增长率问题

某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程
( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两
年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为 .
一元二次方程中的有关增长率问题：
增长率问题经常用公式 ，a为基数,b为增长或降低后的数，x为增长率，
“n”表示 n次增长或降低。
例3：雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增
长的百分率？
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的
数量关系可表示为
其中增长取+,降低取－
1、平均增长（降低）率公式

2、注意：
（1）1与x的位置不要调换
（2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法

一、平均增长率
例1 （安徽省中考题）据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，
2006年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸秆总
量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(取
2
≈1.41)

解析 设我省每年产出的农作物秸秆总量为a.,合理利用量的增长率为x,
由题意得a·30%·(1+x)2=a·60%, 即(1+x)2=2.
∴ x1=≈0.41, x2≈-2.41(),
所以我省每年秸秆合理利用量的增长率是41%.
评注: 关于两次平均增长的问题,如果设平均增长率为x,前后两次的结果分别为a和b,
则存在等量关系a(1+x)2=b,解方程的简便方法是直接开平方法.若x＞0,表示增长;若x＜0,
表示降低.
二、变化的增长率
例2 （ 陕西省中考题）有一商场在第一季度内将某种家电商品连续降价，其中3月份
的降幅比2月份的降幅要多2个百分点（一个百分点=1%），结果3月份的销售台数比1月
份增加4倍，销售收入增加296%. 问2月份在1月份的基础上降价百分之几?

bxan)1(
2
(1)axb
分析: 若设2月份在1月份的基础上降价的百分数为x,则3月份在2月份的基础上降价
的百分数为(x+2%);若把1月份的销售台数看作1，则3月份的销售台数为5；若把1月份的
销售收入看作1，则3月份的销售收入为1×(1+296%).根据题意可列方程5(1－x)( 1－x－2%)
＝1×(1+296%).
解: 略
点评:本题是一个变化的增长率问题.如果设增长前的值为a, 第一次增长率为x, 第二次
增长率比第一次增长率多m, 那么第二次增长率为(x+m),增长后的结果为b,由题意列出方程
的方法可以概括为公式a (1+x) (1+x+m)＝b.当m =0时,变化的增长率问题就成为平均增长率
问题
三、相关的增长率
例3 （南京市中考题）某农场种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，
今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜的种植面积的增长
率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60000,求南瓜亩产量的增长率.
分析: 这是一道求两个相关量同时增长的问题,若设南瓜亩产量的增长率为x, 则新品种
的亩产量为2000(1+x), 种植面积的增长率为2 x, 扩大后的种植面积为10(1+2 x)亩.由题意可
列方程10(1+2 x)·2000(1+ x)＝60000.
我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用
1吨废纸造出的再生好纸,所
能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大
树.
(1) 若我市2005年7万初中毕业生环保意识较强,他们都能把自己离校时的全部
废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
(2) 宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程,到2003年初成效显著,森林面
积大约由1374.094万亩增加到1500.545万亩.假设我市年用纸量的15％可
以作为废纸回收利用，且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人
口数约为415万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加
的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少
亩.（精确到1亩）
设2001年初到2003年初我市森林面积年均增长率为x，依题意可得 1374.094×（1＋x）2
＝1500.545 解得：x＝0.045＝4.5％ ∴ 2005年初到2006年初全市新增加的森林面积:
1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％ = 737385 亩又全市因回收废纸所能保护最多的森林面积:
415×104×28×15％÷1000×18÷50=6275 亩 ∴新增加的森林面积与保护的森林面积之和最多
可能达到的亩数: 737385（亩）+6275（亩）= 743660（亩）
练习：
1.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口
石油的费用反而比上个月增加了14%，求这个月的石油价格相对上个月的增长率？
2.某市2007年9月招收区内初中班学生50名，并计划在2009年9月招生结束后，使区内
初中班三年招生人数达到450名。若该市区内初中班招生人数平均每年的增长率相同，那
么增长率大约是多少（结果保留3个有效数字）？
3、某人2005年底买入一栋别墅，到2007年底其售价翻了一番，求去年平均增长率是多少？
（根号2≈1.414）
4、某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增
长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵，求这个百分数。
5、某种汽车经过两次降价，每次降价幅度相同，加个降低了36%，求每次降价的百分率。
6、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里，
到2005年已增至144平方公里。请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率
为多少？
7、机动车尾气是导致城市空气质量污染的重要原因。为了解决这一问题，某市试验将现有
部分汽车改装液化石油气燃料汽车（称为环保车）。按计划，该市今后两年内将使全市的这
种环保车由目前的325辆增加到637辆，求这种环保车平均每年增加的百分率。

8、某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明

两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
9、某种药品两次降价后，每盒售价从原来6.4 元降到4.9元，平均每次降价的百分率是多
少？
10、哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时
间，使绿地面积增加44%，这两年绿地平均每年增长百分率是多少？
11、某公司八月份出售电脑200台,十月份售出242台，这两个月平均增长的百分率是多少？
12.去年“十一”黄金周我市各旅游景点共接待游客334玩人，旅游总收入约9亿元，已知我
市2006年“十一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长
率约为百分之几？

13.国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年提高44%，这两年该镇农民人均收入
平均年增长率是多少？

14.某市国民生产总值2006年为480亿元,2008年增加到591.6亿元,设平均每年的增长率
为x，则所列方程是_____

15.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从
50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率是_____
16.张先生于2004年底在某小区购买了一套150平方米的住房，花了18万元，李先生于
2006年底在同一小区购买了一套100平方米的住房，花了20.28万元，该小区房价的年平
均增长率为___________18÷150=0.12万／平方米 20.28÷100=0.2028万／平方米
0.12（1+x）²=0.2028
17.某商场3月份的销售额为16万元，5月份的销售额为25万元，该商场这两个月的销售
额的平均增长率是________

18.某市全市一共有13233个自然村，2005年已建成生态文明村2315个，计划到2007年，
全是生态文明村数要达到自然村总数的24.4%，那么按这个计划，从2005年到2007年，
平均每年生态文明村的增长率约是多少？
19.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进
口石油的费用反而比上个月增加了14%，求这个月的石油价格相对上个月的增长率？

20.某市2007年9月招收区内初中班学生50名，并计划在2009年9月招生结束后，使区
内初中班三年招生人数达到450名。若该市区内初中班招生人数平均每年的增长率相同，
那么增长率大约是多少（结果保留3个有效数字）？