高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210总学时/周学时：_________ 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师:、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4•掌握基本初等函数的性质及其图形。

5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6•掌握极限的性质及四则运算法则。

7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。

(二)重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。

2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。

三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f ,即D f X。

X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记为R f , 或 f(X), 即R f f(X) {f(x)| x X}.、I •、、+ :注意:1) 映射的三要素 : 定义域 , 对应规则 , 值域 .2) 对每个x X,元素x的像y是唯一的；但对每个y R元素y的原像不一定唯例 1设 f : R R, 对每个 x R, f(x) x2.f 是一个映射 , f 的定义域 Df R, 值域R f {y| y 0}.例 2 设 X {(x, y)| x2 y2 1}, Y {( x, 0)|| x| 1}, f : X Y,对每个(x, y) X, 有唯一确定的(x, 0) 丫与之对应.f是一个映射，f的定义域Df X,值域R fY在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1, 1]上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合丫的映射.(1)若R f 丫即丫中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到丫上的映射或满射；(2)若对X中任意两个不同元素x1 x2,它们的像f(x1) f(x2),则称f为X 到丫的单射；(3)若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).从实数集(或其子集)X到实数集丫的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设f是X到丫的单射，则由定义，对每个y R f ,有唯一的x人适合f(x) y,于是，我们可定义一个从R f到X的新映射g,即g : R f X,对每个y R f ,规定g(y) x,这x满足f (x) y.这个映射g称为f的逆映射，记作f 1,其定义域为R f ,值域为X .按定义，只有单射才存在逆映射。

例如，映射y x2, x ( , 0],其逆映射为y 、上,x [ 0,)复合映射定义：设有两个映射g : X Y1, f : Y2 Z,其中丫1 Y2.则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x X映射成f[g(x)]乙显然，这个对应法则确定了一个从 X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f o g,即 f o g: X Z,( f o g)( x) f [g(x)], x X .说明：(1)映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R必须包含在f的定义域内，即R Df .(2)映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f也有意义.即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.例3设有映射 g : R [ 1, 1],对每个x R, g(x) sin x,映射f：[ 1,1] [0,1]，对每个u [1,1],f(u)厂孑•则映射g和f构成复映射fog： R [0, 1],对每个X R,有(f og)(x) f [g(x)] f (sin x) <1 sin2x cosx、函数1.函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量.y的取值范围叫函数的值域.2. 定义域的求法原则：(1)分母不为零(2)、、x, x 0(3)ln x, x 0(4)arcs in x, arccos x, 1 x 1(5)同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数x 1, x 1x 1, x 1x 1称为分段点4. 复合函数若y f u u x，当x的值域落在f u的定义域内时称y f x是由中间变量u复合成的复合函数.5. 反函数设函数的定义域为D f，值域为V f .对于任意的y V f，在D f上至少可以确定一个x与y对应，且满足y f x •如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：x f 1y .我们称这个新的函数x f 1y为函数y f x的反函数，而把函数y f x称为直接函数.说明：一个函数若有反函数，则有恒等式 f 1f X x, x D f .相应地有f f 1y y, y V f.例如直接函数y f x -x 3, x4R 的反函数为x f 1y 43y3，y R ，并且有 f 1f x433x43 3 x ，f f 1y3 44 3y 3 3 y .由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定y f 1x也是直接函数y f x的反函数.6. 函数的性质(1)有界性有界定义：若有正数M存在，使函数f x在区间I上恒有f x M，则称 f x在区间I上是有界函数；否则，f x在区间I上是无界函数.上界定义：如果存在常数M (不一定局限于正数)，使函数f x在区间|上恒有f(x) M,则称f x在区间I上有上界，并且任意一个 N M的数N都是 f x在区间I上的一个上界；下界定义：如果存在常数m，使f x在区间I上恒有f x m，则称f x在区间I上有下界，并且任意一个I m的数I都是f x在区间I上的一个下界.显然，函数f x在区间|上有界的充分必要条件是f x在区间|上既有上界又有下界.(2)单调性严格单调递增：设函数f x在区间I上的任意两点x1x2，都有f X" f x2 (或f X1 f x2 )，则称y f X在区间I上为严格单调增加(或严格单调减少)的函数.严格单调递增：如果函数f X在区间|上的任意两点x1 x2，都有 f X i f X2 (或f X i f X2)，则称y f x在区间I上为广义单调增加(或广义单调减少)的函数.广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数.例如，函数y X2在区间，0内是严格单调减少的；在区间0, 内是严格单调增加的.而函数y x、y X3在区间，内都是严格单调增加的.(3)奇偶性若函数f X在关于原点对称的区间I上满足f X f X (或f X f X )则称f X为偶函数(或奇函数).偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.例如，f x x2、g X XS in x在定义区间上都是偶函数.而 F x X、G x xcosx在定义区间上都是奇函数.(4)周期性对于函数y fx，如果存在一个非零常数T ,对一切的X均有f x T f x，则称函数f x为周期函数.并把T称为f x的周期.应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期.7. 初等函数基本初等函数幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数.这些函数在中学的数学课程里已经学过.(1)幕函数y x a a R它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幕函数在x 0, 内总有定义.当a N或a -一，n N时，定义域2n 1为R .常见的幕函数的图形如图1-1所示.图1-1(2)指数函数y a x a 0, a 1它的定义域为，，值域为0, .指数函数的图形如图1-2所示.(3)对数函数y log a x a 0, a 1定义域为0, ，值域为，.对数函数y log a x是指数函数y a x的反函数.其图形见图1-3 .在工程中，常以无理数 e = 2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记e x expx，og e x In x，而后者称为自然对数函数.(4)三角函数三角函数有正弦函数y sinx、余弦函数 y cosx、正切函数 y tanx、余切函数y cotx、正割函数y secx和余割函数y cscx .其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4 .图1-4(5)反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数y arcsinx、反余弦函数y arccosx、反正切函数y arctanx和反余切函数y arccotx等.它们的图形如图1-5所示.,函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示.■y = cb图1-6初等函数通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数.非初等函数经常遇到.例如符号函数，取整函数y x等分段函数就是非初等函数.在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的.作业 P16 第 1 题的（ 1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备．1. x sinx是否为初等函数?第二节数列的极限一、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.引例我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A;再作内接正十二边形，其面积记为A2 ;再作内接正二十四边形，其面积记为A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6 2n 1边形的面积记为A n n N .这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，，A n，，它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A n作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A n终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.因此，设想无限增大（记为n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A n也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1，A2，A3，，A n，，当n时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明.数列的概念如果按照某一法则，有第一个数治，第二个数X2，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n有一个确定的数x n，那么，这列有次序的数x1，x2，x3，，x n，就叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项X n叫做数列的一般项•例如:12 3 n2，E ，4，，百， 2,4,8, 2n ,; 1 1 1 2，4，8，1 , 1 ,1 ,,2丄4 2 3都是数列的例子，它们的一般项依次为，»，2n以后，数列也简记为数列X n •数列极限定义一般地：如果数列X n 与常数a 有下列关系：对于任意给定的正数 多么小），总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切X n ，不等式X n a都成立，则称常数a 是数列X n 的极限，或者称数列X n 收敛于a ，记为 lim X n a,或 X n n如果数列没有极限，就说数列是发散的. 如：lim 1 nnn 1 lim nnX 1 , X 2 , X 3, ,xn ,1n1（不论它0,|( 1)nI 2 n 10 (设e <1 ),只要已矢口X n（1厶，证明数列1X n 的极限是00a| 0|1不等式lx . a |必定成立。