相似三角形的判定定理3
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定定理3
A
E D
B
C
６.已知，如图，O点在△ABC内部，连AO、BO、CO， A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、 BC∥B’C’．⑴求证：△OAC∽△OA’C’．
⑵若将图⑴中的O点移至△ABC外，如图，
其它条件不变，题中要求证的结论成立吗？
①在图⑵基础上画出相应的图形，观察并回答
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC
DE DF
∠A=∠D
求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用符号语言叙述。
A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F
B （2）∵DE∥BC
CB （3）∵
C
AB
AC
BC
∴△ADE∽△ABC
DE DF EF
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E,
∴△ABC∽△DEF
∠C= ∠F
AB AC BC DE DF EF
∴△ABC∽△DEF
答：
（填成立或不成立）．
②证明你在①中观察到的结论．
A′ห้องสมุดไป่ตู้
C′ B′
思考还有其它的结论吗？
A
D
求证：△ABD∽△ABC.
相似三角形的判定定理是什么
相似三角形的判定定理是什么
1、有两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例。
2、所有等腰直角三角形相似，所有的等边三角形都相似。
3、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。
5、三边对应平行的两个三角形相似。
扩展资料
相似三角形的性质
1、相似三角形的'对应角相等
2、相似三角形对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相似三角形具有传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、全等三角形可以看做相似比为1的特殊的相似三角形，凡是全等的三角形都相似。
两个三角形相似的判定定理
三角形相似的判定定理及性质
判定定理
1、平行于三角形一-边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
相似三角形的判定定理3
(2)有一个角等于 0的两个等腰三角形是否相似 有一个角等于30 的两个等腰三角形是否相似? 有一个角等于 等于1200呢? 等于
例题分析
AB和CD相交于 相交于⊙ 内一点P,求证:PA·PB=PC P,求证 PB=PC·PD 例1.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA PB=PC PD
A D
例2.找出图中所有的相似三角形 找出图中所有的相似三角形 并选择一组加以证明. 并选择一组加以证明.
O
P B
C
C
A
D
B
练习1. 已知:如图 如图,∠ 练习 已知 如图 ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB ∠ ， 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∠ ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
相 似
三个内角对应相等。 三个内角对应相等。
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？ 形一定相似吗？
使三个角分别为60° 画一个三角形 ，使三个角分别为 °，45°,75° 。 ° °
①同桌分别量出两个三角形三边的长度； 同桌分别量出两个三角形三边的长度； 判断这两个三角形相似吗? ②判断这两个三角形相似吗 观察.gsp 观察 即: 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的 相似 三个角对应相等，那么这两个三角形_______ _______． 三个角对应相等，那么这两个三角形_______． 猜想: 猜想: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
27.2 相似三角形的判定
• 年轻的生命，如初升的旭 年轻的生命， 愿充满朝气的你们， 日。愿充满朝气的你们， 拥有灿烂的明天！ 拥有灿烂的明天！
第3课时 相似三角形判定定理3
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究三角形相似的判定方法:
展示问题：如图27－2－118所示,在△ABC与△A′B′C′中,若∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,试猜想：△ABC与△A′B′C′是否相似？并证明你的结论.
图27－2－118
师生活动:教师引导学生思考讨论,从图形的外观,绝大多数学生会猜想两个三角形相似.根据题设条件,需要构造出符合定理条件的图形:在△ABC中,作BC的平行线,且在△ABC中截得的三角形与△A′B′C′又有着非常紧密的联系(全等),共同分析,完成证明,学生书写证明过程.
图27－2－119
证明:如图27－2－119,在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′,过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC.
∵∠ADE＝∠B.∠B＝∠B′，.∠ADE＝∠B′.
又∵∠A＝∠A′, AD＝A′B′,
∴△ADE≌△A′B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′.
得出结论:
判定定理:两角分别相等的两个三角形相似.
例2如图27－2－122，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE，若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
例题的设置让学生巩固了相似三角形的判定定理,并利用三角形相似求边长.
【拓展提升】
例3上海模拟如图27－2－123,在△ABC中, D是AC上一点,连接BD,给出下列条件:①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD·AC；③AD·BC＝AB·BD；④AB·BC＝AC·BD.其中单独能够判定△ABD∽△ACB的有( B )图27－2－123
相似三角形的判定定理3
５.如图，Rt△ABC，D、E是BC上两点， 且AB＝BD＝DE＝EC,请问：此图中共有几个三角形？ 是否存在相似三角形？如果有请你指出来，并加以证明.
A
B
D
E
CC
６.已知，如图，O点在△ABC内部，连AO、BO、CO，
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用符号语言叙述。
A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F
（B2）∵DE∥BC
CB （3）∵
C
AB
AC
BC
∴△ADE∽△ABC
DE DF EF
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E,
∴△ABC∽△DEF
∠C= ∠F
AB AC BC DE DF EF
∴△ABC∽△DEF
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2判定 Nhomakorabea理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
练一练
１.如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上, 且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________
２.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC= °，BC= ；
相似三角形的判定定理3
练一练
１.如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上, 且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________ ２.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC= °，BC= ； （2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
优游 优游
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
例３.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点， 且∠1=∠2，AB=6，BC=4，BD=3，BE=2.
注意审题，题中没有平行条件
５.如图，Rt△ABC，D、E是BC上两点， 且AB＝BD＝DE＝EC,请问：此图中共有几个三角形？ 是否存在相似三角形？如果有请你指出来，并加以证明.
A
B
D
E
CC
６.已知，如图，O点在△ABC内部，连AO、BO、CO， A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、 BC∥B’C’．⑴求证：△OAC∽△OA’C’．
A
E D
B
C
３.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF。 其中②~⑥中与三角形①相似的三角形是_____________
CD
A F
B
E HK
G
４.已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x， 需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量（如图）， 若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
相似三角形判定定理
相似三角形判定定理三角形是几何学中最基本的几何图形之一，而相似三角形是几何学中常见且重要的概念之一。
在数学中，两个三角形被称为相似三角形，如果它们的对应角相等，并且对应边的比例相等。
相似三角形有着许多有趣的性质和定理，其中最基本也是最重要的之一就是相似三角形判定定理。
相似三角形判定定理对于两个三角形ABC和DEF，如果它们满足以下条件之一，则这两个三角形是相似的：1.三个对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F2.两个角相等且夹在两个相等的边之间：∠A = ∠D，∠B = ∠E，且AB/DE = BC/EF相似三角形判定定理的证明方法主要基于几何学中的基本原理和引理。
其中重要的一点是对应角相等的性质，即如果两个角相等，则它们的对应边的比例也相等，这是相似三角形判定定理的关键。
相似三角形的应用相似三角形在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形来计算。
另外，在地图绘制和图像处理中，也常常需要利用相似三角形的性质来实现缩放和变换。
常见的相似三角形相关题目1.已知两个三角形的三个顶点坐标，判定它们是否相似。
2.已知三角形的三个顶点，求出相似三角形的比例。
3.已知两个三角形的某一条边，以及与该边夹的两个角度，判定它们是否相似。
在解决这些问题时，相似三角形判定定理往往是一个非常有用的工具，并且可以帮助我们简化计算过程，快速得出结论。
总之，相似三角形判定定理是几何学中一个基础而重要的定理，它在几何学的研究和实际应用中都有着广泛的应用价值。
通过理解和掌握这一定理，我们可以更好地理解和运用相似三角形的性质，从而解决各种与相似三角形相关的问题。
23.2.3相似三角形的判定定理(3)
年级：九年级 学科：数学 主备人：牛方元 审核：仲军 王宝宝濉溪县杨柳中心校数学教学案系列---------沪科版 第二十三章123.2.3相似三角形的判定定理（3）学习目标:(1) 初步掌握 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． (2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．学习重点: 学习一种判定方法，会判定两个三角形相似。
学习难点: 会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似 一.知识链接(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过几种判定三角形相似的方法？ 二 、探索新知探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS 方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ 探究1：利用刻度尺和量角器画∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1 11ABA B 和11AC A C 都等于给定的值k 量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角 ∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？延伸问题：改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 归纳：（判定定理2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 ，并且夹角．． ，那么这两个三角形相似。
(填空)如图，∵11AB A B =()AC，∠A=∠A 1∴ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1定理的证明能否完成，小组内交流你的方法吧! 已知：∠A=∠A 1，11AB A B =11ACA C 证明：∆ABC ∽∆A 1B 1C 1三、效果检测根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆DEF 是否相似，并说明理由：（1）∠A ＝480，AB=1.5cm ，AC=2cm ，∠E ＝480，DE= 2.8cm ，EF=2.1cm.（2）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ，∠D ＝1200，DE= 3cm ，DF=6cm四、分层提高1．如图，在4 x 4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC =________，BC =_________.（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.2．在R t ∆ABC 中，两直角边分别为3 cm ，4 cm ；在R t ∆A ′B ′C ′中，斜边为25cm,一条直角边为15cm ，问这两个直角三角形相似吗？为什么？五、总结归纳谈谈本节课你有哪些收获．六、布置作业习题23.2 第3题⑴，⑵第6题ˋB 11。
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第3课时相似三角形的判定定理3
1.掌握相似三角形的判定定理3.
2.了解两个直角三角形相似的判定方法.
3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.
阅读教材P35-36，自学“例2”与“思考”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似.
②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形.
③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.
④如图所示，已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是.
⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？
要根据已知条件选择适当的方法.
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D.
求证:△CDE∽△CAB.
证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.
∴CA
CB
=
CD
CE
.
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB.
在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点.
①求证:△BCF∽△DCE；
②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶GC的值.
求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似.
2.如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽，若AC=12，AE=8，则AD= .
3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.
要考虑到线段的对应分两种情况.
活动1 小组讨论
例2 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?
解:∵∠ABC=∠CDB=90°，
（1）当BC
BD
=
AB
CD
时,△ABC∽△CDB，
此时BC
BD
=
AB
CD
=
AC
BC
，即
a
b
=
b
BD
.
∴BD=
2
b
a
.
即当BD=
2
b
a
时,△ABC∽△CDB；
（2）当AB
BD
=
BC
CD
时,△ABC∽△BDC，
此时AB
BD
=
BC
CD
=
AC
BC
，即
AB
BD
=
AC
BC
.
∴
22
a b
BD
-
=
a
b
,BD=
b
a
22
a b
-.
∴当BD=b
a
22
a b
-时,△ABC∽△BDC.
综上所述，即当BD=
2
b
a
或BD=
b
a
22
a b
-时,这两个三角形相似.
本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况. 活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8 cm，4AC-3BC=0，点P从B点出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若P、Q分别从B、C同时出发，经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
2.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.
3.本节学习的数学思想:数形结合、分类讨论.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学】
自学反馈
①相等
②相似
③一个锐角
④△ACB 略
⑤相似略
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.①略②4∶3
2.△AEB 18
525
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
设经过t s时，△CPQ和△CBA相似，此时BP=2t cm，CQ=t cm，则CP=（8-2t) cm，其中0<t<4.
又BC=8 cm，4AC-3BC=0，求得AC=6 cm.
（1）当PQ∥AB时，△CPQ∽△CBA,则CP
CB
=
CQ
CA
，即
82
8
t
-
=
6
t
,所以t=2.4.
（2）当CP
CA
=
CQ
CB
时，△CPQ∽△CAB,则
82
6
t
-
=
8
t
，解得t=
32
11
.
故经过2.4 s或32
11
s时，△CPQ与△CBA相似.。