讲义集合运算的综合应用

则由根与系数的关系得
即 矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3.
（3）∵A （ ）=A，∴A ，∴A
①若B= ，则 ＜0 适合；
②若B≠ ，则a=-3时，B= ，A B= ，不合题意；
a＞-3，此时需1 B且2 B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
（2）由题意知, 或 或 或
根据元素的互异性得 或 即为所求.
考点二:集合的运算
典型例题:
例1.设全集 ， 方程 有实数根 ， 方程
有实数根 ，求 .
解：当 时， ，即 ；
当 时， 即 ，且 ∴ ，
∴
而对于 ， 即 ，∴ .
∴
例2.已知 , 或 .
(1)若 ,求 的取值范围;
(2)若 ,求 的取值范围.
8.已知集合A={x| }，B={x| }，且A∩B=B，求实数m的取值范围。
9.已知集合 ，若 ，求实数a的值．
10已知全集U=R，A= ，试用列举法表示集合A
11.已知关于x的不等式 <0的解集为M.
(1)当a=4时，求集合M(2)若3∈M且5∈M，求实数a的取值范围．
2．集合中的元素属性具有：
(1)确定性；(2)；(3)．
3．集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A的元素，记作，若a不是集合B的元素，记作．但是要注意元素与集合是相对而言的．
(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.
∴Δ=4-12m<0,即m> .
（2）∵A中只有一个元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x= ;
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m= .
∴m=0或m= .
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，
例2.设集合 ， ， ，求实数a的值.
解：此时只可能 ，易得 或 。
当 时， 符合题意。
当 时， 不符合题意，舍去。
故 。
例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
解：集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.
例6若集合 ，则有（）
A． B． C． D．
例7若集合 ， ，且 ，则 的值为（）
A． B． C． 或 D． 或 或
例8已知 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
例9关于实数x的不等式 与x -3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a∈R)的解集依次为A，B 求使 成立的实数a的取值范围
例10.已知集合A={x2x+2=0}，集合B={xax4=0},且AB=A，求实数a的值.
3.设集合A={x|(x+2)(x-5)≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B A，则实数a的取值范围是________
4.已知 ， ，则 ．
5.已知 ， ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
6.设全集 ， ，那么 等于_________．
7、已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是________.
10．空集 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素， 是任何集合的， 是任何非空集合的，解题时不可忽视 ．
四、集合的运算
1．交集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝．
2．并集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝．
3．补集：集合A是集合S的子集，由的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作 ，即 ＝．
解:(1) ,∴ ，解之得 .
(2) ,∴ .∴ 或 ， 或
∴若 ,则 的取值范围是 ；若 ,则 的取值范围是 .
针对练习2:
1.已知集合A= B=
（1）当m=3时，求 ；
（2）若A B ，求实数m的值.
解：由 得 ∴-1＜x≤5,∴A= .
（1）当m=3时，B= ，则 = ，
∴ = .
(2)∵A= ∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
考点三:集合的综合应用
例1设集合M={x|x= ，k∈Z},N={x| x= k∈Z},则（）
A．M=N B．M N C.M N D．M∩N=φ
例2满足 的集合M的个数是_______个.
例3已知集合A={0，2，3}，B={x|x=a·b，a、b∈A}，则集合B的真子集有（）
A．7个B．8个C．15个D．16个
解：（1）a＝0,S＝ ， P成立a 0，S ，由S P，P＝{3，－1}
得3a＋2＝0，a＝－ 或－a＋2＝0，a＝2；∴a值为0或－ 或2.
（2）B＝ ，即m＋1>2m－1,m<2∴ A成立.
B≠ ，由题意得 得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3即m≤3为取值范围.
注：（1）特殊集合 作用，常易漏掉
得m=0或m≥ .
针对练习1:
1.若a,b R,集合 求b-a的值.
解：由 可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
①或 ②
由①得 符合题意；②无解.所以b-a=2.
2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，S P，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B A,求m。
五、集合的常用运算性质
1．A∩A＝，A∩ ＝，A∩B=，B∩A，A∪A＝，
A∪ ＝，A∪B＝B∪A
2． ＝， ＝， ．
3． ，
，
4．A∪B＝A
A∩B＝A
考点一:集合的概念
典型例题:
例1.已知集合 ，试求集合 的所有子集.
解：由题意可知 是 的正约数，所以 可以是 ；相应的 为
，即 .
∴ 的所有子集为 .
例11设 ，集合 ， ， ．
若 中至少有一个不是空集，求实数 的取值范围．
课后作业:
1.满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2如图所示，u是全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C.(M∩P)∩( S) D.(M∩P)∪( S)
3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
解：（1）由题意知：
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.
当a=-1时，B= 满足条件；
当a=-3时，B= 满足条件；
综上，a的值为-1或-3.
（2）对于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).
∵A B=A，∴B A,
①当 ＜0,即a＜-3时，B= ，满足条件；
②当 =0，即a=-3时，B ，满足条件；
③当 ＞0，即a＞-3时，B=A= 才能满足条件，
此时B= ,符合题意，故实数m的值为8.
2：设集合A= B
（1）若A B 求实数a的值；
（2）若A B=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A （ ）=A.求实数a的取值范围.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵A B ∴2 B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
例4设A={x|x= ，k∈N}，B={x|x≤6，x≤Q}，则A∩B等于（）
A．{l，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6}
例5已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于（）
A．{x|x∈R} B．{y|y≥0} C．{(0，0)，(1，1)} D．φ
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号表示．
6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作．
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．
8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．
Hale Waihona Puke 9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
龙文教育学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：新高一教师：
课题
集合运算的综合应用
教学目标
熟练掌握集合运算的方法与技巧，并能解决相关综合问题
重点、难点
集合运算的方法与技巧
考点及考试要求
熟练掌握集合运算的方法与技巧，并能解决相关综合问题
教学内容
知识框架:
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合中的每一个对象叫做这个集合的．