高等数学电子教案同济版第二章2-7

六、微分形式的不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x ),
(1) 若x是自变量时 , dy = f ′( x )dx;
( 2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可 微函数 x = ϕ ( t ), 则 dy = f ′( x )ϕ′( t )dt (t
∵ ϕ ′( t )dt = dx , ∴ dy = f ′( x )dx .
(1)
(2)
当 ∆x 很小时 , (2)是∆x的高阶无穷小o(∆x),
2 ∴∆y ≈ 3x0 ⋅ ∆x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数 改变量的主要部分 改变量的主要部分)是否 问题:这个线性函数(改变量的主要部分 是否 所有函数的改变量都有?它是什么 如何求? 它是什么?如何求 所有函数的改变量都有 它是什么 如何求
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x µ ) = µx µ − 1 dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
结论： 结论：无论x是自变量还是中间变量, 函数
y = f ( x)的微分形式总是 dy = f ′( x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y = sin( 2 x + 1), 求dy . 解 ∵ y = sin u, u = 2 x + 1.
∴ dy = cos udu = cos( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = cos( 2 x + 1) ⋅ 2dx = 2 cos( 2 x + 1)dx .
例4 设 y = e − ax sin bx , 求dy . 解 dy = e − ax ⋅ d (sin bx ) + sin bx ⋅ d e − ax
( )
= e − ax ⋅ cos bxd (bx) + sin bx ⋅ e − ax d (−ax)
= e − ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e − ax (b cos bx − a sin bx )dx .
(2) 充分性 ∵函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y ∴ lim = f ′( x 0 ), ∆x → 0 ∆ x
∆y 即 = f ′( x 0 ) + α , ∆x
从而 ∆y = f ′( x 0 源自 ⋅ ∆x + α ⋅ ( ∆x ),
= f ′( x 0 ) ⋅ ∆x + o( ∆x ),
0 0
2. 从几何意义上来看 , f ′( x0 ) 是曲线 y = f ( x ) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 , 而微分 dy = f ′( x0 ) ( x − x0 )是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量 .
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x 0 变到x 0 + ∆x ,
x0
∆x
(∆x)2
∆x
∵ 正方形面积 A = x0 ,
2
2 ∴ ∆A = ( x 0 + ∆x ) 2 − x 0
x0∆x
A= x0 = 2
= 2 x 0 ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 .
∵ α → 0 ( ∆x → 0),
∴函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ′( x0 ) = A.
. ∴可导⇔可微 A = f ′( x0 ).
由此可得
dy |x=x0 = f ′(x0 )∆x.
函数y = f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作dy或df ( x), 即dy = f ′( x)∆x.
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d (arc cot x ) = − dx 2 1+ x
(1) (2)
x0∆x
x0
(1) : ∆x的线性函数且为 A的主要部分 , ; ∆ (2) : ∆x的高阶无穷小当∆x 很小时可忽略 , .
再例如, 再例如 设函数 y = x 3在点 x0处的改变量
为∆x时, 求函数的改变量 ∆y .
3 ∆y = ( x 0 + ∆x ) 3 − x 0
2 = 3 x 0 ⋅ ∆x + 3 x 0 ⋅ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 .
2. 函数和、差、积、商的微分法则 函数和、
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv
d (Cu ) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
例2 设 y = ln( x + e ), 求dy .
x2
解 例3
∵ y′ =
1 + 2 xe x + ex
★ 微分学所要解决的两类问题 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 导数的概念 微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法. 求导数与微分的方法 叫做微分法 叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 研究微分法与导数理论及其应用的科学 叫 微分学. 做微分学 ★ 导数与微分的联系 可导⇔可微. 导数与微分的联系: 可导⇔
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数 使 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立. 等式成立
(1) d ( ) = cos ωtdt ;
( 2) d (sin x 2 ) = ( )d ( x ).
解 (1) ∵ d (sin ω t ) = cos ω td (ω t ) = ω cos ωtdt , 1 1 1 ∴ d (sin ωt ) = cos ωtdt 而 d (sin ωt ) = d ( sin ωt ); ω ω ω 1
二、微分的定义
定义
设函数y = f (x)在uδ (x0 )内有定义,
x0及x0 + ∆x在 该邻域内 如果 , ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A⋅ ∆x + o(∆x) 成 (其 A是与 x无 立 中 ∆ 关的 常数 则 ), 称函数 y = f (x)在点x0可 , 并且称 ⋅ ∆x为函数 微 A y = f (x)在 x0相应于 点 自变 量增量∆x的微分 , 记 dy x=x0 或df (x0 ), 即 x=x0 = A⋅ ∆x. 作 dy
★ 导数与微分的区别 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ′( x0 ), 而微分 dy = f ′( x0 )( x − x0 ) 是x − x0的线性函数, 它 的定义域是R, 实际上, 它是x → x0时无穷小.
∵ lim dy = lim f ′( x 0 )( x − x 0 ) = 0. x→ x x→ x
例1 求函数 y = x 3 当 x = 2, ∆x = 0.02时的微分 . 解 ∵ dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x .
∴ dy
x=2 ∆x = 0.02
= 3 x 2 ∆x
x=2 ∆x = 0.02
= 0.24.
通常把自变量x的增量∆x称为自变量的微分 , dx 记作dx, 即 = ∆x.
∴ d ( sin ωt + C ) = cos ωtdt . ω d (sin x 2 ) 2 x cos x 2 dx ( 2) ∵ = = 4 x x cos x 2 , 1 d( x) dx 2 x ∴ d (sin x 2 ) = (4 x x cos x 2 )d ( x ).
七、小结
∆y o(∆x) ∴ = 1+ dy A ⋅ ∆x
→ 1 ( ∆x → 0).
(4) A是与 ∆x无关的常数 , 但与 f ( x )和x 0 有关;
(5) 当 ∆x 很小时 , ∆y ≈ dy (线性主部 ).
三、可微的条件
定理
函数 f ( x)在点x0可微的充要条件是函
数 f ( x)在点x0处可导, 且 A = f ′( x0 ).
dy ∴ dy = f ′( x )dx . = f ′( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数 . 导数也叫" 微商".
四、微分的几何意义
几何意义:(如图) 几何意义:(如图) :(如图
y
T N P
o( ∆ x )
当∆y是曲线的纵 坐标增量时 , dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
. 微分的实质) 微分dy叫做函数增量∆y的线性主部(微分的实质)
由定义知: 由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数;
( 2) ∆y − dy = o( ∆x )是比 ∆x高阶无穷小; ( 3) 当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小;
∵∆y = A⋅ ∆x + o(∆x), dy = A⋅ ∆x
x2
2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex