27.2.1_相似三角形的判定(3)

P49练习2
A D B
结论： ΔACD∽Δ CBD DB ΔACD ∽Δ ABC
CD2=AD · AC2=AD ·AB
AB
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
ΔBCD ∽Δ ABC
BC2=BD ·
A
已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则图 中共有 4 对相似三角形。
B
D 1
E
C
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
2.如图直线BE、DC交于A, AD· AC=AE· BA， 求证：∠E=∠C
E A D A E B B C C
将△DAE绕A点旋转
D
如何证明∠DEA＝∠C？
A
A
D
E
D
C B C
B
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8， 求AB
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
B A A´
C
B´
C´
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
A
A´
C
B´
C´
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角 形相似。 4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等 的两个三角形相似。 5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。
底角相等
A
A'
B'
C'
B
C
第 二 种 情 况
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
顶角与底角相等
A'
B'
C'
B
C
第 三 种 情 况
两三角形不相似
3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个 直角三角形和原三角形相似。 已知：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： Δ ABC∽Δ ACD∽Δ CBD C
§27.2.1 相似三角形的判定（3）
知识回顾
判定三角形相似的方法
AB AC BC DE DF EF
A
D
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F E F
∴△ABC∽△DEF （2）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
（3）∵
B
C
AB AC BC DE DF EF
A
∴△ABC∽△DEF
∵ DE∥BC ∵ ∠EDC=∠DCB， 又∵ ∠1=∠B ∴△DEC∽△CDB
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC ∴△ADE ∽△ACD
A
D
B
18
4 √2 12√2
C
1、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC=
B C E A
D
2、判断题： ⑴ 所有的直角三角形都相似 . ⑵ 所有的等边三角形都相似. ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ） × （√ ） （√ ）
（
×）
顶角相等
底角相等
顶角与底角相等
顶角相等
A
A'
B'
C'
B
C
第 一 种 情 况
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A
D B C B
0
D
C
4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=90 ，BD⊥AC于D
问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？
解： 图中有三个直角三角形，分别是： △ ABC、 △ ADB、 △ BDC
△ ABC ∽ △ ADB ∽ △ BDC
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角 形相似。 4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等 的两个三角形相似。 5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。
基础演练
A’
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
A
C
D A B
(1)
C B’ A’C’Biblioteka (2)DA
E
E C
B
(3)
C
B’
C’
B
(4)
基础演练
2、根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’是否 相似,并说明理由: (1)∠A=35°,AB=12cm,AC=15cm, ∠A’=35°,A’B’=36cm,A’C’=45cm, (2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, A’B’=20cm,B’C’=25cm,A’C’=40cm. (3)∠A=105°, ∠B=15°;∠A’=105°, ∠B’=15° ∠B’=60°
如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,
求证:PA ▪ PB = PC▪PD
A D B C
▪ O
P
变式１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P， 结论还成立吗？ A
B
O
C
P D
变式２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什 么结论？
A
O
C
P D
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C
求证：DA·AC=AB·AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴ DA · AC=AB · AE
AB AC （4） ∵ DE DF
∠A=∠D ∴△ABC∽△DEF D E C
B
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相 似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它 们一定相似吗？
已知：在△ABC 和△A´B´C´中, ∠A=∠A', ∠B'=∠B 求证： Δ A'B'C'∽Δ ABC