2012智轩第二基础基础导学桥 第六章 数理统计的基本概念

146第二篇 数 理 统 计第六章 基本概念和基本统计量【数学1，3】■2012考试内容总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 2χ分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布■2012考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--∑ 2．了解2χ的分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧α分位数的概念并会查表计算。

3． 了解正态总体的常用抽样方法。

3大分布8项枢轴。

一、总体和样本被考察的对象的某一个（或多个）数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命这一数量指标）的全体称为总体（如考察6000个100瓦的灯泡），记为X ；总体中的某一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。

我们不可能把全部6000个灯泡都测试，所以，需要从总体（6000个灯泡）中随机抽取n 个（如取50n =）样品组成样本，称为抽样，n 称为样本容量，并把样本看成是n 个相互独立且具有完全相同分布的随机变量（ 以后简称 “独立同” ），记为()1250, ,, X X X ，它是X 的一个子集，称为简单随即样本。

显然，如果测试还没开始，则()1250, ,, X X X 就是一个50维随机变量，如果测试已经完成，则()1250, ,, X X X 就对应有一组具体值()1250, ,, x x x ，称为样本观察值，即样本值。

样本（12,,,n X X X …）每次测试的所有可能值的全体称样本空间，记为Ω，一次测试所得的一组样本观察值()12, ,, n x x x 是Ω中的一个样本点，容量为n 的简单随机样本的数字特征及分布就代表了总体的特性。

147二、样本函数和样本统计量2.1统计量 不含任何未知参数的12(, , )n g X X X …函数形式为样本统计量，12(,,,)n g x x x …为相应样本值；含任何未知参数的12(,,)n g X X X …就称为样本函数。

统计量与样本函数一般在测试前后可以相互转化角色。

如最大顺序统计量与最小顺序统计量{}()()()()(){}()()()()()112112, , , , 111nn n U X U X X nn n V X V X X U Max X X X F u F u f u nf u F u V Min X X X F v F v f v nf v F u --=⇒=⇒=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⇒=--⇒=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2.2 样本矩（也是一种样本函数，注意n 是变量，X 是随机变量）原点矩： 11n kk i i A X n ==∑（算术平均）中心矩： 11()nk k i i B X X n ==-∑2.3常用样本函数① 样本均值② 样本方差1( )ni i X n X ==∑∵ 注意区别于数字特征中的方差2σ，2σ只是某一个随机变量i X 的方差，而2S 是n 个i X 的联合分布函数的方差。

另外，严格地说，2S 不是矩。

③ 样本标准差 S ==④ 二阶样本中心矩与样本方差2S 是不同的概念。

相应统计量的观察值形式同上。

⑤ 样本函数中的必需记住的数字特征1482.4 经验（样本）分布函数设样本()12, ,, n X X X 是取自总体X ，则经验分布函数定义为设从总体X 中躯容量为5的样本，样本观察值为-2.8，-1，1.5，2.1，3.4。

试求样本的经验分布函数()5F x 。

解：由经验分布函数的定义可知()50, 2.81,2.8150, 1 1.50, 1.5 2.10, 2.13.4x x F x x x x <-⎧⎪⎪-≤<-⎪⎪=-≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎩三、抽样分布——经验（样本）分布函数3.1 ()2n χ分布()1{}i X()2 可加性 ()3证明：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x iE X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==149()()()()()()()()()224222211222113122iiin ni i i i n n i i i i D XE X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数3.2 ()t n 分布{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒ ()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 性质 T 分布具有对称性， 1()(); 45t n t n n αα-=->时，()t n Z αα≈3.3 (), F m n 分布X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

解：()()()2221212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N σσσ⇒+-()()()()2222~0, 1~0, 1~1; ~1N N χχ⇒150()()()()()22122212241220121~1, 124arctan 2.X X F X X X X P X X π+⇒==-⎡⎤+⇒<==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰①上分位点 α定义为()t n 分布的分位数② 性 质n● 证明结论 ()()2~1, t n F n ~(0,1)U N 2~()V n χ ~()T t n =22;U T V n= 而 22~(1)U χ时()()22~(1, )~1, T F n t n F n ⇒⇒● 证明结论 11(, )(, )F n m F m n αα-=如下(){}()()()()()()()()()1111~, ~, 1111, 11, 11, 1 , 1111, , , , X F m n Y F n m XP X F m n P X F m n P X F m n P F n m X P P F n m F n m X F m n X F m n αααααααααααα---=--⎧⎫⎪⎪≥=-⇒≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫−−−−−−−−→≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎧⎫>=≥⇒=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭又根据分位数的定义，而连续分布对一点的概率取值为零，则151大枢轴量贯穿考研数学数理统计的全部考点，务必理解牢记。

单正态 4分布。

知方差 标准型；未知方差t 差1；知期望 2χ（卡平方） ； 未知期望2χ（卡）减1。

双正态 估差比； 知方差 与单同；未知方差t 减2； 知期望 用F ；未知期望F 差1。

含S ，具特征；每个容量减去1。

四、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明4.1 单个正态总体设2{}~(, )n X N μσ为一系列简单随机样本，则有()1 若σ已知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量)证明一：11ni i X X n ==∑111()()n i i E X E X n n nμμ===⋅⋅=∑2222111()()ni i D X D X nn nn σσ===⋅⋅=∑证明二：()0X E E X μμσσ⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1522()X n D D X μμσσ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=222[()()]n E X E X μμσ---=()222[20]nE X X μμσ+-- =2222[()2]nE X μμσ+-=2222(()2)nE X μμσ+-=2222[()]1nnσμμσ+-=故~(0,1)X N μσ-公式 ① 是标准化随机变量的手段，也是确定复合随机变量分布的基础。

()2若μ未知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（X 是随机变量）证 明：已知()()21,2,,~, i X i n Nμσ= ，且相互独立，令 ()()121,2,,,,,~0,1i i n X Y i n Y Y Y N μσ-==⇒ ，且相互独立。

作下列正交变换：11222122212n n n n n nn Z Y Z Yc c c Z Y c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭正交变换不改变向量组的秩，由于12,,,n Y Y Y 相互独立，则12,,,n Z Z Z 相互独立，且都服从()0,1N 。

记 1111111111nn n n i i ii i i i X X XY Y X n n nn n n μμμμσσσσσσ====--===⋅-=-⋅⋅=∑∑∑∑ 由上述变换矩阵等式易得：()112~0,1n Z N =+++=153正交变换不改变向量的长度2211nni i i i Y Z ==⇒=∑∑，所以222221122111222121(1)1()() ()()2 ()()2 ()n ni i i i nnni i i i i ni i ni i X n S X X X X X X X X X X n n X X n μμσσσσμμμμσσσσμμμσσσμμσσ=======---=-=-⎛⎫----⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---=+- ⎪⎝⎭⎛⎫--=- ⎝∑∑∑∑∑∑∑()22222221112~1nnni ii i i i Y nY Z Z Z n χ===⎪⎭=-=-=-∑∑∑222221(1)1()~(1)nii n S XX n χσσ=-=--∑有重要的应用价值，如计算()()22; E S D S 。

()()()()()()()()()()()()()22222222222222224222211, 121(1)11111(1)(1)2 121111E n n D n n n S E S E E n n n n n n S n D S D D n n n n n χχσσσχσσσσσχσσ-=--=-⎛⎫-⇒==-=⋅-= ⎪---⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⎡⎤==⋅-=⋅-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∵()3若σ未知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量证明：()0,1~1X N X t n μσμ--==-()4若μ已知，需要估计σ的范围，则使用枢轴量（μ是常量）154证明：()()22222111~0,11()()~i i nnni ii i i i X Y N X X Y n μσμμχσσ===-=--==∑∑∑4.2 两个正态总体 （X 和Y 独立同分布）21~(,)X N μσ， 222~(,)Y N μσ 11n i i X X n ==∑ 11ni i Y Y n ==∑2222121111(), ()11n m i i i i S X X S Y Y n m ===-=---∑∑ 则有：()5 若2212, σσ已知，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量证明：221212 ()~0, ~(0,1)X Y N N n m σσμμ⎡⎤---+⇒⎢⎥⎣⎦()6若2212, σσ未知，但12σσσ==时，需要估计12μμ-的范围，则使用枢轴量其中：W S=证明：212211()~0,110,X Y N n m N μμσσ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥=155()2110, 0, 10,10,1 ~2N N N N t n m σσ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⋅====+-()7如12, μμ已知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()2122122112122221221122()1()~,1()()nini i i mni ii i Xn X n n nF n m m Y Y m mm μχμσσχσμμσ====--==--∑∑∑∑根据F 分布的意义，可以推知222111222221()/~()()/~()n i i m i i X n Y m μσχμσχ==⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∑∑()8如12, μμ未知，需要估计1222σσ的范围，则使用枢轴量证明：()()()()()()()2212221122222221221111~1,11111n S n n S n F n m m S m S m m χσσχσσ----==------156五、先进题型与求解秘技量纲法求复合统计量的抽样分布。