2-匹配滤波器2013

G n (ω )
e
jω ( t − t 0 )
dω
输出信号值最大，是波形的尖峰
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− jω t0
物理意义
幅频特性：
H (ω ) = c
S (ω ) G
n
(ω )
输入信号中,幅度大的频率成分,输出信号中该 频率成分也大.或者说.此滤波器的作用是对输入 信号中较强的频率成分给予较大的加权,对较弱的 频率成分给予较小的加权. 由于信号中混叠了噪声,因此滤波器的这个特 性可以从噪声中最佳地滤出有用信号,而这种加权 方式也就是最有效的加权方式.
2
输出信噪比最大的线性滤波器
x (t ) = s (t ) + n (t )
y (t ) = s 0 (t ) + n 0 (t )
输入信号的频谱:
S (ω ) = ∫ s (t )e
−∞
∞
− jω t
dt
jω t
输出信号:
1 s 0 (t ) = 2π
∫
∞
−∞
S (ω ) H (ω ) e
dω
滤波器输入端的噪声功率谱: 输入端的噪声功率:
0 ≤ t ≤τ
τ ≤ t ≤ 2τ
t < 0, t > 2τ
冲激响应和输出信号的波形
h(t) ca
s0(t)
ca2 τ
0
τ
t
0
τ
2τ
t
匹配滤波器的结构方框图
H (ω ) = cS ∗ (ω )e − jωt0 = c a (1 − e − jωτ ) jω
s (t )
积分器 ca jω
+
s0 (t )
第二章
匹 配 滤 波
引言
• 信号在传递过程中不可避免地要受到自然和人为的各 种干扰,信号检测的目的是用一种最优处理的方法,从 受扰观察中获得所传递的信息。
这种最优处理的方法,有以下主要的特点: ① 最优处理的标准可能是不同的,例如最优的 标准可能是要求获得最大的信噪比,或者是要 求有最小的判决损失等. ② 信号处理的方式与结果,与干扰的形式有关, 也与信号的形式密切相关.
2 2 −∞
∞
• 当且仅当A(ω)正比于B*(ω)，即：
A(ω ) = cB (ω )
∗
上式取等号
令
jω t0 1 ∞ S ( ) H ( ) e dω ω ω 2 s0 (t0 ) 2π ∫−∞ = d0 = 2 1 ∞ 2 E n0 (t ) H ( ω ) Gn (ω )dω 2π ∫−∞
2
jω t0 2
[
]
• 使输出信噪比达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要 求的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的 问题，采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决 该问题。
施瓦兹（Schwartz）不等式:
∫
∞
−∞
A(ω ) B(ω )dω ≤ ∫
2
∞
−∞
A(ω ) dω ∫ B(ω ) dω
N0 Gn (ω ) = 2
求匹配滤波器的传递函数，输出波形和输出最大信躁比
信号频谱：
S (ω ) = ∫ s (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = a ∫ cos ω 0te
0
τ
− j ωt
dt
1− e 1− e = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
• 因： ω0τ = 2mπ ，上式变为:
白噪声和色噪声
• (实)白噪声的定义:均值为0,功率谱密度在范 围 -∞＜ω＜+∞ 内是正常数的平稳过程.
• 不是白噪声的噪声都是色噪声
白噪声的特点
1)实白噪声的功率谱密度P(ω)=N0/2,-∞＜ω＜+∞; 2)实白噪声的功率谱是均匀分布的; 3)实白噪声是一种平稳的随机过程;所谓平稳的随机过 程,是指它的统计特性不随时间的推移而发生变化; 4)实白噪声的任意两个不相同时刻的取样值互不相关: 5)实白噪声如果服从高斯正态分布,称为白高斯噪声,此 时任意两个不相同时刻的取样值相互独立. 6)实白噪声的自相关函数: N Rn (τ ) = 0 δ (τ )
[
]
A (ω ) = H (ω ) G n (ω ) e
B (ω ) =
将其代入前式：
jω t 0
S (ω ) G n (ω )
∫
∞
−∞
H(ω)S(ω)e dω ≤ ∫ H(ω) Gn (ω)dω • ∫
jωt0 2 −∞
2
∞
∞
S(ω)
2
−∞
Gn (ω)
dω
A(ω ) = cB ∗ (ω )
得：
1 d0 ≤ 2π
− jω t0
最佳滤波器的传递函数：
H ( ω ) = cS ( ω ) e
*
− jω t
0
具有与信号频谱的共轭形式，称为匹配滤波器。
在白噪声的干扰下，对于已知信号滤波，当t=t0时给出 最大的信噪比。
匹配滤波器冲激响应
∞ 1 jω t ω h (t ) = H e dω ( ) ∫ 2π − ∞ ∞ c jω ( t − t 0 ) ∗ ω = S ( ) e dω ∫ 2π − ∞
-
延迟线
e
− jωτ
例2 白噪声中射频矩形脉冲信号的匹配滤波器
设脉冲信号s(t) 为：
⎧ ⎪a cos ω0 t, s(t ) = ⎨ 0, ⎪ ⎩
0≤t ≤τ t < 0, t > τ
设时间τ内有多个振荡周期T0 ， ω 0 τ = 2 πτ T = 2 m π , m >> 1(整数） 0 加性白噪声功率谱：
2
匹配滤波器性质和特点
（一）最大信噪比与信号波形无关 ： 由于匹配滤波器的输出信噪比与输入信号波形 无关,只与信号的能量有关,因此也可以说,匹配滤波 器的检测能力与输入信号波形无关,只与能量有关; 或者说,在同样的白噪声干扰条件下,只要信号能量 相同,并实现匹配滤波,则任何信号形式都能给出相 同的检测能力.这个原理在雷达信号检测理论中称为 能量原理,它对实际有重要的指导意义.譬如在类似 的白噪声的宽带杂波干扰下,要想提高雷达的检测能 力,就只能依靠提高信号的能量,而利用信号波形的 设计是无法提高检测能力的.
（三）匹配滤波器对信号的幅度和时延具有适应性
s( t ) ⇔ S(ω)
s 1 ( t ) = as ( t − τ )
s1 ( t ) ⇔ S1 (ω)
− j ωτ
S 1 ( ω ) = aS ( ω ) e
H 1 ( ω ) = aS 1 ( ω ) e
*
− j ω t1
= caS
*
(ω ) e
− j (ω −ω 0 )τ
− j (ω +ω 0 )τ
1− e 1− e S (ω ) = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
− jωτ
− jωτ
其频谱为：
1 − e − jωτ 1 − e − jωτ S (ω ) = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
对信号的频移不具有适应性
S 2 (ω ) = S (ω + ω d )
H 2 (ω ) = S (ω + ω d ) e
* − jω t 0
H 2 (ω )与H (ω )是不同的
信号的初相角影响
对于实信号 如果假设初相角是随机的 ,由于初相 角无法匹配掉,输出的峰值功率也是随机 的。 初相角在(0,2π)上是均匀分布的统 计平均之后,将使信噪比损失3db.
− j ω ( t1 − τ )
= aH ( ω ) e
− j ω [ t 1 − ( t 0 + τ )]
如果取
t1 = t 0 + τ
H1 (ω ) = aH (ω )
这就证明S(t)和 S(t0)的匹配滤波器是相同的。 只要信号波形不变,不管什么时间出现,匹配 滤波器的脉冲响应是一样的,匹配滤波器的这一特 性称为时间上的适应性.
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− jω t0
相频特性：
arg
H ( ω ) = − arg
S (ω ) − ω t 0
− arg
S (ω )
与信号相频特性反相 与频率成线性关系
− ω t0
滤波器的相频特性与信号的相位谱互补(除常数相位和线性 相位之外)。 不管输入信号有怎样复杂的非线性相位谱,经过匹配滤波器 之后,这种非线性相位都被补偿掉了,而输出信号中只留下了线性 的相位谱。
H (ω ) = cS * (ω )e − jωt 0
匹配波器的传输函数为：
1− e 1− e ] H (ω ) = ca[ + 2 j (ω − ω0 ) 2 j (ω + ω0 )
− jωτ
− jωτ
⎧ ⎪a cos ω0 t , s( t ) = ⎨ 0, ⎪ ⎩
0≤t≤τ t < 0, t > τ
• 信号检测的目:
就是设计一种最优的处理器,最好地 从受扰观察获取目标的有关信息.
• 实践表明：
雷达接收机输出的信噪比越大，则 在观察示波器上越容易发现信号。
匹配滤波器： 在输入为已知信号加白噪声的条 件下，使得输出的信噪比最大的最佳 线性滤波器。
说明
• 信号波形已知； • 线性滤波； • 信躁比最大。
= cs ∗ ( t 0 − t )