2010高等数学校内竞赛试题答案

中国民航大学 高等数学竞赛试卷答案 （2010年）一. 填空题 (每题3分,共30分)1.已知函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ,则函数=)]([x f f .解：1)]([=x f f .2.函数222111)(xx x x x f +--=的间断点是 ，它们的类型分别为 .解：0=x 和1±=x .0=x 是跳跃间断点，1-=x 是无穷间断点，1=x 是可去间断点.由于111)1(lim )(lim 2200-=-+--=--→→x x x x f x x ，111)1(lim )(lim 2200=-+-=++→→x x x x f x x ； +∞=--→)(lim 1x f x ，-∞=+-→)(lim 1x f x ；22111lim )(lim 211=++=--→→x x x x f x x ，22111lim )(lim 211=++=++→→xx x x f x x .因此0=x 是跳跃间断点，1-=x 是无穷间断点，1=x 是可去间断点.3.设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=02sin 10)1ln()(2x x e x ax x f x b 在0=x 可导，则=a ，=b .解：212lim 2sin 1lim )0()(lim )0(220002==-=-='---→→→-x x x x e x f x f f x x x x ； a xax x ax x f x f f bx b x x ==+=-='+++→→→+000lim )1ln(lim )0()(lim )0(（仅当1=b ）.)0(-'f =)0(+'f ，故21=a ，1=b .4．函数)0(1)(2>='x xx f ，则=)(x f .解：1)(2='x f x C x dx x f x x f 21)()(2122+='=⇒⎰C x x f +=⇒2)(.5．设)(x f 在1=x 处连续，且2)1(5)(lim1=-→x x f x ，则)1(f '= .解：由条件可知0)(lim )1(1==→x f f x ，2)1(51)1(5)1()(lim )1(5)(lim11='=--=-→→f x f x f x x f x x ，因此)1(f '=10 .6．设y 是由方程⎰=+xyx t ye dt e 022所确定的隐函数，则0|=x dxdy= . 解：在方程⎰=+xyx t ye dt e 022中取0=x ，得2)0(=y .方程两边对x 求导，得：0)()(22='++'+y y e e y x y x y x ，代入0=x ，2)0(=y ，得4|0-==x dxdy.7．设⎰+++=1022)()1(11)(dx x f x xx f ，则⎰10)(dx x f = . 解：令⎰=10)(dx x f A ，则A x xx f )1(11)(22+++=两边从0到1积分，得： A x x A x dx x f A 344|)31(|arctan )(1031010+=++==⎰π， π43)(10-==⇒⎰dx x f A .8．定积分⎰-20244dx x x = .解：令t x sin 2=，则dt t t tdt t t dx x x)sin 1(sin 2cos 2cos 2)sin 2(42246204224-=⋅⋅=-⎰⎰⎰ππππ22]2461352413[26=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= . 9．对数螺线θe r =在点)2,(2ππe 处的切线方程是 .解：⎪⎩⎪⎨⎧==θθθθsin cos e y e x ，1|sin cos cos sin |22-=-+===πθπθθθθx dx dy ，因此切线方程为： )0(2--=-x e y π，即2πe y x =+ .10．设1||=a ，1||=b ，a 与b 的夹角30),(=∧b a ，则以b a 2+和b a +3 为邻边的平行四边形面积S = .解：由向量外积的几何意义可得：2521115||5|)3()2(|=⨯⨯⨯=⨯=+⨯+=b a b a b a S.二. 计算下列各题（每题5分，共30分）解：解：原式=])()2()1[(1lim 313131n n n n n n +++∞→ =n nk nk n 1)(lim 131⋅∑=∞→=⎰1031dx x =.433.设x x y ln =，求)1()(n f解：使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+=n n n n n n n xn n x n x x n x x x f =121121)!2()1(])1([)!2()1(-------=+----n n n n n xn x n x n n所以)!2()1()1(2)(--=-n f n n .4． 解：.)sin 1tan 1(lim .1310x x x x ++→310)]1sin 1tan 1(1[lim x x x x -+++=→原式310]sin 1sin tan 1[lim x x x x x +-+=→301sin 1sin tan limx x x x x ⋅+-→ 301cos )sin 1()cos 1(sin lim x x x x x x ⋅+-=→x x x x x x x cos )sin 1(1cos 1sin lim 20+⋅-⋅=→⋅=21.321lim .2353330n n n ++++→ .)1ln(arctan 2⎰+dx x x x 求dx x x )1ln(2⎰+ )1()1ln(2122x d x ++=⎰.21)1ln()1(21222C x x x +-++=]21)1ln()1(`21[arctan 222x x x xd -++=⎰原式x x x x arctan ])1ln()1[(`21222-++=dx x x x ]1)1[ln(21222+-+-⎰5． 解：6．⎰+∞++0)1)(1(1dx x x x 求解法一：令u x =，则⎰⎰+∞+∞++=++020)1)(1(12)1)(1(1du u u dx x x x⎰⎰⎰+∞+∞+∞+-++=++=02002)1(1)1(1)1)(1(1du u u du u du u u 22|11ln |]arctan )1ln(21)1[ln(0202ππ=+++=++-+=∞+∞+uu u u u .].3)1ln()1[(`arctan 21222--++=x x x x .2)1ln(22C x x x +++-.},1max{⎰dx x 求},,1max{)(x x f =设,1,11,11,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=x x x x x x f 则,),()(上连续在+∞-∞x f ).(x F 则必存在原函数.1,2111,1,21)(32212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<+-=x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )21(lim )(lim 12121C x C x x x +-=+-+-→-→,21112C C +-=+-即)(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→,12123C C +=+即,1C C =联立并令.1,2132C C C C +==＋可得.1,12111,211,21},1max{22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++≤≤-++-<+-=⎰x C x x C x x C x dx x 故解法二：令t x tan =，则⎰⎰⎰+=+⋅=++∞+2020220cos sin sin 2sec )tan 1(tan sec tan 2)1)(1(1ππdtt t t dt t t t t t dx x x x ⎰+=20cos sin sin πdt t t t 2cos sin cos 2020πππ==++⎰⎰dt dt t t t .（注：解法二利用了以下公式：⎰20)(sin πdt x f ⎰=20)(cos πdt t f ）三. 求满足方程)()()(2121x f x f x x f =+的)(x f 表达式，其中1x 、2x 为任意实数，且已知2)0(='f . （本题7分） 解：由)()()(2121x f x f x x f =+，令021==x x ，则有0]1)0()[0(=-f f .于是有0)0(=f 或1)0(=f .如果0)0(=f ，则由导数定义有0)0()()0(lim )0()(lim )0(00=-=-='→→xf x f f x f x f f x x显然，这与已知2)0(='f 相矛盾，故舍去0)0(=f . 当1)0(=f 时，由导数定义有xx f f x f x f x x f x x f x f x x ∆-∆=∆-∆+='→∆→∆)()0()()(lim)()(lim )(00 x x f x f x ∆-∆=→∆1)()(lim 0x f x f x f x ∆-∆+=→∆)0()0()(lim 0)(2)0()(x f f x f ='= 由2)()(='x f x f 得2))((ln ='x f ，所以C x x f ln 2)(ln +=，故x ce x f 2)(=， 因为1)0(=f ，所以1=c ，故x e x f 2)(=.四. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧<<∞-<≤+∞<≤=-0101)(321x x x x x e x f x 的导数. （本题5分）解：在各开区间内分别对)(x f 求导有⎪⎩⎪⎨⎧<<∞-<<+∞<<=-031021)(21x x x x x e x f x下面考察分界点0=x 与1=x 处的可导性. 当0=x 时，03lim )(lim )0(20=='='--→→-x x f f x x02lim )(lim )0(0=='='++→→+x x f f x x所以0)0(='f ，即)(x f 在0=x 处可导.当1=x 时，22lim )(lim )1(11=='='--→→-x x f f x x1lim )(lim )1(111=='='-→→+++x x x e x f f得≠'-)1(f )1(+'f ，故)(x f 在1=x 处不可导.因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<∞-<≤=+∞<<='-031021 1)(21x x x x x x e x f x 不存在 五. 求曲线与x 轴围成的封闭图形绕直线3=y 旋转所得的旋转体体积. （本题7分） 解：利用对称性,在第一象限故旋转体体积为：六. 对t 的不同取值，讨论函数2221)(xxx f ++=在区间),[∞+t 上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出其结果. （本题7分）解：显然)(x f 的定义域为：),(∞+-∞，22222)2()1)(2(2)2()21(2)2(2)(x x x x x x x x f +-+=++-+='，得驻点：1,221=-=x x . 于是有：x )2,(--∞ 2- ⎪⎭⎫ ⎝⎛--212 21- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 1 ),1(∞+ y ' － 0 + + + 0 － y ↘ 极小值21- ↗ 0 ↗ 极大值1 ↘132--=x y ⎩⎨⎧=y ,22+x ,42x -10≤≤x 21≤<x =V 432⋅⋅πx x d )]2(3[21022⎰+--πxx d )]4(3[22122⎰---πy o 312x x d )1(2361022⎰--=πππ15448=又：0)(lim ,0)(lim ==-∞→+∞→x f x f x x .记)(t M 与)(t m 分别表示)(x f 在区间),[∞+t 上的最大值与最小值. 从上表不难看出：① 2-≤t 时，1)1()(,21)2()(==-=-=f t M f t m ；② 212-≤<-t 时，1)1()(,221)()(2==++==f t M ttt f t m ； ③ 121≤<-t 时，无1)1()(,)(==f t M t m ；④ t <1时，无2221)()(,)(ttt f t M t m ++==. 七. 平面通过两直线152211:1-=+=-z y x L 和21331:2+=+=z y x L 的公垂线L ，且平行于向量}1,0,1{-=c，试求此平面方程. （本题7分）解：显然，所求平面的法向量n 同时垂直于c和公垂线L 的方向向量，取}1,1,1{}2,3,1{}1,2,1{21-=⨯=⨯=s s s，则： }1,2,1{}1,0,1{}1,1,1{}{21=-⨯-=⨯⨯=c s s n为了求出平面上的某一点，只要确定公垂线上的一点.按照1L ，2L 的参数方程，可设公垂线L 与直线1L ，2L 分别交于点)5,22,1(+-+t t t A ，)12,33,(--λλλB ，则}62,123,1{------=t t t AB λλλ.因为AB 平行于s，所以162112311--=---=--t t t λλλ 解之得5,6==λt ，从而)11,10,7(A ，故所求平面方程为：0)11()10(2)7(=-+-+-z y x ，即0382=-++z y x .八. 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，且)(x f 在]1,0[ 上的最小值为1-，证明：至少存在)1,0(∈ξ，使8)(≥''ξf .证明：由已知，存在)1,0(∈c ，使得1)(-=c f 是)(x f 在]1,0[上的最小值，即为极小值，所以0)(='c f 。