2006-2007学年度4月北京市丰台区高三第一次模拟(理)

web试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？分，共？分）1、在的展开式中，含与项的系数相等，则a的值是.2、已知向量，的夹角为，要使向量与垂直，则=_______3、已知函数y=与y=(a>0且a¹1)，两者的图像相交于点P，如果x0³2,那么a的取值范围是 .4、各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .5、如图，已知，，，，动点所在的区域为四边形（含边界）．若目标函数只在点处取得最优解，则实数的取值范围是________．6、正整数按下表排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 …………………位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列，则a7=_______；通项公式=二、选择题（每空？分，共？分）7、如果复数(是实数，则实数m是A．1 B．－1 C ． D．－8、在底面是矩形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠DAD1=∠CDC1=45°，那么异面直线AD1与DC1所成角的度数为A ．30° B．45° C．60° D．90°9、设等比数列{a}为1，2，4，8，…，其前n项和为，则的值为A．0 B． C． D．210、已知f(x)是R上的增函数，点A(－2，1)、B(2，3)在它的图像上，那么，不等式的解集是A．{x│－1<x<1} B．{x│－2<x<2} C．{x│－2<x<3} D．{x│1<x<3}11、“a+b=2”是“直线x+y=0与圆相切”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12、把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是A．10 B．20 C．40 D．6013、已知M(2,1)，N(－1,2)，在下列方程的曲线上，存在点P满足的曲线方程是A．3x－y+1=0 B ． C． D ．14、对任意两实数a、b，定义运算“”如下：则关于函数f(x)=sinx cosx正确的命题是A．函数f(x)值域为[－1，1]B．当且仅当x=2k (k时，函数f(x)取得最大值1C．函数f(x)的对称轴为x=(kD．当且仅当2k<x<2k+(k时，函数f(x)<0三、计算题（每空？分，共？分）15、已知向量=(sin ,2cos)，=()（Ⅰ）当qÎ[0，p]时，求函数f()=×的值域；（Ⅱ）若∥，求sin2的值.16、下表为某体育训练队跳高与跳远成绩的统计表，全队有队员40人，成绩分为1分至5分五个档次，例如表中所示：跳高成绩为4分的人数是：1+0+2+5+1=9人；跳远成绩为2分的人数是：0+5+4+0+1=10人；跳高成绩为4分且跳远成绩为2分的队员为5人.将记载着跳高、跳远成绩的全部队员的姓名卡40张混合在一起，任取一张，记该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随机变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求的值；（2）求的概率及且的概率；（3）若y的数学期望为，求m，n的值.17、已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上任意一点.（Ⅰ）求证：平面EBD平面SAC；（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°。

18、已知各项均为正数的数列{}满足，且是的等差中项.（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）若=，求使S>50成立的正整数n的最小值.19、已知函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值；(Ⅱ)求证：在区间(1,上函数f(x)的图像在函数g(x)=图像的下方；(Ⅲ)请你构造函数(x)，使函数F(x)=f(x)+(x)在定义域(0,上，存在两个极值点，并证明你的结论.20、已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是，两准线间的距离大于，且双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1。

（Ⅰ）求证：该双曲线的焦点不在y轴上；（Ⅱ）求双曲线的方程；（Ⅲ）如果斜率为k的直线L过点M（0，3），与该双曲线交于A、B两点，若，试用l表示k2,并求当时，k的取值范围。

参考答案一、填空题1、2、13、a³164、5、6、43、n2-n+1二、选择题7、B8、C9、B10、D11、A12、B13、C14、C三、计算题15、解：（Ⅰ）由f()=×得，∵qÎ[0，p]，∴的值域为[-1，2]（Ⅱ）∵∥，∴,∴∴16、解：（1）（2）当时的概率为当且时的概率为（3），，，因为y的数学期望为，所以于是，17、证明（Ⅰ）：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴SA⊥BD，∵SA AC=A，∴BD⊥面SAC，又∵BD面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，BD^面SAC，又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，设AC BD=O，则平面SBD平面SAC=SO，过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离.∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，连结DM，∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM要使∠BMD=120°,只须，即BM2=，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴BM2×SC2=SB2×BC2，∴AB2(SB2+BC2)= SB2×BC2，∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴，故当时，二面角B-SC-D的大小为120解法二：证明（Ⅰ）同解法一∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，如图，建立直解坐标系A-xyz.（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），设平面SBD的法向量为，则⊥，⊥，∴，，而=（2，0，-4），=（0，2，-4）∴，∴x=2,y=2,即，则点A到平面SBD的距离d==（Ⅲ）设AB=a，SA=b，则A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，b）,SB=；设平面SBC的法向量=(x1,y1,-1),平面SDC 的法向量=（x2,y2,1）则,而=（0，a,0）,=(-a,0,0),=(a,a,-b)∴,∴x1=,y1=0，x2=0,y2=∴=(,0,-1),=(0, ,1),∴cos<,>==,要使二面角B-SC-D的大小为120，只需=-，即a=b,∴，故当时，二面角B-SC-D的大小为12018、解：（Ⅰ）∵，∴, ∵数列{}的各项均为正数，∴，∴，即，所以数列{}是以2为公比的等比数列∵是的等差中项，∴，∴，∴，∴数列{}的通项公式（Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，，∵，∴①∴②②-①得，=要使S>50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n³5∴使S>50成立的正整数n的最小值为5.19、解：(Ⅰ)∵x>0, ∴>0,∴f(x)在（0，+¥）上是单调递增函数,∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=,最小值为f(1)= (Ⅱ)证明：设G（x）=g(x)-f(x),则G(x)=,== ，当x时，显然有，∴G(x)在区间(1,上是单调增函数，∴G(x)>G(1)=>0在(1,上恒成立，即g(x)>f(x)在(1,上恒成立，∴在区间(1,上函数f(x)的图像在函数g(x)=图像的下方.(Ⅲ)令(x)=-x,则F(x)=-x（x>0）,令，得x=,或x=2,令得，0<x<,或x>2，令得，<x<2∴当(x)=-x时，函数F(x)=f(x)+(x)在定义域(0,上，存在两个极值点x1=,x2=2.20、证明（Ⅰ）：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，由，得c=a，a=b，∴双曲线的渐近线方程为y=±x。

若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线上任一点到点A（2，0）的距离大于点A到渐近线的距离，而点A到渐近线的距离d=>1,这与“双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1”矛盾。

所以双曲线的焦点不在y轴上。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2-y2=a2，P（x0,y0），则，|PA|2===,a>1.当点P到A的距离最小时，x0³a，又由得a>1，所以，当x0=a时，|PA|2有最小值，即2(a-1)2+2-a2=(a-2)2=1,∴a=3，所以,双曲线的方程为x2-y2=9解（Ⅲ）：设直线l的方程为y=kx+3,A（x1,y1）,B(x2,y2)∵,∴(-x1,3-y1)=l(x2,y2-3) , ∴x1=-lx2（x1x2<0）①,由消去y得，（1-k2）x2-6kx-18=0，x1+x2=②， x1x2=<0 ③将①分别代入②、③得，（1-l）x2=④ lx22=⑤④2¸⑤并整理得， (l>0)令f(l)=,则令，得l=1；令，得0<l<1；令，得l>1当时，,，，∴∴，∴。