4-3向量组的秩北京邮电大学 陈曦 线性代数

说明 用该定理来求向量组的最大无关组。
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例 设矩阵
⎛ 2 −1 −1 1 2⎞
A
=
⎜ ⎜
1
1
−2
1
4
⎟ ⎟
⎜ 4 −6 2 −2 4⎟
⎜ ⎝
3
6
−9
7
9
⎟ ⎠
求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把 不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性
表示。
8
4
解 对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
⎛ 1 1 −2 1 4 ⎞
2
1
矩阵与向量组秩的关系
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它
的行向量组的秩。
证 设A＝(a1,a2,…,am)，R(A)＝r，并设r阶子式Dr
≠0，可知其所在的r列向量线性无关；又由A中所有 r＋1阶子式均为零，知A中任意r＋1个列向量都线 性相关。因此Dr所在的r列是A的列向量的一个最大 无关组。所以列向量组的秩等于r。
⎛ ⎜⎝
0 1
0 2
⎞ ⎟⎠
等价。
4.反过来，若向量组α1,α2,…,αn与 β1, β2,…, βn 等价，
则向量组等秩，从而矩阵A与B等价。
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作业题
P109 13,14,16 P110 17,18
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13
⎛ 2 3 −5 4 ⎞ ⎛ 1 0 2 −1⎞
(a1
,
a2
,
b1
,
b2
)
=
⎜ ⎜ ⎜
0 −1
−2 1
6 −5
−4
⎟ ⎟
~
⎜ ⎜
0
3 ⎟ ⎜0
1 0
−3 0
2
⎟ ⎟
0⎟
⎜ ⎝
3
−1
9
−5
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
0
0
⎟ ⎠
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可得
X
=
⎛2 ⎜⎝ −3
−1⎞ 2 ⎟⎠
因为|X|＝1≠0，可知X可逆，取Y＝X-1，即为所求。 因此向量组(a1,a2)与(b1,b2)等价。
5
定理 矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列
向量组与B对应的列向量组有相同的线性组合关系。
证明 对m×n矩阵A做初等行变换化为矩阵B，相
当于用一个可逆矩阵P左乘A，即PA＝B，对A和B
做列分块A＝(α1,α2,…,αn)，B＝(β1, β2,…, βn)
则有 PA＝(Pα1, Pα2,…, Pαn) ＝(β1, β2,…, βn)
性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量 组B是向量组A的一个最大无关组。
证明 设向量B含r个向量，则它的秩为r，
因A组能由B组线性表示，故A组的秩≤r， 从而A组中任意r＋1个向量线性相关， 所以向量组B满足定义所规定的最大无关组的条件。
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例 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的
秩相等，证明向量组A与向量组B等价。
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6
推论 等价的向量组的秩相等。 证明 设向量组A与向量组B的秩依次为s和r。
因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性 表示，故s≤r和r ≤s同时成立，所以s＝r。
推论 设Cm×n＝Am×sBs×n，则
R(C) ≤R(A)，R(C) ≤R(B)。
证明 设矩阵C和A用其列向量表示为
C＝(c1,…,cn)，A＝(a1,…,as)。而B＝(bij)，
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另证 设向量组A和B的秩都为r，
因B组能由A组线性表示，故A组和B组合并而成的 向量组(A,B)能由A组线性表示。 而A组是(A,B)组的部分组，故A组总能由(A,B)组线 性表示，所以(A,B)组与A组等价，因此(A,B)组的 秩也为r。 又因为B组的秩为r，故B组的最大无关组B0含r个 向量，因此B0组也是(A,B)组的最大无关组，从而 (A,B)组与B0组等价。
证明 由已知条件，只要证明向量组A能由向量组
B线性表示即可。 设两个向量组的秩都为r，并设A组和B组的最大无 关组依次为A0:a1,…,ar和B0:b1,…,br ，因B组能由A 组线性表示，故B0组能由A0组线性表示，即有r阶 方阵Kr使(b1,…,br )＝(a1,…,ar) Kr
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8
因B0组线性无关，故R(b1,…,br )＝r。 所以 R(Kr) ≥R(b1,…,br)＝r ， 但是R(Kr) ≤ r，因此R(Kr) ＝r 。 于是矩阵Kr可逆，并有 (a1,…,ar) ＝(b1,…,br ) Kr-1 即A0组能由B0组线性表示， 从而A组能由B组线性表示。
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由
(c1
,L,
cn
)
=
(a1
,L,
as
)
⎛ ⎜ ⎜⎝⎜
b11 M bs1
L L
b1n M bsn
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示， 因此R(C) ≤R(A)。 又因为CT＝BTAT，同样可知R(CT) ≤R(BT)， 即R(C) ≤R(B)。
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推论 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线
A
~
⎜ ⎜
0
1
−1
1
0
⎟ ⎟
⎜ 0 0 0 1 −3⎟
⎜ ⎝
0
0
0
0
0
⎟ ⎠
可知R(A)＝3，
故列向量组的最大无关组含3个向量。
而三个非零行的第一个非零元素在1，2，4三列，
故α1,α2,α4为列向量组的一个最大无关组。
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要把α3,α5用α1,α2,α4线性表示，必须将A再变成行
最简形矩阵。
即得
⎛ 1 0 −1 0 4 ⎞
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9
由A组与(A,B)组等价， (A,B)组与B0等价，可知A 组与B组等价。
注意
本例题把证明两个向量组A与B等价，转换为证明 它们的最大无关组A0与B0等价。 证法一证明B0用A0线性表示的系数矩阵可逆； 证法二实质上是证明A0和B0都是向量组(A,B)的最 大无关组。
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例 已知
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −5⎞ ⎛ 4 ⎞
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即存在系数矩阵Ksr＝(kij)，使得
(b1
,L,
br
)
=
(a1
,L,
as
)
⎛ ⎜ ⎜
k11 M
L
k1r M
⎞ ⎟ ⎟
⎜⎝ ks1 L ksr ⎟⎠
如果r＞s，则方程组
⎛
K
sr
⎜ ⎜⎜⎝
x1 M xr
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
0（简记为Kx＝0）
有非零解（R(K) ≤s＜r），从而方程组
(a1,…,as)Kx＝0有非零解，即(b1,…,br)x＝0 这与B0组线性无关矛盾，所以r≤s。
A
~
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 0
−1 0
0 1
3
⎟ ⎟
−3 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0
0
0
⎟ ⎠
⎧ ⎨ ⎩
a3 a5
= =
−a1 4a1
− +
a2 3a2
−
3a4
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5
向量组秩的重要结论
定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组
B的秩不大于向量组A的秩。
证明 设向量组B的一个最大无关组为B0:b1,…,br，
向量组A的一个最大无关组为A0:a1,…,as，要证r≤s。 因B0组能由B组线性表示， B组能由A组线性表示， A组能由A0组线性表示。 故B0组能由A0组线性表示。
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思考题
向量组等价与矩阵等价有何关系？
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思考题解答
矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念。 1.若矩阵A(α1,α2,…,αn)与B (β1, β2,…, βn )等价，则存在 可逆矩阵P，Q使得PAQ＝B，R(A)＝R(B)，于是有 R(α1,α2,…,αn)＝R (β1, β2,…, βn )。 2.而向量组等价是指这两个向量组可以相互线性表示。
3
类似可证A的行向量组的秩也等于R(A)。 向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)。
结论 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则
Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组， Dr 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组。
说明 （1）最大无关组不唯一；
（2）向量组与它的最大无关组是等价的。
即
βi ＝ Pαi
6
3
设A的某些列αi1,αi2,…,αik的线性组合为
x1αi1＋x2αi2＋…＋xk αik ＝0
那么有
x1βi1＋x2βi2＋…＋xk βik
＝x1Pαi1＋x2Pαi2＋…＋xk Pαik
＝P (x1αi1＋x2αi2＋…＋xk αik )
＝P·0＝0
这就证明了B的列向量组βi1, βi2,…, βik与A的对应的 列向量组αi1,αi2,…,αik有相同的线性组合关系。
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3.当矩阵A与B等价时，虽有这两个向量组的秩相
等，但作为向量组不一定能相互表出，因而不一
定等价。例如
α1
=
⎛ ⎝⎜
1 0
⎞ ⎠⎟
,α
2
=
⎛ 2⎞ ⎝⎜ 0 ⎟⎠
与
β1
=
⎛ ⎜ ⎝
0 1
⎞ ⎟ ⎠
,
β
2
=
⎛0⎞
⎜ ⎝
2
⎟ ⎠
的秩相
等，但不等价。
但是，矩阵
A
=
⎛ ⎜⎝
1 0
2 0
⎞ ⎟⎠
与