2012届北京市石景山区高三期末数学理科试题(WORD精校版)

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ） A ． }3{ B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）A ． )2,1(πB ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21， 正视图侧视图俯视图则输入的实数x 的值是（ ）A ．23 B ．41 C ．22 D ．26.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的 上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC，已知PA =4PC =， 圆心O 到BCO 的半径为 ．11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 024 4PABCO•FCBA2 3 0（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望．（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n na a也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++= 232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分 当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分得分和Y 的分布列为：…………11分 数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC = 在△BCD中，4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． (2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =- (0,4,3)CE =-所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==． 所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ．则cos ||||||θ⋅===⋅m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f = 因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或； 因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，，即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(m in =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增，3ln 1)1()(m in =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(m in =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -== 034384OB OA >=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2222=-+-+k x k x k .所以22212221311212,3112k k x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y22424224314123124311212k k k k k k k k ++++-+-=22318kk +-= ………………10分 2121y y x x +=⋅03112422>+-=k k 解得33-<>k k 或. ……………………12分综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈.故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立， 因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅ ，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a ++ +()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=-……………9分若数列{}n a 是“κ类数列”， 则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2nn a =，1t =，经检验满足条件.当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件.因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}na 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。