相似三角形判定定理的证明
4.5相似三角形判定定理证明
（AA)判定定理：两角分别相等的两三角形 相似 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A，B B，C C，
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ A' DE ABC ∴ ABC∽ A' B'C'
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
并说明理由.
D
A
C
E
B
F
热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。
A
B
5
6
图
O
一 24
20
D
C
E 30 D
C
36
图
48 72
三F
54
A 45 B
图 二
A 12
B 8D
14
21
P
图 四
A
B 4 D 18
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB AC ,A A'
求证: △ ABC∽△ A' B'C' A' BA' A'C' A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
∽ A' B'C'
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
相似三角形判定定理证明
如何證明相似三角形判定定理預備知識：圖1中，平行線等分線段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，則DE =EF由已知條件構造三角形全等，可證得平行線間距離相等，然後以此結論做條件可構造線段DE ，EF 所在三角形全等，結論獲證. 圖2中，平行線分線段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，則DEEFBC AB =，命題可通過添加平行線轉化成平行線等分線段定理.由比例性質還可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB =相似三角形判定定理證明圖3，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC析：欲證兩三角形相似，則需證三對角對應相等，三對邊の比 相等，本題目三對角相等，則證三邊比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依題意知四邊形DEFB 是平行四邊形，DE=BF . 則CBDEAC AE AB AD ==，命題獲證. 圖4，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可證△AD E ≌△AGH 此問題同圖3圖5，在△ABC 與△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC3l3图3B图4B图5图6B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 圖6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求證：△ABC ∽△A`B`C` 在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖8，Rt △ACB 與Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求證：△ABC ∽△A`B`C`設````C A ACB A AB ==k ，則AB=kA`B`,AC=kA`C`則 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC則三邊成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。
相似三角形判定定理的证明 课件
截得的对应线段成比例).
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则
AD AB
=
CF CB
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例).
∴
AE AC
=
CF CB
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形。 A
A'
∴DE=CF
∴ AE = DE AC CB
AD = AE = DE AB AC CB
作DE//BC,交AC于点E,
A
∴△ADE∽△ABC
∴ AD = DE = AE
D
AB BC AC
B
又∵ A'B' = B'C' = A'C' ，AD = A'B'
AB BC AC
∴ AD = A'B' AB AB
B'
∵ AE = A'C' AC AC
∴ AE = A'C'
E C A'
C'
同理 DE = B'C' ∴△ADE≌△A'B'C'
D
E B'
C'
BF
C
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,
∴△ABC∽△A'B'C'
∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’， AD=A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
总结:
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的 两个三角形相似.
4.5.2相似三角形判定定理的证明
4、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特殊的 相似三角形。
5、相似三角形判定定理： E
D
A
平行于三角形一边的直
线和其他两边（或两边的 B
延长线）相交,所构成的
三角形与原三角形相似.
D
C A
E
DE∥BC ΔABC∽ΔADE
B
C
1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。
（提示：图有两种可能） A
A
D
E
D E
B
DE∥BC
B
C
C
∠ADE=∠C或∠AED=∠B
5,已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A
A A/ , B B/
A/
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是
B
C B/
C/
三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二是学过的利用平 行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备 定理的基本图形的条件。怎样创造呢？
A
A
FE
B
DC
E F
D
C
例5：找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。
根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。
根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。
我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。
因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。
综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(基础)
相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似 ）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”， ，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质： 有两组角对应相等的两三角形相似； 有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】 首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】 证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】 考查了垂直定义、 三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有 两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不 能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的 一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】 解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'， 则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。
2相似三角形的判定定理的证明
典型例题
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， 求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A A′
AB AC A' B' A' C'
D1
2E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过 点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
典型例题
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， AB BC AC
A'B' B'C' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A A′
D
E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过 点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
或等比代换。转化思想的运用。
C′
∠1=∠B，∠2 =∠C，
AD AB
AE AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴
AD AB
CF CB
∴
AE AC
CF CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
4.5 相似三角形判定定理的证明(数学北师大版九年级上册)
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
D
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ AD DE AE .
AB BC AC
B A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′，
AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
解得 AB= 3 2 ．
B
∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直
角三角形相似．
A 2
D 2 C
当堂练习
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各 组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： 相似 ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： 相似； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： 相似.
B
F
C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC .
A' B' A' C'
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A'
B
C
B'
C'
A'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
北师大版九年级上册
*4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长. 2 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 7 1 . 2 AB CD ∴ . BC AC
又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA，
BC AC ∴ . AC AD 25 ∴AD= . 4
A
D
B
C
课堂小结
相似三角形判定定理的证明
第四章 图形的相似
*4.5
相似三角形判定定理的证明
讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
AD AE DE AE DE ∴ ， ∴ AB AC BC . AC CB
A
A′ D B′ ห้องสมุดไป่ตู้′ B
1 2
E C
F
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
A′
B′ A
C′
又
∴
AB BC ' ' ' ' ，AD = A'B'， AB BC BC BC AB BC ' '. ' '.∴ DE BC AD B C
∴ DE = B'C'.
D B
E
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C
二 相似三角形判定定理的运用
证明：在 △ABC 的边 AB
（或它的延长线）上截取 AD =A'B'，过点D作BC的平 行线，交 AC 于点E，则
A A′ D B′ C′
1 2
E C
∠1=∠B，∠2 =∠C， AD AE .
AB AC
B
F
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 AD CF AE CF ， . ∴ ∴ AB CB AC CB ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
一 证明相似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对
它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， A′ A
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'． B′ C′ B C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'，
AB AC ' ' ' ' AB AC
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A A′ D B′ C′ B
1 2
E C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
B
证明：在△ABC 的边 AB,AC（或它的延长线）上分别截取 AD = A'B'，AE= A'C'，连接DE，则
AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'，AE = A'C'， AB A' C ' ∴ AB AC ， 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE AB BC . ∴ △ABC ∽△ADE.∴ AD DE
A
A′ D
1 2
E
C
B′
C′
B
则∠ B = ∠ 1 ， ∠ C = ∠ 2 ，
AB AC . ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AD AE AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'， AB A' C ' AC AC AB AC . ' ' .∴ ∴ ' ' AE A C AD A C
1.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. C D A B
∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理 证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似.
定理的运用
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A A′ D B′ C′ E C
AB BC AC A ' B ' B 'C ' A ' C '