则此线性方程组的一般解中自由未知量的
个数为____1______。
【分析】先确定基本未知量为： x1, x2, x4 则其余的为自由未知量： x 3
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1 0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过 求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：
设r=秩(A)，n为未知量的个数.
（1）若 r秩 (A)秩 (A)则, 方程组无解。 （2）若 r秩 (A)秩 (A)则方程组有解。
（2.1）若r = n 就有唯一解； （2.2）若r < n 就有无穷多解。
经济数学基础12-国家开放大学电大易考通考试题目答案
经济数学基础12【填空题】若，则=1/3&三分之一。
【知识点】凑微分【填空题】若，则=1/2&二分之一。
【知识点】凑微分【填空题】若，则=-1。
【知识点】凑微分【填空题】若，则=-1/2&负二分之一。
【知识点】凑微分【单选题】若，则f(x)=。
A.B.C.D.【答案】C【单选题】下列给出了四个等式中，正确的是。
A.B.C.D.【答案】A【单选题】若＝。
A.4sin2xB.－4sin2xC.2cos2xD.－2cos2x【答案】B【单选题】若f(x)是可导函数，则下列等式中不正确的是。
A.B.C.D.【答案】D【单选题】微分=。
A.B.C.D.【答案】B【单选题】若f(x)可微，则＝。
A.f(x)B.C.D.f(x)＋c【答案】B【单选题】若，则f(x)＝。
A.B.C.D.【答案】C【单选题】以下结论正确的是。
A.方程的个数小于未知量的个数的线性方程组一定有无穷多解B.方程的个数等于未知量的个数的线性方程组一定有唯一解C.方程的个数大于未知量的个数的线性方程组一定有无解D.A，B，C都不对【答案】D【单选题】若线性方程组AX=O只有零解，则线性方程组AX=b。
A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.解不能确定【答案】D【单选题】齐次线性方程组。
A.有非零解B.只有零解C.无解D.可能有解也可能无解【答案】A【单选题】线性方程组一定。
A.有无穷多解B.有唯一解C.只有零解D.无解【答案】B【单选题】线性方程组一定。
A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有是一个解【答案】C【单选题】线性方程组的解的情况是。
A.无解B.只有零解C.有唯一解D.有无穷多解【答案】A【单选题】线性方程组解的情况是。
A.有无穷多解B.只有零解C.有唯一解D.无解【答案】D【单选题】线性方程组解的情况是。
A.有唯一解B.只有零解C.有无穷多解D.无解【答案】C【单选题】设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O解的情况是。
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Ax 在有唯一解、无穷解、无解的情况进行讨论，对几种方法进行对比，比较几种方法所用的时间的长短。
Ⅰ
bAx 有唯一解
方法一：编写一个M函数，程序及结果见附录4。
方法二：编写一个M函数，程序及结果见附录5。
方法三：编写一个M函数，程序及结果见附录6。
对比三种方法时间我们可以发现，方法一运用的是调用函数，方法二与方法三分别通过矩阵的初等变换与矩阵除法来进行编程计算的，后两种方法的时间显然比第一种方法要快得多，在第三种方法中可以发现，当A是n阶方阵时，用矩阵除法比用逆阵法解线性方程组要快
方法一：编写一个M函数，程序及结果见附录7。
方法二：编写一个M函数，程序及结果见附录8。
方法三：编写一个M函数，程序及结果见附录9。
ⅢbAx 无解
线性方程组bAx 我解时，令bAxe ，即不存在x使得0 e。
在实际问题中，常要求向量x使得误差向量e的模达到最小，x被称为最小二乘解。
用语句“bApinx ”或“bAX\ ”求方程组bAx 的最小二乘解。
例8 求方程bAx 的最小二乘解。
其中：。