Bezier曲线的递推算法
Bezier曲线
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：
k Pi
k
P 1 i 1
k 1Pi
例如： 0 Pi Pi
1Pi 0 Pi1 0 Pi Pi1 Pi
2 Pi 1Pi1 1Pi Pi2 2Pi1 Pi
Pn1
P2 n2
选择 和 的值 ，可以利用该式确定曲线段 Q (t)的特征多边形顶点 Q2，而顶点Q0 、Q1已被 G1连续条件所确
定。要达到Q2连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。
如果从上式的两边都减去Pn，则等式右边可以表示为(Pn-Pn-1)和(Pn-1-Pn-2) 的线性组合：
k(t) P' (t) 3
可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
k (0)
n 1 n
(P1
P0 ) (P2 P1 P0 3
P1 )
k (1)
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn1)
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
•
恰好是二项式[t+(1-t)]n的展开式。：其中，当i=0，t=0时，ti=1，i！=1，即00=1,0！=1
Pi代表空间的很多点，t在0到1之间，把t代入进去可以算出一个数，即平面或空间一个点。 随着t值的变化，点也在发生变化。当t从0到1时，就可以得到空间的一个图形，这个图形就是Bezier曲线。
第二章 Bézier曲线
§1.一般介绍 §2.Bézier曲线的定义及性质 §3.de Casteljau算法 §4.Bézier曲线的其它表示形式及导数 §5.组合Bézier曲线和几何连续性 §6.Bézier曲线修形及升阶
§1.一般介绍
Bézier曲线是分别由法国 Citroën 汽车公司的de Casteljau大约于1959年 和法国Renault汽车公司的Bézier大约 于 1962 年独立研制的.由于以Bézier 方法为基础的 UNISURF 系统首先公开 发表,所以现在这一方法冠以Bézier的 名字.
升阶图例2
形状修改图例
de Casteljau算法图例2
de Casteljau算法图例3
de Casteljau算法图例4
§4.Bézier曲线的其它 表示形式及其导数
用边向量表示的Bézier曲线
Bézier曲线的导数
Bézier曲线的差分表示形式
用边向量表示的Bézier曲线(证明)
Bézier曲线的导数1
图例：三次Bézier曲线
Bézier曲线的定义(现在)
Bernstein多项式的性质(1)
1.单位分解性
2.非负性 3.端点性质
Bernstein多项式的性质(2)
4.对称性
5.递推公式 6.导函数 7.最大值
Bernstein多项式的性质(3)
8.升阶公式 9.分割公式 10.积分公式 11.与幂基的转换公式
P
0 1
P
1 1
P
2 0
P
3 0
P
0 2
P
2 1
P
1 0
P
1 2
贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线公式贝塞尔曲线（Bézier Curve）是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔提出的，其应用非常广泛，如CAD系统，图片处理，几何图案绘制等。
贝塞尔曲线具有很强的平滑性，可以用来描述任意曲线，可以更加精确地描述几何形状。
贝塞尔曲线公式是一种用于绘制贝塞尔曲线的方法，它可以用来描述任意曲线。
贝塞尔曲线公式也称为递推公式，它将多项式拆分为多边形，并用相应的贝塞尔曲线来表示这些多项式。
这种方法实现了在任意两个点之间平滑多边形的曲线，给我们一个非常高效地，强大而精确绘图方法。
贝塞尔曲线的通用公式为：B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)其中，Pk是贝塞尔曲线的控制点，t是参数，Cn,k（t）是贝塞尔基函数：C0,0(t)=1,Cn,0(t)=0,Cn,k(t)=Cn-1,k-1(t)+(n-k+1)Cn-1,k(t)而B（t）是控制点的一个线性函数，t的数值在[0,1]之间。
当t=0的时候，B(t)=P0，t=1的时候，B(t)=Pn，其间的某一点Q，坐标则有如下形式：Q(x,y)=B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)=(P0(t),Pn(t))Cn,k(t)由于贝塞尔曲线是一种几何数学概念，它还有基于几何理论的定义及绘图方法，如：1.控制点的定义：在二维空间内，贝塞尔曲线是由“控制点A”和“控制点B”两个点构成曲线。
2.贝塞尔曲线定义：采用参数t做函数变换后，以控制点A和控制点B为两个顶点，完成三次曲线的定义。
即所谓的B-Spline曲线（B样条曲线）。
3.贝塞尔曲线定向：从起点开始，控制点A和控制点B所代表的线条向曲线的延长方向，可以使到达终点的曲线更平滑，更优美。
4.贝塞尔曲线的绘制：一般来说，贝塞尔曲线的绘制可以分成三步：（1）通过各个控制点求得控制点对应的点对；（2）将此点对组合起来即可绘出相应的贝塞尔曲线；（3）根据公式依次计算出整条曲线上的点，最后完成贝塞尔曲线的精确绘制。
bezier曲线生成算法
bezier曲线生成算法Bezier曲线是一种重要的曲线生成算法，被广泛应用于计算机图形学、CAD、动画等领域。
它是Bernstein多项式的线性组合，利用微积分和矩阵运算等数学知识进行计算。
下面将分步骤介绍Bezier曲线生成算法。
1.选择控制点决定Bezier曲线形状的有多个控制点。
一条曲线至少需要两个控制点，但大部分曲线使用的是三到四个控制点。
选择控制点要根据实际需要来确定，例如需要画一个弧度比较小的圆弧，那么就只需要选择少数几个点。
2.计算Bezier曲线的轨迹根据控制点求解Bezier曲线的轨迹有多种方法，如迭代法、递推法等。
这里我们使用递推公式，可具体分为三步：(1)首先计算Bezier曲线的一阶导数，即B0'(u)、B1'(u)、B2'(u)、B3'(u)；(2)然后根据一阶导数计算Bezier曲线的二阶导数，即B0''(u)、B1''(u)、B2''(u)、B3''(u)；(3)最后根据二阶导数计算Bezier曲线的轨迹，即B(u)=B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)。
其中B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)是Bezier基函数，u为Bezier曲线的参数。
3.绘制Bezier曲线根据Bezier曲线轨迹的坐标可以用直线或者曲线来连接，从而得到Bezier曲线的效果。
当然，为了获得更光滑、更细腻的曲线效果，我们一般使用二次或三次Bezier曲线。
4.应用Bezier曲线Bezier曲线有着广泛的应用，如计算机图形学中的曲面建模、动画制作中的路径控制、CAD绘图等。
在绘制曲线和曲面时，Bezier曲线可以很好的展现出几何图形的优美形态，所以在计算机辅助绘图和工程制图中被广泛应用。
综上所述，Bezier曲线生成算法是一种强大而优美的数学方法。
通过选择控制点、计算Bezier曲线的轨迹、绘制Bezier曲线以及应用Bezier曲线等步骤，可以生成出各种美妙的曲线和曲面。
实验报告四bezier曲线
实验四Bezier曲线的绘制1. 实验目的练习Bezier曲线的绘制和de Casteljau算法。
2. 实验内容和要求按要求完成如下一个作业，提交纸质实验报告，同时提交实验报告和代码的电子版。
实现Bezier曲线的de Casteljau递推算法，能够对任意介于0和1之间的参数t计算Bezier曲线上的点，然后依次连接这些点生成Bezier曲线。
要求：对[0,1]参数区间进行100等分。
控制点的数目至少为5个，即Bezier曲线的次数不低于4次。
de Casteljau算法用一个函数单独实现。
绘制Bezier曲线的同时还要绘制其控制多边形。
至少绘制两条Bezier曲线，具有不同的次数，颜色和曲线宽度。
3.算法描述Bezier Curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线定义：起始点、终止点、控制点。
通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
1962年，法国数学家Pierre Bezier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
以下公式中：B(t)为t时间下点的坐标；P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点。
一阶贝塞尔曲线如下，意义由 P0 至 P1 的连续点，描述的是一条线段：二阶贝塞尔曲线（抛物线：P1-P0为曲线在P0处的切线）：原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
4. 源程序代码#include<C:\Include\GL\glut.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>GLsizei winWidth = 600, winHeight = 600;GLfloat xwcMin = -150.0, xwcMax = 150.0;GLfloat ywcMin = -300.0, ywcMax = 300.0;class wcPt3D{public:GLfloat x, y, z; };void init(){glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0); }void plotPoint(wcPt3D bezCurevePt){glBegin(GL_POINTS);glVertex2f(bezCurevePt.x, bezCurevePt.y);glEnd(); }void binomiaCoeffs(GLint n, GLint * C){GLint k, j;for (k = 0; k <= n; k++)C[k] = 1;for (j = n; j >= k + 1; j--)C[k] *= j;for (j = n - k; j >= 2; j--)C[k] /= j; }void computeBezPt(GLfloat u, wcPt3D * bezPt, GLint nCtrlPts, wcPt3D *CtrlPts, GLint *C){ GLint k, n = nCtrlPts - 1;GLfloat bezBlendFcn;bezPt->x = bezPt->y = bezPt->z = 0.0;for (k = 0; k<nCtrlPts; k++){bezBlendFcn = C[k] * pow(u, k) * pow(1 - u, n - k);bezPt->x += CtrlPts[k].x * bezBlendFcn;bezPt->y += CtrlPts[k].y * bezBlendFcn;bezPt->z += CtrlPts[k].z * bezBlendFcn; } }void bezier(wcPt3D * ctrlPts, GLint nCtrlPts, GLint nBezCurvePts){wcPt3D bezCurvePt;GLfloat u;GLint *C, k;C = new GLint[nCtrlPts];binomiaCoeffs(nCtrlPts - 1, C);for (k = 0; k <= nBezCurvePts; k++){u = GLfloat(k) / GLfloat(nBezCurvePts);computeBezPt(u, &bezCurvePt, nCtrlPts, ctrlPts, C);plotPoint(bezCurvePt); }delete[]C; }void displayFcn(void){GLint nCtrlPts = 5, nCtrlPts2 = 6, nBezCurvePts = 1000;wcPt3D ctrlPts[5] = { { -135.0, -59.0, 0.0 }, { -59.0, 95.0, 0.0 }, { 0.0, -40.0, 0.0 }, { 70.0, 120.0, 0.0 }, { 78, -125.0, 0.0 } };wcPt3D ctrlPts2[6] = { { -118.0, 20.0, 0.0 }, { -85.0, 45.0, 0.0 }, { -26.0, -126.0, 0.0 }, { 38.0, 88.0, 0.0 }, { 58.0, 188.0, 0.0 }, { 108.0, 98.0, 0.0 } }; glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(6);glColor3f(0.0, 1.0, 1.0);bezier(ctrlPts, nCtrlPts, nBezCurvePts);glPointSize(5);glColor3f(1.0, 0.0, 1.0);bezier(ctrlPts2, nCtrlPts2, nBezCurvePts);glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-135.0, -59.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(78.0, -125.0);glVertex2f(-118.0, 20.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(108.0, 98.0);glEnd();glFlush(); }void winReshapeFcn(GLint newWidth, GLint newHeight){glViewport(0, 0, newWidth, newHeight);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(xwcMin, xwcMax, ywcMin, ywcMax);glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); }void main(int argc, char *argv[]){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowPosition(50, 50);glutInitWindowSize(winWidth, winHeight);glutCreateWindow("yxl 实验四 Bezier曲线");init();glutDisplayFunc(displayFcn);glutReshapeFunc(winReshapeFcn);glutMainLoop(); }5. 实验结果6.实验体会最后一次实验报告了，老师要求我们做Bezier曲线，需要我们对函数去理解的一次实验，对于数学比较差的我来说还是很有困难的，理解起来比较吃力。
Bezier曲线与曲面
页码，3/25
（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
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点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
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3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
第10部分计算机图形学Bezier曲线
P1 P11 P01
P02
P2
P0 Bezier曲线上的点
1/18/2019 第10部分 Bezier曲线 第17页
P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
1 P 1 (1 t ) P 1 tP 2 1 P02 (1 t ) P01 tP 1
P01
P0
P02
Bezier曲线
Ray
ray@
1/18/2019
李辉 副教授
内容
Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶
P0
P 1 P2 P3 n=3时
1/18/2019
P01
1 P 1
P02
2 P 1
P21
P03
Pi n 的递推关系
第21页
第10部分 Bezier曲线
2 P 1
P
2 0 1 P 0
P 1
P
1 1
P 2
1 P 2
P 0 0
3 P (1 / 3) P 0
P 3
1/3
1
几何作图法求Bezier曲线 上一点（n=3，t=1/3）
* i 0 i 0 i 0 i 0 n n n n
t [0,1]
1/18/2019
第10部分 Bezier曲线
第13页
3.
凸包性
– –
B
i 0
n
i ,n
(t ) 1 且
0 Bi ,n (t ) 1(0 t 1, i 0,1,, n) Bezier曲线P(t)在 t [0,1] 中各点是控制点Pi的凸线性
bezier曲线算法
bezier曲线算法摘要：一、贝塞尔曲线算法概述1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用二、贝塞尔曲线算法的原理1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程2.控制点和结束点的关系3.细分方法三、常见的贝塞尔曲线算法1.线性插值法2.二次插值法3.三次插值法（de Casteljau 算法）四、贝塞尔曲线算法的应用实例1.绘制简单的贝塞尔曲线2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形五、贝塞尔曲线算法的优化1.减少计算量2.提高精度正文：贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。
这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。
贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。
在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。
例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。
此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。
常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。
线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。
在实际应用中，贝塞尔曲线算法需要考虑计算量和精度的平衡。
为了减少计算量，可以采用一些优化方法，例如使用分治策略、减少插值次数等。
为了提高精度，可以采用更高阶的插值方法或者增加细分次数。
总之，贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中具有重要意义的数学方法。
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• 设P0、P02、P2是一条 抛物线上顺序三个不 同的点。过P0和P2点 的两切线交于P1点， 在P02点的切线交P0P1 和P2P1于P01和P11， 则如下比例成立：
• 当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:1-t)， 即有：
• t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的 第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将 一、二式代入第三式得：
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在 给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
• 当n=3时，de casteljau算法递推出 的Pik呈直角三角形， 对应结果如图所示。 从左向右递推，最右 边点P03即为曲线上的 点。
• 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、 P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明： 这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个 顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次 Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控 制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别 由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点 Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定 义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1) 次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：