递推算法
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
稳定的递推算法
稳定的递推算法1 稳定的递推算法是什么？稳定的递推算法是指一种通过已知的初始值和递推公式计算后续值的数学算法。
这种算法不仅能够正确和快速地计算出数列中每一项的值，而且其计算过程是稳定可靠的，不会出现数据不准确或计算错误的情况。
2 递推算法的基本原理递推算法是一种基于数学归纳法的算法。
具体地说，其基本原理是依据已知的初值和递推关系式，逐步推导出数列中的每一项的值。
递推算法的一般形式为：f(n) = g(f(n-1))其中，f(n) 是数列中第 n 项的值，g 是递推关系式，f(n-1) 是数列中的前一项。
3 稳定递推算法的特点稳定递推算法有以下特点：1. 不会出现“死循环”：这是因为递推公式和初值的限制条件能够确保计算过程的唯一性和有限性。
2. 对于相同的初值和递推公式，计算结果的可复现性非常好，而且速度较快。
3. 稳定递推算法的计算量较小，适用于大型数列的计算。
4 稳定递推算法在计算机科学中的应用稳定递推算法在计算机科学中有着广泛的应用，特别是在数据结构和算法领域。
下面介绍其中两个经典的例子：1. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、… 其中每一项都是前两项的和。
这个数列可以使用递推算法进行计算，而且计算速度很快。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种递推算法，其应用广泛，涵盖了很多领域，比如图像处理、自然语言处理、人工智能等。
动态规划算法通常是在递归的基础上进行计算，但是由于递推公式的稳定性，其速度通常会比递归算法快得多。
5 稳定递推算法的实现方式稳定递推算法的实现方式通常是使用循环结构，在每一次循环中，根据递推公式和前一项的值计算出当前项的值，并赋值给当前项。
循环的次数就是要求的数列的项数。
6 稳定递推算法的优化稳定递推算法的优化主要是通过改善递推公式和优化循环结构来提高算法的效率和稳定性。
一些文献指出，使用矩阵乘法等方法可在一定程度上提高递推算法的计算速度。
递推算法详解 -回复
递推算法详解-回复什么是递推算法？递推算法，也称为迭代算法，是一种解决问题的数学或计算方法。
它通过定义初始条件和递推公式来计算求解一个问题的过程，并将问题的规模逐步缩小，直至达到基本情况可以被直接求解。
递推算法常常在计算机科学、数学、物理学等领域中被广泛应用。
递推算法的基本思想是通过已知结果计算未知结果，并逐步推导出整体的解。
它通常涉及将问题划分为一系列相互依赖的子问题，并根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
递推算法的核心是找到递归公式或迭代关系，通过不断迭代计算的方式逐步逼近最终解。
递推算法的特点是具有清晰的步骤和明确的终止条件。
它的执行过程可以看作是一系列有序的操作步骤，每一步都在上一步的基础上进行计算，直到达到终止条件为止。
递推算法通常使用迭代结构或递归函数实现，具有高效、可靠、易于理解的优点。
递推算法在实际问题中的应用非常广泛。
它可以用于解决数列求和、排列组合、动态规划、图算法等各种问题。
在数学中，斐波那契数列就是一个常见的递推数列，其递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，然后给定初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，通过递推公式可以依次求解出每一个数的值。
递推算法的步骤可以总结为以下四个：1. 找到基本情况：递推算法的终止条件是基本问题的解，请确定问题的边界。
2. 设计递归公式：根据问题的性质确定递归公式或迭代关系，以便将问题拆解为更小的子问题。
3. 确定初始条件：确定问题的初始条件或起始状态。
4. 实施递推：通过递推公式或迭代关系将问题规模不断缩小，直到达到基本情况，然后计算基本情况下的解。
对于求解递归问题，递推算法通常具有较高的时间复杂度。
这是因为在递推过程中，需要重复计算许多中间值，并且递归函数的调用过程会导致额外的函数调用开销。
为了提高执行效率，可以使用记忆化搜索等技术来优化递推算法。
总结起来，递推算法是一种通过定义初始条件和递推公式来计算求解问题的方法。
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推算法概念
递推算法概念
递推算法是一种基于已知结果推导出后续结果的算法。
它是一种比较常用的计算机编程思路，在各种场景下都能发挥出良好的效果。
递推算法的基本思路是从已知的初始值开始，根据递推关系式，求解下一个结果，最终得到所需的结果。
递推算法的优点在于它可以大大减少计算量。
在许多计算问题中，递推算法都能用更少的时间和空间复杂度得到正确的结果。
同时，递推算法的思路简单，对于初学者来说也比较容易理解和实现。
递推算法有多种形式，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
在实践中，递推算法常常用于动态规划、计算几何、图论等领域，它们大大提高了算法效率，能够有效解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题。
首先，我们必须准确地描述递推关系式，这是正确求解下一个结果的关键。
其次，我们必须确定好递推的边界条件，避免出现无效或死循环的情况。
最后，在实现过程中，我们还需要考虑算法的效率和精度，避免出现由于计算过程中的误差而影响结果的情况。
综上所述，递推算法是一种非常有用的计算机编程思路。
它能够大大
提高算法效率，有效地解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题，如准确描述递推关系式、确定递推的边界条件、考虑算法的效率和精度等。
只有在正确理解和使用递推算法时，我们才能充分发挥它的优点，有效地解决实际问题。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
递推算法的一般步骤
递推算法的一般步骤递推算法是一种常用的计算方法，通过已知条件推导出未知结果的一种数学推理过程。
它可以用于解决一些复杂的问题，特别是涉及到递归关系的情况。
递推算法的一般步骤如下：1. 首先，明确问题的递推关系。
递推算法的核心就是通过已知条件推导出未知结果，因此需要通过观察问题的特点，找到问题的递推关系。
这个递推关系可以是一个公式、一个递归函数或者一系列等差、等比数列等。
2. 然后，确定初始条件。
递推算法是从已知条件推导出未知结果的过程，因此需要确定问题的初始条件。
这个初始条件可以是问题中给出的初始值，也可以是手动给定的一些值。
3. 接下来，进行递推计算。
根据问题的递推关系和初始条件，可以开始逐步计算得到未知结果。
递推计算的过程就是反复应用递推关系，将已知的结果代入递推关系中得到新的结果，然后再将新的结果代入递推关系中得到更新的结果，依此类推，直到得到想要的未知结果。
4. 最后，进行结果验证。
得到未知结果后，需要对结果进行验证，确保结果的正确性。
这可以通过与已知条件进行对比、与问题的实际情况进行比较等方法来进行。
如果结果符合要求，即可确认递推算法的正确性。
除了以上步骤，还有一些在使用递推算法时需要注意的问题：1. 递归深度的控制。
递推算法中经常使用递归函数来表达递推关系，但要注意递归的深度，避免出现无限递归的情况。
可以通过设置递归深度的限制条件或者使用迭代方法来避免这种情况的发生。
2. 边界条件的处理。
在确定初始条件时，要考虑问题的边界条件。
边界条件是递推算法中的特殊情况，需要单独处理，以确保算法的正确性。
边界条件可以是问题中给出的某种特殊情况，或者是根据问题的特点手动给定的一些条件。
3. 问题的优化。
在实际应用中，递推算法可能会面临一些效率问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，需要对算法进行优化，提高算法的执行效率。
可以通过改进递推关系、使用动态规划等方法来实现问题的优化。
综上所述，递推算法是一种通过已知条件推导出未知结果的计算方法。
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递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。
）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。
然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递推关系式递推，直至求出最终结果(或初始值)。
很多程序就是按这样的方法逐步求解的。
如果对一个试题，我们要是能找到后一项数与前一项数的关系并清楚其起始条件(或最终结果)，问题就比较容易解决，让计算机一步步计算就是了。
让高速的计算机从事这种重复运算，可真正起到“物尽其用”的效果。
递推分倒推法和顺推法两种形式。
一般分析思路：If 求解初始条件f1then begin {倒推}由题意(或递推关系)确定最终结果fn；求出倒推关系式f i-1=g'(f i)；for i←n downto 2 do f i-1←g(f i)；{从最终结果fn出发进行倒推}输出倒推结果fl；end{then}else begin {顺推}由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件)；求出顺推关系式f i=g(f i-1)：for i←2 to n do f i←g(f i-1)；{由边界条件f1出发进行顺推}输出顺推结果fn；end；{else}由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。
我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件(或最终结果)除试题已明确给定外，都是通过对问题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。
2．递推关系的建立递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给出的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系。
其中核心问题是如何建立递推关系。
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面(或后面)几项的关系式，以及初始项的值(或最终结果值)。
它不是一种抽象的概念，而是针对某一具体题目或一类题目而言的。
3、问题举例【例 1】有2×n的一个长方形方格，用一个1×2的骨牌铺满方格。
例如n=3时，为2×3方格。
此时用一个1×2的骨牌铺满方格，共有3种铺法：编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。
【问题分析】（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。
可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。
（2）当n=1时，只能是一种铺法如左图，铺法总数表示为X1=1；（3）当N=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为X2=2；（4）当N=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。
如题图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3. 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
（5）推出一般规律：对一般的n，要求X n可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为X n -1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为X n -2。
从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：X n=X n -1+X n -2（N>2）X1=1X2=2以上就是问题求解的递推公式。
任给N都可以从中获得解答。
例如 N=5，X3=X2+X1=3X4=X3+X2=5X5=X4+X3=8下面是输入 N，输出X1 ~ X n的Pascal程序：program p12_20;var x,y,z:longint;i,n:integer;beginwrite('Input n:');read(n);x:=0;y:=1;for i:=1 to n dobeginz:=y+x;writeln('x[',i:2,']=',z);x:=y;y:=z;end;end.下面是运行程序输入 n=30，输出的结果：input n:30x[1]=1x[2]=2x[3]=3x[4]=5x[5]=8 ...............................x[28]=514229x[29]=832040x[30]=1346269问题的结果就是有名的斐波那契（Fibonacci）数列问题，F(1)=0，F(2)=1，在n>2时有：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
【例2】用迭代方法求Y=X1/3的值。
X由键盘输入。
利用下列迭代公式计算：y n + 1=2/3y n+x/(3y2n),初始值y0=x,误差要求ε=10-4。
【问题分析】（1）迭代法即反复代入法。
在上式中，将Y n代入公式的右端，可以计算出Y n + 1，然后将Y n + 1作为新的Y n代入右端，以计算出新的Y n + 1，如此重复直到|Y n + 1-Y n|<ε为止。
初始值Y0=X，意味着么一次代入公式右端的Y n的取值为X。
（2）本题算法特点：循环，变量迭代，直到前后两次的计算误差小于10-4结束并输出结果。
程序如下：program p12_21;const e=0.0001;var x,y0,y1,y2:real;beginwrite('Input x:');read(x);writeln;y1:=x;y2:=x;repeaty1:=y2;y2:=2/3*y1+x/(3*y1*y1);until abs(y2-y1)<e;writeln(x,':3x=',y2);end.当X=8则输出结果：8：3X=2.000000011E+00当X=27 则输出结果：27：3X=3.0000000018E+00【例3】过河卒(NOIP2002初中组第四题)【问题描述】棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
卒行走的规则：可以向下、或者向右。
同时在棋盘上的任一点有一个对方的马(如C点)．该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的拄制点(如下图中的c点和P1，P2，…，P8)。
卒不能通过对方马的控制点．棋盘用坐标表示，A点(0，0)、B点(n，m)(n，m为不超过20的整数)．同样马的位置坐标是需要给出的C(x,y)．C≠A C≠B。
现在从键盘输入n,m．,要你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
【问题分析】跳马一般是在学习回溯或搜索等算法的时候．很多书上也有类似的题目，一些比赛中也经常出现这一问题的变形(如NOIPl997初中组第三题)。
有些同学一看到这种类型的题目就去盲目搜索，但事实证明：当n，m=15就会超时。
其实，对本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来(我们称之为左点)或是从上面过来(我们称之为上点)。
根据加法原理．到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径数目之和．因此我们可以使用逐列(或逐行)递推的方法来求出起点到终点的路径数目。
障碍点(马的控制点)也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可。
假设用F[i,j]表示到达点(i,j)的路径数目，用g[i,j]表示点(i,j)是否是对方马的控制点g[i,j]=0表示不是对方马的控制点,g[i,j]=1表示是对方马的控制点。
则,我们可以得到如下的递推关系式：F[0,0]=1F[i,j]=0 {g[x,y]=1]F[i,0]=F[i-1,0] {i>0，g[x,y]=0}F[0,j]=F[0,j-1] {j>0,g[x,y]=0}F[i,j]=F[i-1,j]+F[i,j-1] {i>0，j>0．G[x,y]=0}上述递推关系式的边界为：F[0,0]=l。
考虑到最大情况下；n=20,m=20．路径条数可能会超出长整数范围，所以要使用int64类型计数或高精度运算。
【参考程序】program p2_1(input,output);constdx: array[1..8] of Shortint=(-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2);dy: array[1..8] of Shortint=(1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1);varn, m, x, y, i, j: Byte;g: array[0..20, 0..20] of Byte;f: array[0..20, 0..20] of int64;beginReadln(n, m, x, y);Fillchar(g, Sizeof(g), 0);g[x,y]:=1;for i:=1 to 8 doif (x+dx[i]>=0)and(x+dx[i]<=n)and(y+dy[i]>=0)and(y+dy[i]<=m)theng[x+dx[i],y+dy[i]]:=1;f[0,0]:=1;for i:=1 to n doif g[i,0]=0 then f[i,0]:=f[i-1,0];for i:=1 to m doif g[0,i]=0 then f[0,i]:=f[0, i-1];for i:=1 to n dofor j:=1 to m doif g[i,j]=0 then f[i,j]:=f[i-1,j] + f[i,j-1];writeln(f[n,m])end.解决递推类型问题有三个重点：一是如何建立正确的递推关系式．二是递推关系有何性质，三是递推关系式如何求解。