数字信号接收与匹配滤波器
匹配滤波器的输出信号
3 关于最佳接收的准则
在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是 “最小差错概率”准则
原因
在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生 错误，我们总期望错误接收的概率越小越好
由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的 干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是
判决空间的所有状态都可能出现。
以二进制数字通信系统为例分析其原理
2 n
n i 1
k 2 i
是噪声的方差，即功率
信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的 观察波形为
y (t ) = n(t ) + s(t )
由于n(t)是均值为零， 方差为σ2n的高斯过程，则当 出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为
1 f si ( y ) exp k ( 2 n ) n0 1
若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则 它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是 统计独立的 根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独 立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维 概率密度函数的乘积，即
f k (n1 , n2 ,
, nk ) = f (n1 ) f (n2 )
f (nk )
消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别 代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的 集合
在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合
为
X={x1, x2, …, xm}
若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的 出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为 X1 x2 … xm P(xm)
（e) 图9.2.2 匹配滤波器的冲激响应
匹配滤波器匹配滤波器
(i=1, 2, …, m)
由于n(t)是均值为零， 方差为σ2n的高斯过程，则当出现 信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为
? fsi ( y)? (
1
2??
n )k
exp ??? ?
1 n0
T 0
[
y(t)
?
si
(t)]2
dt
?(i ? 1,2,..., m)
fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据。
s(t)
h(t)
即匹配滤波器的单位冲激响应为
h (t ) = Ks (t0 - t )
O
T
t
O
t0
t
式(8.1 - 16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号 s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。
对于因果系统， 匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足:
h(t) = ì??í??0Ks(t0 - t)
瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。
施瓦兹不等式为
蝌 ? 1
ゥ
2
X(w)Y(w)dw
￡
1
2
X(w) dw
1
?
2
Y(w) dw
2p - ?
2p ?
2p ?
X(ω)=KY*(ω) 等式才能成立。 K为任意常数
令X(ω)=H(ω)， Y(ω)=S(ω)ejωt0可得
ro =
ò 1
￥
2
H (w)S(w)e jwt0 dw
n0
例[ 8 - 1］设输入信号如下，试求该信号的匹配滤波器传
输函数和输出信号波形。
s(t) = ì??í??10
16第十六讲匹配滤波
这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jωt0外，与信号频谱 的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。
从匹配滤波器传输函数H(ω)所满足的条件，我们也可以 得到匹配滤波器的单位冲激响应h(t)：
h(t) 1 H ()e jt d 1 KS ()e jt0 e jtd
2
2
1
n(t)
H( )
y(t) t＝t0
(
S N
)o
判决
输出
当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤 波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。
设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(ω), 滤波 器输入信号与噪声的合成波为
r(t) s(t) n(t)
式中， s(t)为输入数字信号， 其频谱函数为S(ω)。 n(t)为高斯
比较器是在t=T时刻进行比较的。如果h1(t)支路的样 值大于h2(t)支路的样值，判为s1(t)，否则判为s2(t)
S() s(t)e jtdt 1/ j 1 e jT /2
匹配滤波器的传输函数为
H (w) S (w)e jwt0
匹配滤波器的单位冲激响应为
1
j Tw
(e 2
jw
2
KS ()e d j(t0 t) K
2
s(
)e
j
d
e
j
(
t0
t
)
d
K
1
2
s(
)e
j d
e
d j (t0 t )
K
1
2
e
j
(
t0
t
)
d
s(
)d
K
s( ) (
t0
最佳接收机(匹配滤波器)实验报告
实验报告实验项目名称：最佳接收机（匹配滤波器）实验一、实验目的1、运用MATLAB 软件工具，仿真随机数字信号在经过高斯白噪声污染后最佳的恢复的方法。
2、熟悉匹配滤波器的工作原理。
3、研究相关解调的原理与过程。
4、理解高斯白噪声对系统的影响。
5、了解如何衡量接收机的性能及匹配滤波器参数设置方法。
二、实验原理对于二进制数字信号，根据它们的时域表达式及波形可以直接得到相应的解调方法。
在加性白高斯噪声的干扰下，这些解调方法是否是最佳的，这是我们要讨论的问题。
数字传输系统的传输对象是二进制信息。
分析数字信号的接收过程可知，在接收端对波形的检测并不重要，重要的是在背景噪声下正确的判断所携带的信息是哪一种。
因此，最有利于作出正确判断的接收一定是最佳接收。
从最佳接收的意义上来说，一个数字通信系统的接收设备可以看作一个判决装置，该装置由一个线性滤波器和一个判决电路构成，如图1所示。
线性滤波器对接收信号进行相应的处理，输出某个物理量提供给判决电路，以便判决电路对接收信号中所包含的发送信息作出尽可能正确的判决，或者说作出错误尽可能小的判决。
图1 简化的接收设备假设有这样一种滤波器，当不为零的信号通过它时，滤波器的输出能在某瞬间形成信号的峰值，而同时噪声受到抑制，也就是能在某瞬间得到最大的峰值信号功率与平均噪声功率之比。
在相应的时刻去判决这种滤波器的输出，一定能得到最小的差错率。
匹配滤波器是一种在最大化信号的同时使噪声的影响最小的线性滤波器设计技术。
注意：该滤波器并不保持输入信号波形，其目的在于使输入信号波形失真并滤除噪声，使得在采样时刻0t 输出信号值相对于均方根（输出）噪声值达到最大。
1.一般情况下的匹配滤波器匹配滤波器的一般表示式如图2所示。
匹配滤波器）（或f t h H )()()()(t n t s t r +=)()()(000t n t s t r +=图2 匹配滤器s(t)： 匹配滤波器输入信号； n(t)： 匹配滤波器输入噪声； s 0(t)：匹配滤波器输出信号； n 0(t)：匹配滤波器输出噪声；h(t)或H(f)：匹配滤波器。
匹配滤波器与相关接收机的结果是等价的
基本思路
假设收发同步，数字信号在Ts时间内，携 带的符号是相同的（与模拟信号不同）， 因此数字信号的接收以恢复符号为目的;而 模拟信号的接收以恢复波形为目的。
由于符号取值是有限集，则在Ts内对应的 波形种类也是有限的，因此可以利用对不 同波形进行所谓的“匹配”，来判断Ts内 传送的是何符号。
So ( f ) X ( f )H( f )
so (t)
X ( f )H ( f )e j2ft df
匹配滤波器
t0时刻输出信号功率 | s0 (t0 ) |2
输出噪声功率
Pn
N0 | H ( f ) |2 df 2
t0时刻信噪比
r0
|
s0 (t0 ) |2 Pn
AWGN信道下的最佳接收
最佳含义－平均误码最少 数字通信的统计模型
U
X
源
信号映射
Y
V
信道
接收
宿
U：符号空间
X：信号空间 x(t) {s1(t), s2 (t)... sM (t)}
Y：接收信号空间 y(t) x(t) n(t)
V：判决空间
最佳接收
已知发送信号是信号空间{sm (t), m 1, 2...M } 中的一个信号，发送信号经过AWGN信道 后，接收机收到信号y(t)，那么根据y(t)如 何判断发送信号才能使通信的误码率最小？
得t0抽样时刻输出信噪比
r0
| X ( f ) |2 df
N0
2Es N0
2
当 H ( f ) KX ( f )* e j2ft0时等式成立。
匹配滤波
H ( )
如果选择t1=+t0 H ( ) a H ( ) 1
二、匹配滤波器理论
注意:对频移不具有适应性
S 2 ( )= S ( d )
H 2 ( ) c S ( d )e
* j t 0
不同于H()
二、匹配滤波器理论
例:单个矩形脉冲的匹配滤波器
问题：测距分辨率与作用距离矛盾
提高测距分辨率要求脉冲宽度尽可能小
增大作用距离要求每个脉冲的能量最大 大的脉冲峰值功率易导致馈线打火击穿
思路：通过增加平均功率/利用脉冲压缩技术等效
增加脉冲的峰值功率
大时宽带宽积的波形 最典型的：线性调频脉冲压缩信号
一、匹配滤波器的背景－－发展历史 发展历史： Woodward首先指出：测距分辨率和精度是雷达信 号带宽的函数而不是脉冲宽度的函数 1937 及1942 年，Kolmogorov 及Wiener 分别针 对可加性噪声信道提出最佳线性滤波器的设计方法 1943 年，North 首次针对高斯白噪声推导了最佳 接收机 H ( ) c S ( ) e ， 极大地提高了雷达检测 能力，故匹配滤波器也称为North滤波器 1946 年，Vleck 及Middleton是以脉冲信号信噪比 最佳的角度采用名词“匹配滤波器”的第一批人， 同年科捷利尼柯夫提出了理想接收机理论 1950年，Lawson把匹配滤波理论系统地载入其专 著中
* j t0
一、匹配滤波器的背景－－发展历史
1953年，乌尔柯维兹（Urkowitz）把匹配滤波器 理论推广到色噪声的场合，提出“白化滤波器”和 “逆滤波器”的概念，用于解决杂波中信号的检测 问题 1961年，曼那斯（Manasse）研究了白噪声和杂 波干扰同时存在条件下的最佳滤波器 1983年，Reed把匹配滤波器理论推广到三维图像 序列上，把运动点目标检测问题转化为三维变换器 中寻找匹配滤波器的问题 1986年，Verdu设计出的最大似然序列（MSL）检 测器结构上由匹配滤波器组＋Viterbi译码器组成， 用于直扩码分多址系统中的最优多用户检测 1998年，Reed将三维匹配滤波器运动目标检测算
《通信系统原理》教案第7章数字信号最佳接收
第7章数字信号的最佳接收知识点(1) 三个最佳准则基本原理；(2) 匹配滤波器特性及各种参数、关系；(3) 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性；(4) 理想接收与相关接收等效性；(5) 三种最佳接收系统性能分析。
知识点层次(1) 掌握匹配滤波器全部特点、参数、计算及特例；(2) 掌握相关接收数学模型及相关接收通用误比特率公式；(3) 了解理想接收思路；(4) 理解误比特率计算方法；(5) 掌握与的异同点；(6) 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系。
7.1 最佳接收准则任何一种接收设备的根本任务，就是要在接收到遭受各种干扰和噪声破坏的信号中将原来发送的信号无失真地复制出来。
但是在数字通信系统中，由于所传送的信号比较简单，例如在采用二元调制的情况下，它就只有两种状态，即信号1或信号0，因此接收机的任务也就简化为正确地接收和判决数字信号，使得发生判决错误（信号1被判为0，或者信号0被判为1）的可能性最小。
数字通信系统也和信号检测系统一样，接收机要想在强噪声中，将信号正确地提取出来，就必须提高接收机本身的抗干扰性能。
按照最佳接收准则来设计的最佳接收机就具有这样的性能。
下面首先简单介绍数字通信系统常用的几个基本最佳接收准则。
7.1.1 最大输出信噪比准则希望从噪声影响中正确地接收和识别发送的信号是否存在，并将它们复制成原来的信号波形。
就相当于信号检测系统中的“双择一”问题，而再多元调制系统中对多元数字信号的识别就相当于信号检测系统中的“m择一”问题。
显然，对于这类信号检测或识别系统，只要增加信号功率相对于噪声功率的比值，就有利于在背景噪声中将信号提取出来。
因此，在同样输入信噪比的情况下能够给出输出信噪比大的接收机，总是要比给出输出信噪比小的接收机抗干扰性能强，并且希望输出信噪比越大越好，这就是最大输出信噪比准则。
下面将证明。
在接收机内使用匹配滤波器，就可以在某一时刻使输出信号的瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大，并由此组成在最大输出信噪比准则下的最佳接收机。
匹配滤波器
匹配滤波器
匹配滤波器是一种数字信号处理中常用的滤波器。
它用于检测信号中特定的频率成分或者特定的信号模式。
匹配滤波器的输入信号和滤波器的内部参考信号进行相关运算，输出的结果表示输入信号和参考信号的匹配程度。
匹配滤波器的数学表示可以用以下公式表示：
y(t) = ∫[x(t) * h(t-T)]dt
其中，y(t)是输出信号，x(t)是输入信号，h(t)是滤波器的内部参考信号，*表示卷积运算，T表示滤波器的延时。
匹配滤波器的应用领域包括雷达信号处理、通信系统、图像处理等。
在雷达信号处理中，匹配滤波器可以用来检测目标的回波信号；在通信系统中，匹配滤波器可以用来接收和识别特定的信号；在图像处理中，匹配滤波器可以用来检测图像中的特定模式。
总之，匹配滤波器是一种可以用来检测特定信号频率成分或者模式的滤波器，广泛应用于各个领域的信号处理中。
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可得
1 2 4
1 2
2
H () S() e j t d
0
n0 4
S() e
j t0
2
H ()
2
H () d n0 4
2
H () d
2
1 d 2
S() d n0
2
2
根据帕塞瓦尔定理有
1 2
Ks(t0 t)
K 1
s(t0 t )
三、匹配滤波器的输出信号
输出信号为
s0(t) s(t ) * h(t )
s(t ) h( ) d
K s( t ) s( t0 ) d
KR( t t0 )
上式表明，匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自 相关函数的K倍。在t0时刻得到最大输出信噪比。由于 信噪比与K无关，所以K通常取1。
利用许瓦兹不等式
1 2
2
X () Y () d
1 2
1 X ( ) d 2
Y ( ) d
等号成立条件：
令
X () H () Y() S() e j t
s0(t0 ) r0 N0
x(t) = s(t) + n(t) y(t) = s0(t) + n0(t)
s 0() e
j t
1 d 2
S()H () e j td
滤波器输出的噪声平均功率为
N0
1 2
1 Pn0() d 2
2 Pni() | H () | d
KS *() e j te j td
K 2
K
j s( ) e j (t0 t )d e d
1 2
e
j ( t0 t )
d s( ) d
K s( ) ( t0 t) d Ks(t0 t)
S() d
2
s( t) dt E
2
因此
r0 r0
2E
n0
2E
最大输出信噪比为
n0
二、h(t)表达式
根据许瓦兹不等式成立的条件可得
匹配滤波器
1 h(t ) 2
H() KS *() e j t
j t
0
H () e
1 d 2
*
匹配滤波器
一、基本原理
令 x(t)=s(t)+n(t), 其中n(t)为噪声，h(t)为冲激响应函 数。若x(t)经过h(t)后有最大的信噪比输出，则h(t) 就称为匹配滤波器。经过匹配滤波器后输出数据再 经过判决函数，就可以输出数字信号波形。
滤波器输入 滤波器输出
1 s ( t ) 其中 0 2
数字信号接收与匹配滤波器
在数字信号接收中，滤波器的作用主要 有两个方面： • 使滤波器输出有用信号尽可能强； • 抑制信号带外噪声，是滤波器输出噪声成 分尽可能小，以减小噪声对信号判决的影 响。
通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：
• 使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的 均方误差最小，这样的最佳线性滤波器称为维纳 滤波器。 • 使线性滤波器在输出端能够提供最大化的瞬时信 噪比，这种提供输出信噪比最大化的最佳滤波器 称为匹配滤波器。 在数字通信中，匹配滤波器应用的更为广泛。
从这个实验结果可以看出，在-5dB-5dB范围内，平均采样（5 点）的误码率比平均采样（10点）和匹配滤波器的误码率要 大，但比单点采样的误码率小。
四、判决
设s(t)为二进制数字信号码元: 当 1-s(t)<s(t)-0 即s(t)>0.5时，判决为1 当 1-s(t)>s(t)-0 即s(t)<0.5时，判决为0
也就是
1 s(t ) 0
s(t)>0.5 s(t)<0.5
举例
s(t) A
h(t) A
y(t) A2T
*
0 T 0 T 0 T 2T
作业 请画出在信噪比从-5dB-5dB，画出单点采 样、平均采样(采样点为10和小于10点）和 匹配滤波器的误码率曲线图。
实验结果
从实验结果可以看出，在-5dB-5dB范围内，单点采样、平均采样(10点) 和匹配滤波器三种方式的误码率整体都是下降的，但相比之下单点采样 误码率比平均采样(10点）和匹配滤波器的误码率都要大。而在高斯白噪 声的条件下，平均采样（10点）和匹配滤波器的误码率相等。
1 2
n0 2 | H ( )| d 2
H ( ) 抽样时刻t0，滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均 功率之比
1 | | s0(t0 )|2 r0 2
H () S() e
j t0
d |2
N0
n0 4
| H ()|2 d
由上式可以看出，在输入信号给定的情况下，输出信 噪比r0只与滤波器的传输函数H ( )有关。使输出信噪比 r0达到最大的传输函数H ( )就是我们所需求的最佳滤波 器传输函数。