5_角动量守恒

i
第五章
角动量守恒定律
行星对太阳的径矢在相 等的时间内扫过相等的 面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
除了动量，机械能守恒量以外一 定还有另外一个守恒量存在！
一
质点的角动量
Z
M r F
力矩 力F 对o点的力矩表达式：
F
r
M r F
X
M rF sin
Y
方向由右手螺旋法则确定。
说明：1. 力矩是改变质点系转动状态的原因；力是改
变质点系平动状态的原因
2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的；
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
矢量式表达式： M r F
M
r
o
F


动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.
1
孤立系
为什么星系是扁状，盘型结构？
18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成 的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成 一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么 不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘 状？
L r p mr v
a b b a
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改 变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。
L
1 质点的圆周运动
p 动量： mv
O
r
m
v
(r v )
（对圆心的）角动量：
L mr v
L r p r (mv ) mr v

由
L
0
LdL m gR
2
3

0
cosd
1 2
L mR (2 g sin )
L mR
2
3 2
1 2g ; ( sin ) 2 R
例：原长为 l 0 劲度系数为k的弹簧，一端固定在一光 滑水平面上的o点，另一端系一质量为M的小球。开始 时，弹簧被拉长a,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v0 求：当弹簧恢复原长时小球速度 的大小和方向（即 夹角 ） 解: 分析受力: 重力，支持力 定点弹性力。
大小：
方向：满足右手关系，向上
2 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动 对定点（太阳）的角动量： L r p m(r v ) r 大小：L mvr sin ; v
方向：满足右手关系，向上 3 质点直线运动对某定点的角动量： L r p mr v
因 f1 f 2
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合 力矩等于零。 f2 M1 r1 f1 M 2 r2 f 2 r2 r M1 M2 r1 f1 r2 f 2 f1
o
r1
0
3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然 界中更普适的定律之一.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系。
角动量守恒的几种可能情况：
1 2 3 孤立系.
dL 有心力场,对力心角动量守恒. dt M r F
分量式： Mix 0 ; Lx 常量 即：虽然 M i 0,但对某轴外力矩为零,则总角
3 角动量的方向： 2 L mr v mr ( r ) mr
L 与 同方向
二
角动量守恒定律
质点角动量守恒 当 M 0 , L r (mv ) =恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点 对该参考点O的角动量为一恒矢量。
设：恢复原长时， 球速为V及图示角 显然，在水平方 向。。。。。

v
v

l0
M

2
v0
O
l0 a
M
因为弹性力为有心力，
M r F 0
v


l0
M

2
v0
角动量守恒： (l0 a) mv 0 sin l0mv sin( ) l0 mv cos 2
2
有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向 下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1 ,v1)然 后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周 求：v2=？ v2 解： 作用在小球的力始 v1 O 终通过O点（有 r1 r2 心力）由质点角 动量守恒： F mv1r1 mv2 r2 r1 v 2 v1 ( ) ( v1 ) r2
例：
L
v
r
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
行星受力方向与矢径在一条直线（中心力）， 永远与矢径是反平行的。故角动量守恒。
注意
L
v

m
r
L mvr sin m
r t
r sin
r
开普勒第二定律
1 r r sin S 2 2m 2m t t
v v 0
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率 t L t Mdt L dL L2 L1 t Mdt为质点在t内对O点的冲量矩
2 2 1 1 2
t1
例:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动 r a costi b sintj 其中a,b, 为常数 试求:该质点对原点的角动量矢量.
行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变. 在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代 替动量起着重要的作用.
质点在有心力场中,它对力心的角 动量守恒。
质点系的角动量定律和角动量守恒
1
则 M1 M 2 r1 f 2 r2 f 2
(r2 r1 ) f 2 r f 2
dL M dt
0!
小结：
定义：
L r p mr v
说明：
1 角动量是矢量（kg· 2·-1） m s
X O
对O点的角动量：
Z
L
r

v
Y
2 角动量对不同点是不同的。
r ( r ) (r r ) r ( r )

R
A B
N
r
; dL mgR cos dt (1)
L r p mr v ; L mRv mR2 d
dt
dL mgR cos dt

v

G
可得:
(2)代入(1)得:
mR dt d L
2 3

2
(2)
LdL m gR cosd
d
点积 叉积 a a a 2
ab ba
db da d (a b ) a b 点积的微商 dt dt dt 叉积的微商 d db da (a b ) a b dt dt dt
aa 0 c (a b ) a (b c ) b ( a c ) c (a b ) a (b c ) b (c a )
v
Sun

r
v

d
O
r
m
大小：L mvr sin mvd 方向：
思考：如何使L=0？
质点的角动量定理：
dp 仿照平动： F dt
dp d( r p) dr M r F r p dt dt dt d( r p ) d( r p) dL v mv dt dt dt
机械能守恒： 可解出：
1 1 1 2 2 ka mv 0 0 mv 2 2 2 2
则；在小球运动的整 O 个过程中，M对O点的 角动量守恒。 L 恒矢量
Lrp
l0 a
M
.......... ....
V ..........
作业: 5.5，5.12 周五习题课物体平动运动状态（用动量来描述）发生改 变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。 质点角动量 L r p mr v dL 质点角动量定理 M r F dt 合外力矩为零，质点系总角动量守恒 角动量守恒的几种可能情况： 重点！ 1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒. 3 分量式： Mix 0 ; Lx 常量
演示实验报告纸 解答
本周四答疑
康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散 射到一个方向。19世纪数学家拉普拉斯完善了康德 的星云说，指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。 我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。 原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动 量L，当r变小的时候，在垂直L的横向速度要增大， 而平行J方向没有这个问题，所以天体就形成了朝 同一个方向旋转的盘状结构。
dr 解： v a sinti b costj dt
L mr v m(a costi b sinj ) t (a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) (恒矢量) mab k
r
f2
dL
质点系角动量 L ri Pi
i d d [ ri Pi ] ri Pi Fi ri · dt dt dt i i · r j ri F外i f ij(内) o i ji