相似三角形的判定定理2

A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
O
1、 相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111
AB AC
A B AC =
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，
2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．
相似三角形判定定理2
知识精讲
A
B
C
D
A
B
C
D
E
【例2】 如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．
求证：ACD ∆∽ABC ∆．
【例3】 如图，在ABC ∆与AED ∆中，
AB AC
AE AD
=
，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ∆∽AED ∆．
【例4】 下列说法一定正确的是（ ）
A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
B ．对应角相等的两个三角形不一定相似
C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【例5】 在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）
A ．A
B A
C DE DF =
，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF =
，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
A
B C
E
F
G
【例6】 如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：
BDE BAC ∠=∠．
【例7】 已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．
求证：（1）AC CE CF GC =g
g ； （2）AFE ACB ∠=∠．
【例8】 如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长
线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ． 求证：ODE ∆∽OCA ∆．
A
B
C B ’
C ’
A
B C
D E F
G
A
B
C D
N
M
【例9】 如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．
求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．
【例10】 如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN 交CD 于
点N ，求证：2DN
CN =．
【例11】 如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，
EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．
求证：（1）
EG CG
AD CD
=
；（2）FD DG ⊥．
A
B
C
E
F
G
H
A B
C
P Q
A
B
C
D
P
H
【例12】 如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、
AC 上，且2EF AE FB =g ．
求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =g g ．
【例13】 如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于点P ，D 是
PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项．求证：
（1）AP AB AH AC =g g ； （2）ACD ∆是等腰直角三角形．
【例14】 如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开
始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？
A
B C
D
E
F A B
C
D
【习题1】 如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？
【习题2】
如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为
．
【习题3】
根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．
（1） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =；
（2） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =；
（3） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =．
A
B
C
D
E
A
B C D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
M S
【习题4】
如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则
CD =
．
【习题5】 如图，AB //CD ，图中共有
对相似三角形．
【习题6】
如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =
．
【习题7】
如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED 的
延长线与CB 的延长线交于点F ．
求证：FB FD
FD FC
=
．
A
B
C
E
F
M
G A
B
C
D E 【习题8】
如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠．求证：
（1）2AD DE DB =g ； （2）DEC ACB ∠=∠．
【习题9】
如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别
是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．
（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长．。