时间序列分析方法Kalman滤波
卡尔曼滤波 公式
卡尔曼滤波公式
卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的数学算法，广泛应用于各种领域，如航空航天、无人驾驶、机器人等。
以下是卡尔曼滤波的公式：
1.状态预测方程：
x[k|k-1] = A[k|k-1] * x[k-1|k-1] + B[k|k-1] * u[k]
其中，x[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的状态预测，A[k|k-1]是状态转移矩阵，B[k|k-1]是控制矩阵，u[k]是控制向量。
2.测量更新方程：
z[k|k] = H[k|k] * x[k|k] + v[k]
其中，z[k|k]表示在时间k对时间k的测量更新，H[k|k]是量测矩阵，v[k]是测量噪声。
3.协方差预测方程：
P[k|k-1] = A[k|k-1] * P[k-1|k-1] * A[k|k-1]' + Q
其中，P[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的协方差预测，Q是过程噪声协方差。
4.协方差更新方程：
P[k|k] = (I - K[k] * H[k|k]) * P[k|k-1]
其中，P[k|k]表示在时间k对时间k的协方差更新，K[k]是卡尔曼增益矩阵。
5.卡尔曼增益计算：
K[k] = P[k|k-1] * H[k|k]' / (H[k|k] * P[k|k-1] * H[k|k]' + R)
其中，R是测量噪声协方差。
时序预测中的卡尔曼滤波技巧(Ⅱ)
时序预测中的卡尔曼滤波技巧时序预测是一种常见的数据分析和预测方法，它通过对历史数据进行分析，找出其中的规律和趋势，从而对未来的数据进行预测。
在时序预测中，卡尔曼滤波技巧是一种非常有效的工具，它可以帮助我们对复杂的时序数据进行分析和预测。
卡尔曼滤波技巧最初是由卡尔曼在20世纪60年代提出的，它是一种利用系统动力学模型和观测数据进行联合估计的方法。
在时序预测中，我们通常会有一个系统动力学模型，描述系统的状态和状态变化规律，以及一系列观测数据，描述系统的状态和状态变化的不确定性。
卡尔曼滤波技巧就是利用这些信息，通过不断地更新估计，来优化对系统状态的预测。
在卡尔曼滤波技巧中，最核心的部分就是状态估计和状态更新。
状态估计是指利用系统动力学模型和观测数据，对系统当前状态进行估计。
而状态更新则是指利用新的观测数据，对系统当前状态进行修正和更新。
这种动态的估计和更新过程，使得卡尔曼滤波技巧在时序预测中具有很高的精度和准确性。
卡尔曼滤波技巧在时序预测中的应用非常广泛，它可以用于各种各样的数据分析和预测任务。
例如，在金融领域，我们可以利用卡尔曼滤波技巧对股票价格和汇率等时序数据进行预测，从而帮助投资者做出更加准确的投资决策。
在气象领域，我们可以利用卡尔曼滤波技巧对气象数据进行预测，从而提高天气预报的准确性。
在工业生产领域，我们可以利用卡尔曼滤波技巧对生产过程中的各种参数进行预测，从而帮助企业提高生产效率和产品质量。
除了在时序预测中的应用，卡尔曼滤波技巧还可以用于各种其他的数据分析和预测任务。
例如，它可以用于目标跟踪和航迹预测，帮助飞行器和导弹等目标进行精准的跟踪和定位。
它也可以用于传感器数据融合，帮助系统对多个传感器的数据进行整合和分析，从而提高系统的感知和决策能力。
值得注意的是，虽然卡尔曼滤波技巧在时序预测中具有很高的精度和准确性，但是它也有一些局限性。
例如，它对系统动力学模型的描述和观测数据的噪声有一定的假设，如果这些假设不成立，就会导致估计的偏差和误差。
matlab中时间序列卡尔曼滤波
matlab中时间序列卡尔曼滤波时间序列卡尔曼滤波（Time Series Kalman Filtering）是一种常用的信号处理方法，它能够对时间序列数据进行滤波和预测，从而提取出信号的真实值，并对未来数值进行预测。
在Matlab中，我们可以使用内置函数进行时间序列卡尔曼滤波，实现对各种类型数据的处理和分析。
时间序列卡尔曼滤波的基本原理是通过对系统的状态进行估计，从而对观测到的数据进行修正和预测。
它的核心思想是通过对系统的状态进行递推和更新，利用系统模型和观测数据之间的关系，实现对信号的滤波和预测。
在使用Matlab进行时间序列卡尔曼滤波时，我们首先需要定义系统模型和观测模型。
系统模型描述了信号的动态演化过程，观测模型描述了观测数据与信号之间的关系。
这两个模型可以通过数学表达式或者差分方程来表示，在Matlab中可以使用函数或者矩阵来描述。
在定义好系统模型和观测模型之后，我们需要初始化滤波器的状态估计和协方差矩阵。
状态估计表示对信号当前状态的估计值，协方差矩阵表示对状态估计的不确定性。
这些初始值可以通过观测数据进行估计，也可以根据经验设置。
接下来，我们可以使用Matlab中的卡尔曼滤波函数进行滤波和预测。
常用的函数包括`kalman`和`kalmanfilter`等。
这些函数接受系统模型、观测模型、初始状态估计和观测数据作为输入，输出为滤波后的状态估计和协方差矩阵。
在进行时间序列卡尔曼滤波时，我们还可以根据需要进行参数调整和优化。
例如，可以通过调整观测噪声的方差来控制滤波器对观测数据的重要性，还可以通过调整状态转移矩阵和观测矩阵来改变系统模型和观测模型的特性。
除了滤波和预测，时间序列卡尔曼滤波还可以用于信号分析和系统辨识。
通过对滤波后的状态估计进行分析，可以提取信号的特征和统计信息，例如均值、方差和相关性等。
通过对系统模型和观测模型进行参数估计，可以分析系统的动态特性和性能。
总结来说，Matlab中的时间序列卡尔曼滤波是一种强大的信号处理工具，能够对时间序列数据进行滤波和预测，提取信号的真实值，并对未来数值进行预测。
卡尔曼(kalman)滤波算法特点及其应用
Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。
（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。
系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。
（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。
（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。
在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。
另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。
Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。
Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。
（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。
（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。
（3）天气预报、地震预报。
（4）地质勘探、矿物开采。
（5）故障诊断、检测。
（6）证券股票市场预测。
具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。
卡尔曼滤波 金融时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波金融时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在金融领域，时间序列分析是一种重要的方法，用于预测未来的价格走势、分析市场趋势以及评估风险。
然而，由于金融时间序列数据的特点，如噪声、非线性、非正态性等，传统的时间序列分析方法在处理金融数据时存在一定的局限性。
为了克服这些问题，卡尔曼滤波成为了一种常用的金融时间序列分析方法。
卡尔曼滤波是一种基于概率推断的方法，能够通过对先验知识和观测数据的不断更新，实现对金融时间序列进行准确估计和预测。
本文将介绍卡尔曼滤波的原理及其在金融时间序列中的应用。
首先，我们将讨论金融时间序列的特点，包括随机性、非线性和异方差性等。
接下来，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型和观测方程。
然后，我们将探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用，包括金融市场的预测和风险评估。
最后，我们将总结卡尔曼滤波的优势和局限性，并提出未来研究的方向。
通过本文的阅读，读者将能够了解卡尔曼滤波在金融时间序列分析中的重要性和应用价值，以及如何利用卡尔曼滤波来提高金融预测的准确性和风险评估的可靠性。
同时，读者也将对卡尔曼滤波的优势和局限性有一个清晰的认识，为进一步研究和应用提供指导。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的基本框架进行介绍，以帮助读者了解文章的主要内容和组织结构。
在本文中，文章结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是对文章的背景和目的进行概述，旨在引起读者的兴趣并明确文章的研究方向。
本文的引言部分将通过介绍金融时间序列的重要性和复杂性，引出使用卡尔曼滤波进行金融时间序列分析的需求，并说明本文将重点探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用。
正文部分将详细介绍金融时间序列的特点以及卡尔曼滤波的原理。
首先，我们将分析金融时间序列的特点，包括非线性、非平稳、噪声干扰等，说明这些特点对金融数据分析和预测的挑战。
然后，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型、观测方程和滤波算法等，以及卡尔曼滤波如何通过递推更新和利用观测数据对系统状态进行估计和预测。
时序预测中的卡尔曼滤波技巧(五)
时序预测中的卡尔曼滤波技巧时序预测是指根据历史数据预测未来趋势或者事件的发展趋势。
在实际生活和工作中，时序预测有着广泛的应用，比如股票价格预测、气象预测、交通流量预测等。
而卡尔曼滤波技巧是时序预测中一种非常重要的方法，它可以有效地处理噪声干扰和不确定性，提高预测的准确性和稳定性。
卡尔曼滤波是由美国工程师鲁道夫·艾米尔·卡尔曼提出的一种状态估计方法，最初应用于航空航天领域。
卡尔曼滤波通过观测值和动态系统模型，对系统当前的状态进行估计，并预测未来的状态。
在时序预测中，卡尔曼滤波可以用来对变量的未来值进行预测，尤其适用于具有连续观测和线性动态系统模型的情况。
首先，卡尔曼滤波利用观测值和动态系统模型对系统的当前状态进行估计。
观测值是指我们可以直接测量到的变量值，而动态系统模型则是描述变量随时间变化的规律。
通过将这两者结合起来，卡尔曼滤波可以对系统当前的状态进行估计，从而为未来的预测提供基础。
其次，卡尔曼滤波可以根据系统的动态模型预测未来的状态。
通过对系统的动态模型进行建模和参数估计，卡尔曼滤波可以对未来的状态进行预测。
这种预测不仅可以考虑观测值，还可以通过动态模型对系统的演化趋势进行分析，提高了预测的准确性。
除此之外，卡尔曼滤波还可以有效地处理噪声干扰和不确定性。
在实际的时序预测过程中，观测值往往会受到各种随机因素的影响，比如测量误差、环境变化等。
而卡尔曼滤波可以通过对观测值和动态模型的信息进行融合，对噪声进行滤波，从而提高了预测的稳定性。
另外，卡尔曼滤波还具有递归更新的特性，可以实现实时的预测和估计。
在时序预测的实际应用中，数据通常是连续不断地产生的，而卡尔曼滤波可以根据新的观测值和动态模型，递归地更新系统的状态估计，实现实时的预测和估计。
总的来说，卡尔曼滤波技巧在时序预测中具有重要的应用价值。
它不仅可以对系统当前的状态进行估计，还可以预测未来的状态，同时还能有效地处理噪声干扰和不确定性，具有递归更新的特性，适用范围广泛。
时间分片卡尔曼滤波
时间分片卡尔曼滤波
时间分片卡尔曼滤波（Time-Slotted Kalman Filtering）是一种 Kalman 滤波的变体，通常用于处理以时间分片方式收集的传感器数据。
Kalman 滤波是一种递归的状态估计算法，用于在有噪声的观测中估计系统的状态。
在时间分片卡尔曼滤波中，主要考虑的是系统的状态如何在离散的时间步长内演变。
以下是使用时间分片卡尔曼滤波的一般步骤：
1. 系统状态方程（State Transition Equation）：定义描述系统状态如何在一个时间步长内演变的方程。
这可以是线性或非线性的。
2. 观测方程（Observation Equation）：定义系统的观测方程，描述观测量与实际状态之间的关系。
这也可以是线性或非线性的。
3. 卡尔曼滤波初始化（Initialization）：在第一个时间步长，初始化卡尔曼滤波的状态估计和协方差矩阵。
4. 时间步长迭代：对于每个时间步长，进行以下步骤：
•预测步骤（Prediction）：使用系统状态方程预测下一个时间步长的状态估计。
•更新步骤（Update）：使用观测方程和实际观测值更新状态估计，同时更新协方差矩阵。
5. 输出结果：根据卡尔曼滤波的结果，获得对系统状态的估计值。
时间分片卡尔曼滤波通常用于处理以固定时间间隔生成的传感器数据，如GPS数据。
在实际应用中，需要根据具体的系统和传感器特性调整滤波器的参数。
MATLAB等数学工具通常提供了方便的工具箱，用于实现卡尔曼滤波和其变体。
时序预测中的卡尔曼滤波技巧
时序预测中的卡尔曼滤波技巧在时序预测中，卡尔曼滤波是一种常用的技巧，它能够利用历史数据和观测值来进行预测，尤其在金融、天气预测、机器人导航等领域有着广泛的应用。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理以及如何在时序预测中应用这一技巧。
卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波是由Rudolf Kalman在1960年提出的一种用于状态估计的算法。
它的基本原理是结合系统动力学方程和观测方程，通过递归地更新估计值来实现对系统状态的预测和校正。
具体来说，卡尔曼滤波有两个主要步骤：预测和校正。
在预测步骤中，利用系统动力学方程对当前状态进行预测，得到预测状态和预测误差协方差矩阵。
在校正步骤中，利用观测值对预测状态进行校正，得到估计状态和估计误差协方差矩阵。
通过不断地预测和校正，卡尔曼滤波能够逐步提高对系统状态的估计精度。
在时序预测中应用卡尔曼滤波在时序预测中，我们通常会有一系列历史观测值，希望利用这些观测值来预测未来的状态或观测值。
卡尔曼滤波可以很好地适用于这种情况，因为它能够利用历史观测值和系统动力学方程来动态地更新状态估计值。
首先，我们需要建立系统动力学方程和观测方程。
系统动力学方程描述了系统状态之间的演化规律，可以是线性或非线性的。
观测方程描述了观测值与系统状态之间的关系，通常是线性的。
然后，我们利用卡尔曼滤波算法对系统状态进行预测和校正。
值得注意的是，卡尔曼滤波对系统动力学方程和观测方程有一定的要求，例如线性系统和高斯噪声假设。
如果系统动力学方程和观测方程不满足这些要求，可能需要对卡尔曼滤波进行适当的修改或选择其他滤波算法。
在实际应用中，我们还需要考虑一些问题，例如观测值的采样频率、观测误差的大小、系统动力学方程和观测方程的精度等。
这些因素都会影响卡尔曼滤波的性能，需要根据具体情况进行合理的选择和调整。
结语卡尔曼滤波是一种强大的时序预测技巧，它能够利用历史观测值和系统动力学方程来动态地更新状态估计值，适用于许多领域的时序预测问题。
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第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。
卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。
卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。
除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。
§13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。
13.1.1 继续使用的假设假设t y 表示时刻t 观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述t y 动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量t ξ表示，因此表示t y 动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出：11+++=t t t v ξF ξ 状态方程(state model) (13.1)t t t w ξH x A y t +'+'= 量测方程(observation model) (13.2)这里F ，A '和H '分别是阶数为r r ⨯，k n ⨯和r n ⨯的参数矩阵，t x 是1⨯k 的外生或者前定变量。
方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，1⨯r 维向量t v 和1⨯n 维向量t w 都是向量白噪声，满足：⎩⎨⎧≠=='τττt t E t ,,)(0Q v v(13.3)⎩⎨⎧≠=='τττt t E t ,,)(0R w w(13.4)这里Q 和R 是r r ⨯和n n ⨯阶矩阵。
假设扰动项t v 和t w 对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t 和τ，有：0w v =')(τt E (13.5)t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y Λ--t t 内的信息以外，t x 没有为s t +ξ和s t +w (Λ,2,1,0=s )提供任何新的信息。
例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与τξ和τw (任意τ)不相关的变量。
方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y Λ，这时需要状态向量初始值1ξ。
假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不0ξv =')(1t E ，对任意T t ,,2,1Λ= (13.6)0ξw =')(1t E ，对任意T t ,,2,1Λ= (13.7)状态方程(13.1)表明，t ξ可以表示成为},,,,{321t v v v ξΛ的线性函数： 1122221ξF v F v F v F v ξ----+++++=t t t t t t Λ，T t ,,3,2Λ= (13.8)因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着t v 与所有ξ的滞后值都是不相关的：0ξv =')(τt E ，1,,2,1Λ--=t t τ (13.9)类似地，可以得到：0ξw =')(τt E ，T ,,2,1Λ=τ (13.10)w ξH x A w y w t ='+'+'='])([)(t t t t E E τ，1,,2,1Λ--=t t τ(13.11)0y v =')(τt E ，1,,2,1Λ--=t t τ (13.12)上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到t v 与t w 相关的系统中，而且系数矩阵),,,,(R H A Q F 也可以是时间的函数。
如果我们仅仅关注到上述系统的基本形式，则下面的论述将是十分清晰的。
13.1.2 状态空间表示的例子 考虑一元)(p AR 过程：这个)(p AR 过程可以表示成为下面的状态空间模型形式： 状态方程(p r =)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++---+-+00010010000111112121M M ΛM M ΛM M ΛΛΛM t p t t t p p p t t t y y y y y y εμμμφφφφμμμ(13.13)量测方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+=+--μμμμ11]001[p t t t t y y y y M Λ对应地，我们指定：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+--μμμ11p t t t t y y y M ξ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0100100001121ΛM M ΛM M ΛΛΛp p φφφφF ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00M t t εv ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000002ΛM ΛM M ΛΛσQ 这里变量和参数矩阵对应为：t t y =y ，μ='A ，1=t x ，[]001Λ='H ，0=t w ，0=R注意到这里的状态方程只是一个一阶向量自回归方程，量测方程只是一个简单的等式。
因此，我们已经看到，状态空间表示只是总结)(p AR 过程的另外一种方式。
将)(p AR 过程表示成为这种方式的原因在于，这样可以获得归纳)(p AR 过程动态性的合适方式，这是我们对任何系统状态空间表示感兴趣的基本原因。
另外一个例子是，我们考虑一元)1(MA 过程： 对应地，它可以表示成为状态空间模型形式为： 状态方程(2=r )： 量测方程(1=n )： 这里：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1t t t εεξ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100F ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01t t εv ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0002σQ t t y =y ，μ='A ，1=t x ，[]θ1='H ，0=t w ，0=R将给定系统表示成为状态方程的方式有多种。
例如，可以将)1(MA 过程表示成为下面类型的状态空间模型： 状态方程(2=r )： 量测方程(1=n )：显然上面的)1(MA 过程、两种状态空间模型表示都是具有相同特征的过程表示，这三种表示都具有相同的预测和相同的似然函数值，也就无须讨论哪一种方式更为合适。
更一般地，一元),(q p ARMA 模型可以通过定义}1,max {+≡q p r 进行状态空间模型表示：1122112211)()()(+-------+++++-++-+-=-r t r t t t r t r t t t y y y y εθεθεθεμφμφμφμΛΛ(13.15)这里的参数约束是：当p j >时，0=j φ；当q j >时，0=j θ。
考虑下列状态空间模型表示为： 状态方程(}1,max {+≡q p r )：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-+00010010000111211M ΛM M ΛM M ΛΛΛt t r r t εφφφφξξ(13.16)量测方程(1=n )：[]tr t y ξ1211-+=θθθμΛ(13.15)为了验证方程(13.16)和方程(13.17)表示了系统与方程(13.15)一致，假设t j ξ表示向量t ξ的第j 个元素，因此状态方程的第2行表示： 第3行表明：更一般地，第j 行表示：因此状态方程的第1行意味着： 或者：11,1221)1(++=----t t r r L L L εξφφφΛ (13.18) 量测方程表明：t r r t L L L y ,111221)1(ξ--+++++=θθθμΛ (13.19)在方程(13.19)两端乘以算子多项式)1(221r r L L L φφφ----Λ，并利用方程(13.18)，可以得到：这就是原来的),(q p ARMA 模型，即方程(13.15)。
状态空间形式是描述随机过程的和，或者测量误差结果的模型的非常合适的方式。
例如，Fama 和Gibbons (1982)开始着手研究事前实际利率(ex ante real interest rate )行为 (事前实际利率是名义利率t i 减去预期通货膨胀率e t π)。
由于经济计量学家通过证券市场推断的预期通货膨胀率的数据，因此这个变量不是可以观测的。
因此在这种应用中状态变量是一个标量，即：μπξ--=e t t t i ，这里μ表示平均事前实际利率。
Fama 和Gibbons (1982)假设事前实际利率服从)1(AR 过程：11+++=t t t v ξφξ (13.20)经济计量学家可以观测到事后实际利率(名义利率t i 减去真实通货膨胀率t π)，这可以表示为：t t t t e t e t t t t w i i ++=-+-=-ξμππππ)()( (13.21)这里)(t e t t w ππ-≡是人们预测通货膨胀率时的误差。
如果人们以最优的方式形成通货膨胀率预测，则t w 与自身的滞后值和事前实际利率是无关的。
因此方程(13.20)和方程(13.21)是状态空间模型，这里1==n r ，φ=F ，t t t i y π-=，μ='t x A ，1=H ，t e t t ππ-=w 。
状态空间模型框架的另外一个有趣例子是Stock 和Waston (1991)的研究，他们假设存在表示经济周期状态的不可观测变量t C 。
假设),,,(21nt t t y y y Λ是n 个可以观测的宏观经济变量，每个都受到经济周期的影响，并且具有与i j y jt ≠,中移动不相关的奇异成分(表示为t i χ)。
如果经济周期和每个奇异成分可以利用一元)1(AR 过程描述，则]1)1[(⨯+n 维状态向量是：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t n t t t t C χχχM 21ξ(13.22)该状态变量具有的状态方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++112111,21112111000000000000t n t t t C t n t t t C C C C t n t t t v v v v C C M M ΛM ΛM M M ΛΛΛM χχχφφφφχχχ(13.23)量测方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t n t t t nn t n t t t C y y y y χχχγγγγμμμμM ΛM ΛM M M ΛΛΛM M 21321321321100000010001(13.24)因此，参数i γ描述第i 个序列对经济周期反应的敏感性。