高一数学必修一重难点讲解
高一数学必修一重点知识点解读
高一数学必修一重点知识点解读
1. 直线与坐标
- 直线的斜率表示了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
- 两条平行直线的斜率相等。
- 两条垂直直线的斜率乘积为-1。
2. 二次函数与一次函数
- 二次函数的标准形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、
$b$、$c$为常数，$a \neq 0$。
- 二次函数的图像为抛物线，开口方向由$a$的正负决定。
- 二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。
- 一次函数的标准形式为：$f(x) = kx + b$，其中$k$、$b$为常数，$k$为斜率，$b$为截距。
3. 平方根与实数
- 平方根的定义为：对于非负实数$a$，平方根为$b$，即$b^2 = a$。
- 平方根的性质：非负实数的平方根为非负实数，平方根可以相互加减乘除。
4. 三角函数与三角恒等式
- 三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们与角度的关系可以用单位圆来表示。
- 三角恒等式是指对于所有满足等式两边存在的角度，等式始终成立。
5. 绝对值与不等式
- 绝对值的定义为：对于实数$x$，若$x \geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
- 绝对值的性质：非负实数的绝对值为其本身，负实数的绝对值为其相反数。
- 不等式的解集表示了使不等式成立的实数范围。
以上是高一数学必修一的重点知识点解读，希望对您有所帮助。
高一数学必修一知识点重点归纳
高一数学必修一知识点重点归纳
高一数学必修一的重点知识点主要包括以下内容：
1. 点、线、面的基本概念和性质：包括点的坐标、直线的斜率和方程、平面的一般方
程等内容。
2. 函数及其图像：求函数的定义域、值域，讨论函数的奇偶性、单调性；掌握一次函数、二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的性质和图像特点。
3. 二次函数的图像与性质：求二次函数的顶点、对称轴、零点、最值等；掌握二次函
数的图像变形、两二次函数的求交点、一次函数与二次函数的关系等。
4. 线性方程组：求解二元一次方程组和三元一次方程组；讨论线性方程组解的情况，
包括有唯一解、无解和无穷多解。
5. 不等式及其应用：解一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等；应用不
等式解决实际问题，如求证不等式，求最值等。
6. 平面向量：掌握向量的定义、向量的加减、数量积和向量的夹角等基本运算，以及
平面向量的共线、共面的判定。
7. 三角函数和其应用：掌握正弦、余弦、正切函数的定义、性质和图像特点；解三角
方程，包括利用三角函数解决实际问题。
8. 数列与数列的相关概念：数列的定义、公式、通项公式及其求和；掌握等差数列和
等比数列的性质及其应用。
以上内容是高一数学必修一的重点知识点的一个概括，具体还可以根据教材的章节内容进行系统的学习。
高一数学必修一重点难点分析
一、知识结构本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子．二、重点难点分析这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础．2．关于集合的概念分析点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．3．关于自然数集的分析教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同,应该注意．新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面,0还是十进位数{0，1，2，…,9}中最小的数，有了0，减法运算仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点：（1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；（2）自然数集内排除0的集，表示成或,其他数集｛如整数集Z、有理数集Q、实数集R｝内排除0的集，也可类似表示，，;(3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如，，…不再适用．4．关于集合中的元素的三个特性分析集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
2024年高一数学教案高一数学教案必修一
2024年高一数学教案必修一第一章集合与函数概念第一课时集合的含义与表示方法一、教学目标1.理解集合的含义，掌握集合的表示方法。
2.能够运用集合的语言描述生活中的现象。
3.培养学生的抽象思维能力和语言表达能力。
二、教学重难点1.重点：集合的含义与表示方法。
2.难点：集合语言的应用。
三、教学过程（一）导入新课同学们，你们听说过集合吗？其实，在我们的生活中，集合无处不在。
今天我们就来学习一下集合的含义与表示方法。
（二）新课讲解1.集合的含义（1）集合的定义：集合是一些明确且不同的对象的全体。
（2）集合的元素：构成集合的对象叫做集合的元素。
（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性。
2.集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号表示。
（2）描述法：用文字或符号描述集合中元素的特征。
（3）图示法：用Venn图或树状图表示集合。
（三）案例分析1.例题1：下列各式中，哪些是集合？A.{1,2,3,4,5}B.{x|x是小于10的正整数}C.{a,b,c,a}D.{x|x是方程x²3x+2=0的解}解析：A、B是集合，C不是集合（元素不互异），D不是集合（方程解不明确）。
2.例题2：用列举法表示下列集合。
A.所有小于5的正整数B.所有大于0且小于10的偶数解析：A.{1,2,3,4}B.{2,4,6,8}（四）课堂练习1.判断下列各式是否为集合，并说明理由。
A.{1,2,3,4,5}B.{x|x是大于5的正整数}C.{a,b,c,a}D.{x|x是方程x²4x+3=0的解}2.用列举法表示下列集合。
A.所有大于3且小于10的奇数B.所有小于0的整数1.本节课我们学习了集合的含义与表示方法，掌握了集合的性质。
2.能够运用集合语言描述生活中的现象，提高抽象思维能力和语言表达能力。
四、作业布置1.抄写并背诵集合的定义、性质及表示方法。
2.完成课后练习题。
第二章函数及其性质第一课时函数的概念一、教学目标1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
高一必修一数学各章知识点
高一必修一数学各章知识点高一的数学课程可谓是一个基础扎实的阶段，包括了几个重要的章节，如函数、导数和几何等。
在这篇文章中，我将为大家总结一下高一必修一数学各章的知识点。
1. 数与代数数与代数是数学的基础，也是高中数学的入门篇章。
在这一章节中，我们主要学习了有理数、整式和方程等内容。
（1）有理数：有理数包括整数、分数和小数等形式。
我们可以进行有理数的四则运算，如加减乘除，并学会求有理数的相反数和绝对值。
（2）整式：整式是由常数和变量以及它们的运算符号组成的表达式。
我们需要掌握多项式和分式的加减乘除运算法则，并学会因式分解和提取公因式。
（3）方程：方程是表示等式关系的代数式，包括一元一次方程、一元二次方程等。
我们学习了方程的解法，如逆运算法、配方法和求根公式等。
2. 函数函数是高中数学中的重点和难点之一。
函数是一种特殊的关系，它把一个数集的每个元素都映射到另一个数集的元素上。
在这一章节中，我们主要学习了函数的定义、性质和图像等。
（1）函数的定义：函数是两个数集之间的一种关系，它满足每一个自变量对应一个唯一的因变量。
我们需要掌握函数的自变量、因变量和函数值的概念，并学会用函数的定义判断函数关系是否成立。
（2）函数的性质：函数有很多重要的性质，如函数的奇偶性、周期性和单调性等。
我们需要掌握这些性质的定义和判断方法，以及它们在图像上的表现。
（3）函数的图像：函数的图像是函数的可视化表示，它能通过一条曲线或折线的形式展示函数的变化规律。
我们需要学会用函数的定义域、值域和单调性等性质来分析函数的图像。
3. 导数导数是高中数学的一大亮点，它是微积分学的基础概念。
在这一章节中，我们主要学习了函数的导数及其应用。
（1）函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点的变化速率，它是函数在该点的切线斜率。
我们需要掌握导数的定义和求法，如极限定义、导数公式和求导法则等。
（2）函数的导数应用：导数在实际问题中有广泛的应用，如求函数的极值、曲线的凹凸性、曲率和曲线的切线问题等。
高一必修一数学比较难的知识点
高一必修一数学比较难的知识点在高中数学中，必修一的内容往往是学生们接触的第一个高难度数学知识点。
本文将介绍一些高一必修一数学中相对较难的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、平面函数与坐标系平面函数与坐标系是高中数学中的基础，但对于初学者来说，很容易产生混淆或困惑。
在平面函数的理解上，学生们常常会将函数图象和函数本身的关系弄混。
此外，坐标系的建立与运用也是一大难点。
为了更好地理解这部分知识，同学们可以通过绘制函数的图象来加深对平面函数的理解，并多做练习来熟练掌握坐标系的运用。
二、三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是相对较难的知识点之一。
对于初学者来说，熟练掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质和图像是首要任务。
在学习三角函数的过程中，同学们要注重理论与实践的结合，通过解决实际问题来加深对三角函数的理解和应用。
三、立体几何在高一必修一中，立体几何是一门较为复杂和抽象的数学学科。
学生们常常会遇到计算立体体积、表面积以及相关问题的困难。
为了更好地理解和掌握立体几何，同学们需要注重观察和思考，运用几何图形的性质和计算公式进行推理和解题。
四、数列与数学归纳法对于高一学生来说，数列与数学归纳法是一个相对陌生的概念和方法。
学生们往往会对数列的概念和性质产生困惑，并且对数学归纳法的运用不够熟练。
在学习数列和数学归纳法时，同学们可以通过大量的练习来加深对数列的理解，并结合具体的例子来熟悉数学归纳法的使用。
五、函数的概念和性质函数是高中数学中的核心内容之一，也是较难理解的知识点之一。
学生们常常会对函数的定义、性质和图像等方面产生混淆或困惑。
为了更好地理解和掌握函数的概念和性质，同学们可以通过绘制函数的图像、探究函数之间的关系以及解决实际问题来提高对函数的理解和应用能力。
六、解析几何解析几何是高中数学中的一门重要课程，也是相对困难的知识点之一。
学生们往往会对直线、圆和曲线等的方程理解不透彻，并且在解析几何的问题中容易迷失方向。
高一数学必修一教案(10篇)
高一数学必修一教案（10篇）高一数学必修一教案1重点难点教学：1.正确理解映射的概念;2.函数相等的两个条件;3.求函数的定义域和值域。
教学过程：1. 使学生娴熟把握函数的概念和映射的定义;2. 使学生能够依据已知条件求出函数的定义域和值域;3. 使学生把握函数的三种表示方法。
教学内容：1.函数的定义设A、B是两个非空的数集，假如根据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么称:fAB81为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：yfxxA其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{|}fxxA83叫值域(range)。
明显，值域是集合B的子集。
留意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域。
3、映射的定义设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法：设a、b是两个实数，且a(1) 满意不等式axb8080的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];(2) 满意不等式axb8787的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);5.函数的三种表示方法①解析法②列表法③图像法高一数学必修一教案2教学目标1.使学生把握的概念,图象和性质.(1)能依据定义推断形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.(2)能在根本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面熟悉的性质.(3)能利用的性质比拟某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习,培育学生观看,分析归纳的力量,进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的讨论,让学生熟悉到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生擅长从现实生活中数学的发觉问题,解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念,根本把握了函数的性质的根底上进展讨论的,它是重要的根本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的根底,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点讨论.(2)本节的教学重点是在理解定义的根底上把握的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化状况的区分.(3)是学生完全生疏的一类函数,对于这样的函数应怎样进展较为系统的理论讨论是学生面临的重要问题,所以从的讨论过程中得到相应的结论当然重要,但更为重要的是要了解系统讨论一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会讨论的方法,以便能将其迁移到其他函数的讨论.教法建议(1)关于的定义根据课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必需是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与熟悉也是熟悉的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去讨论对底数,指数都有什么限制要求,教师再赐予补充或用详细例子加以说明,由于对这个条件的熟悉不仅关系到对的熟悉及性质的分类争论,还关系到后面学习对数函数中底数的熟悉,所以肯定要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应避开描点前的盲目列表计算,也应避开盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的争论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的也许熟悉后,以此为指导再列表计算,描点得图象.高一数学必修一教案3教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简洁集合的并集与交集；（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
高一数学必修的必会知识难点归纳
高一数学必修的必会知识难点归纳数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。
以下是小编给大家整理的高一数学必修的必会知识难点，希望大家能够喜欢!高一数学必修的必会知识难点归纳1直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
高一数学必修的必会知识难点归纳2复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究.1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.高一数学必修的必会知识难点归纳3集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
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高中必修一一些重点函数值域求法十一种2复合函数9一、复合函数的概念9二、求复合函数的定义域：9复合函数单调性相关定理10函数奇偶性的判定方法10指数函数：12幂函数的图像与性质15函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]2,0[22222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54x 3++值域。
解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
解：由原函数式可得：1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域。
解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为： y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log 2y 33min =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222=显然0y >，故原函数的值域为]2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x x y -+=的值域。
解：令t 1x =-，)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min =当0t →时，+∞→y故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。
解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= 1)4sin(2+π+β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0 211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域。
解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y 当82k π-π=β时，41y max = 当82k π+π=β时，41y min -= 而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域。
解：)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2-=22)1t (211t )1t (21y +=++-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时，223y max +=，当22t =时，2243y += 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。
例15. 求函数2x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ= 4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时，104y max +=当π=β时，54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。
解：原函数可变形为： 2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。
解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。
9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域。
解：原函数变形为： 52x cot x tan 3xcot x tan 3xsec x ces 1x cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈，等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。
解：x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8xcos x sin 16y 322222224=-++≤-== 当且仅当x sin 22x sin 22-=，即当32x sin 2=时，等号成立。