数理统计的基本概念80651
概率论-数理统计的基本概念
个随机变量，而样本是n维随机向量。
一旦取定一组样本 X1，… ,Xn ,得到 n 个具体 的数 (x1, x2, …, xn)，称为样本的一次观测值，简 称样本值 .
随机抽样方法的基本要求
代表性——样本( X1 , X 2 ,, X n )的每个分量 X i
与总体 X 具有相同的分布。
独立性——每次抽样的结果既不影响其余各次抽 样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。
概率论和数理统计尽管两者有密切的联系，但本质 上是两门不同的课程。 1. 概率论是理论基础课，解决理论问题；数理统计是
应用专业课，解决实际问题。
2. 概率论更注重逻辑和体系的严密，是一门真正的数
学课。数理统计则对同一个具体问题也没有一个最 佳的答案，我们往往需要凭经验选择“较优”的方 法，不是纯粹的数学。 3. 学习方法也不同。概率论注重逻辑推导，而数理统 计则是以解决问题为导向，黑猫白猫，捉住老鼠就 是好猫；以案例为中心。
卡方分布的应用
定理 设(X1,X2,„,Xn)为来自正态总体 X～N( , 2)
的样本，则
2 X ~ N , n
(1)
(2) (3)
2 n
n nS 2 2 1 2 (X i X ) ~ (n 1) i 1
2 n 2
样本均值 X 和样本方差 S 独立
只证明（1）： X 为X1,X2,„,Xn的线性组合，故仍然
n 2 1 2 Xi X 样本方差： Sn n i 1 n 1 2 Xi X 修正样本方差： Sn n 1 i 1 n 1 2 2 Sn Sn n
2
样本k阶原点矩： 样本k阶中心矩：
数理统计的基本概念
数理统计的基本概念6 数理统计的基本概念基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
疑难解答1、采用抽样的方法推断总体，对样本应当有怎样的要求？答：为了对总体X的分布进行研究，逐个研究每个个体是不现实的。
采用抽样推断总体，其出发点是利用局部认识整体，因此抽出的样本要具有代表性。
即要求每个个体被抽取的机会均等，并且抽取一个个体后总体成分不变。
首先要求抽样具有“随机性”，第一次抽取的样品X1的可能取值应与总体的可能取值是完全一样的，且去取个个值的概率相同。
因此，X1是一个随机变量，并且是与X同分布的随机变量。
其次，应具有“独立性”，第一次抽样不改变总体成分，第二次抽取的样品X2可能的值也与X完全一样，且取值的概率也是相同的，因此X2也是与X同分布的一个随机变量且与X1是相互独立的，同样道理，X3，X4，…，X n都是与X同分布的随机变量，并且X1，X2，…，X n是一组相互独立的随机变量，故要求X1，X2，…，X n 是简单随机样本。
2、什么是简单随机样本？在实践中如何获得简单随机样本？答：设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果它满足以下两个条件，则称它为简单随机样本：（1）X1，X2，…，X n与总体X具有相同的分布（2）X1，X2，…，X n相互独立由简单随机样本的定义知，用简单随机样本研究总体，可以更好地用概率论中独立条件下的一系列结论，正是这些结论为概率统计提供了必要的理论基础。
一般说来，对总体进行独立重复观测，便可以获得简单随机样本。
数理统计的基本概念汇总
6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。
总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。
4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。
149150若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。
6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。
数理统计的基本概念
证明:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
5.1.4 统计量及抽样分布
2. F分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
列出其频数频率分布表。
组序 分组区间 组中值 1 (147，157] 152 2 (157，167] 162 3 (167，177] 172 4 (177，187] 182 5 (187，197] 192 合计
频数 4 8 5 2 1 20
频率 累计频率(%) 0.20 20 0.40 60 0.25 85 0.10 95 0.05 100 1
1、设X 1 , X 2 ,
, X n (n 2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本， (n 1) X 12
2 X i i 2 n
X 为样本均值，S 2为样本方差，则统计量
服
从 __________ 分布。 (05—06二）
2、设 X 1 , X 2 , X 3是来自正态分布 N (0, 2 )总 体的简单随机样本，则 统计量 2 服从 ________ 分布。（05—06三） X1 X X
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
第四节 数理统计的基本概念
第四节数理统计的基本概念数理统计是以概率论为理论基础的应用非常广泛的一个数学分支。
它是运用概率论的的知识，研究如何从试验资料出发，对随机变量的概率分布或某些特征（如数字特征）作出推断的一门学科。
数理统计的这种通过从局部观察去推断整体的方法具有普遍的意义，因此应用数理统计的方法，可以研究大量的自然现象和社会现象的规律性。
目前已应用于教育科学、工程技术、管理科学、自然科学以及社会科学等领域。
例如，教育科学中的教学质量的评估、预测以及试卷质量的评价、工业生产中的产品质量的控制与抽样检查、气象党的天气预报、地震学中的地震预报、医学中的疾病分析、药品疗效检验、农业生产中的产品估计与种子优选、人口学中的优生学和人口控制等等都渗透了数理统计的方法。
4.1总体与样本1.总体与个体在数理统计中，把研究对象的全体称为总体。
而把总体中的每一个对象称为个体。
例如，某厂生产一批电子元件共5000只，每只元件使用的寿命是一个随机变量X，故总体是指5000只电子元件的使用寿命，而个体则是每一只电子元件的使用寿命。
又如研究某市中学生身高时,该市中学生身高的全体就是总体，而个体就是每个学生的身高。
一般来说，对总体的研究，就是对相应的随机变量X的研究，因此，今后我们将总体与随机变量X等同起来，用随机变量X表示总体。
2．样本与样本值在数理统计学中，总是通过观测或试验以取得信息。
为了进行观测或试验，可以从客观存在的总体中按机会均等的原则随机地抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指标X的数值。
这样按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样。
用随机抽样的方法从总体X中随机抽取一个个体，就是对总体进行一次试验或观察，其结果是个随机变量，并且与总体X 有相同的分布。
在相同的条件下，对总体X 进行n 次重复的、独立的试或观察，即从总体中随机地抽取n 个个体，将n 次试验或观察得到的结果按次序记为n X X X ,,,21 ，它们都是随机变量，并且由于各次试验或观察是在相同的条件下进行的，所以有理由认为n X X X ,,,21 相互独立，并且都与总体X 具有相同的分布。
数理统计的基本概念
概率论与数理统计的区别： 在概率论中,假设随机变量的分布列或者分布函数已知，然 后描述随机变量的统计规律. 数理统计首先解决,如何知道 随机变量的分布规律,如何知道分布中所含的参数.
数理统计研究问题：它研究怎样有效地收集整理和分析带有随 机性的数据,以对所考察的问题作出推断或预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议.
概率统计的基本问题:依据有限个观测或试验如何对整体所作 出推论的问题.这种伴随有一定概率的推断称为统计推断.
母体与子样、经验分布函数
1、母体:把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体； 组成母体的每一个成员称为个体. 注：10、实际应用中总体往往指研究对象的某项数值指标的全体。 20、总体的某个数值指标是一个具有分布函数F(x)随机变量，称 总体为具有分布函数F(x)的总体。 30、也可能是一个随机向量,相应的分布函数就为多元函数.
(i
n! 1)！(n
i)！[F (
y)]i1[1
F(
y )] n1
f
(
y),
0 ,
a yb 其它
证明 第 i个次序统计量(i)落入无穷小区间 [ y , y y)
内这一事件等价于”容量为n的子样1 ,2 , n 中有(i 1)
个分量落入区间[a , y)内,1个分量落入区间[ y , y y)内,
n
F ( x1 ,, xn ) F ( xi ) i 1
例1 设总体 X 服从参数为 ( 0)的指数分布, ( X1, X2 ,, Xn )
是来自总体的样本, 求样本( X1, X2 ,, Xn )的概率密度.
解
总体 X 的概率密度为
ex ,
f (x)
数理统计的基本概念
则
m
Yi
~ 2
m
ni
i1
i1
19
对给定的概率, 0
1, 称满足条件
2 n
fn y dy
的点2
n为
2 n分布的上分位数,上分位数2 n的值可查 2分布表
20
例：求 20.1 25
通过Excel给出.
X1 X 2 ~ N (0, 1)
2
2X3
X4
X5
~
N (0, 6 2 ),
2X3
X4
6
X5
~
N (0, 1)
X1 X 2 与 2X3 X 4 X5 相互独立，
2
6
故 ( X1 X 2 )2 (2X3 X 4 X5 )2 ~ 2 (2)
2 2
6 2
性质：F ~ F (n1, n2 ),则F 1~ F (n2, n1)
29
.5：F n1, n2 分布的概率密度为：
f
x; n1, n2
1
B
, n1 n2 22
n n x n n x n1 2
n2 2
n1 2
1
12
2
n1 n2 2
1
0
其中B
N(, 2 ) 的简单随机样本, X 是样本均值,
S 2 是样本方差, 则有:
X
~
N
,
2
n
.
34
定理 6.3.2 设 X1, X 2 , , X n 为来自正态总体
N(, 2) 的简单随机样本, X 是样本均值,
概率论：第六章 数理统计的基本概念
简单区分方法： 在抽样之前或理论研究时， (X1, X2 , , Xn ) 为 n 维随机变量．
在抽样之后或实际应用时， (x1, x2 , , xn ) 为观察值．
二、统计量
1.统计量的概念
定义 1.3 设 (X1, X2, , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本， g(x1, x2 , , xn ) 为一个 n 元函数，且不依赖总体 X 中的任 何未知参数，就称随机变量 g( X1, X 2 , , X n ) 为一个统计 量．如果 (x1, x2 , , xn ) 为样本观察值，也称 g(x1, x2 , , xn )
．
例 1.5 设总体 X 的数学期望 EX ，方差 DX 2 ， ( X1, X2 , , Xn ) (n 1) 为来自总体 X 的一个样本，则
E X ， DX 2 ， E(S2) 2 ．
n
（此例实为结论，务必记住！）
⑵ 顺序统计量
定义 1.5 设 ( X1 , X2 , , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本，
而在实际问题中，对于不同的个体，其数量指标 X 的取值是不同的，因此数量指标 X 是一个随机变量．
随机变量 X 的分布称为总体的分布，总体的特征是
由总体的分布刻画的．为此，常把总体与总体分布视为
等同，并称总体 X ．
例 1.1 考察某产品的次品率，令总体
1, 产品为次品, X 0, 产品为正品, 因此总体 X 的取值为1和 0 ，总体 X 为有限总体，也 是离散型总体，如果记该产品的次品率为 p ，则总体
本，求 X1 X 2 所服从的分布．
X3 X4
解
利用正态分布的性质， X1 X 2
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分布函数为
独立 n
F*(x1,x2,,xn) F(xi). i1
特别的,若X的概率密度为f(x),则 X1,X2,,Xn的联合
概率密度为
A
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8
概率论与数理统计
n
f*(x1,x2,,xn) f(xi). i1
若X的概率分布为p(x),则 X1,X2,,Xn的联合概率分
布为
n
p*(x1,x2,,xn) p(xi). i1
体。
灯泡的寿命检验是一个破坏性试验,即当得知一个灯
泡寿命时,该灯泡的使用价值也就消失了.因此,不可能抽
检每个灯泡! 可以逐一测量每个工大男生的身高,但工作量大.而我
们仅需对工大男生身高情况有个大致了解,因此,不必要抽
测每个工大男生!
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A
概率论与数理统计 4
做法 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男 生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况.
①、X ~ N(,2 ).
n
②、(n1)S2
2
~2(n1);
③、 X ~t(n1);
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A
概率论与数理统计 18
❖ 2 (n)-分布的概率密度为
f(x)2n/21(n/2)xn21e2x,
0,
x0, 其它 .ห้องสมุดไป่ตู้
f (x)
n 1
n5
n 15
O
A
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x
19
概率论与数理统计
2 (n)-分布的性质与数字特征
2 (n) -分布的可加性:
X ~ 2 ( n 1 ) Y ~ ,2 ( n 2 ) 且 X , , Y 独 X Y ~ 立 2 ( n 1 n 2 )
A
13
概率论与数理统计
说明
(修正)样本方差还可表示为
S2
1
n
[
n1 i1
Xi2nX2]
【推导】
S2
1n n1i1(Xi
X)2
n1 1i n1(Xi22XiXX2) n1 1[i n1Xi22Xi n1Xii n1X2]
n1 1[i n1Xi22nX2nX2]
1
n
[
n1 i1
Xi2 nX2]
2 (n) -分布的期望与方差为:
E(2)n,D (2)2n.
上α分位点(双侧α/2分位点)
定义 点 2 (n) 为 2 (n) 分布的上α分位点
P { 2 2(n ) } (0 1 ).
A
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20
概率论与数理统计
查附表5[P.443]:
0 2 .9(1) 26 .3,00 2 .9 49 (1 5) 02 .1.56
A
概率论与数理统计 7
定定义义22 设总体X的分布函数为F,若X1，X2，…，Xn
是相互独立且具有相同分布函数F的n个随机变量,则称
之是来自总体F(分布函数F,总体X)的容量为n的(简单随
机)样本,其观察值 x1,x2,,xn 称为样本值。
显然,若X的分布函数为F(x),则 X1,X2,,Xn 的联合
A
概率论与数理统计 10
总体X
随机抽样 获得样本
样本X1,X2,…,Xn
完成试验 获得数据
样本值x1,x2,…,xn
整理加工 统计推断
统计 工作
A
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11
概率论与数理统计
§2、抽样分 一布、统计量
样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一
般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工,
A
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9
概率论与数理统计
三、数理统计的基本任务
样本来自总体,必然携带有反映总体性质的各种信 息。
数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总 体的未知参数或分布类型作出估计，对有关总体的假设 作出推断。
后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断， 称为参数估计与参数假设检验。
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F分布上α分位点 f (x) 有如下性质：
1
F1(n1,n2)F(n2,n1)
查附表5[P.447]:
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O
x
F(n1,n2)
F 0.9(51,9 A2)F 0.0(5 19,1)22.1 80 0.325 8 7
概率论与数理统计
F分布的 分 上位点具有如 : 下性质
F1(n1,n2)F(n12,n1).
E(X),D (X)2,
X1,X2,,Xn 是来自X (无论X服从何种分布!)的一个
样本，则总有:
E(X),D(X)2.
n
特别的,当 X~N(,2)时,样本均值
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X ~ N(,2 ).
n
A
概率论与数理统计31
对于单正态总体N(μ,σ2)的均值与方差有:
定理1 设 X1,X2,,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的 样本,则
个体.
例如,检验灯泡厂生产的灯泡寿命:受检的全体灯泡就
是总体,每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数
值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。
A
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3
概率论与数理统计
又如,调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总
体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男
生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个
24
概率论与数理统计
双侧α/2分位点: t1/2(n)t,/2(n)
f (x)
/2
/2
显然,
t1/2(n) O t /2 (n) t1/2(n)t/2(n)
A
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x
25
概率论与数理统计
3、F-分布
定义 设 X~2(n 1)Y ,~2(n2)且, X与Y独立，则
称随机变量
F X / n1 Y / n2
服从自由度为(n1,n2)的F-分布,记为 F~F(n1,n2).
❖ F-分布的概率密度为
n1 n11
f(x) [(n1n2)/2](n1/n2)2x2 n1n2 , x0,
(n1/2)(n2/2)1[(n1x/n2)]2
0,
其它 .
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A
概率论与数理统计26
f (x)
n110,n225
即针对具体问题构造适当的函数—统计量,利用这些函数
来进行统计推断,揭示总体的统计特性.
定义3 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本,x1，x2，
…，xn为其样本值,则称不含任何总体分布中未知参数的
连续函数g(X1,X2,,Xn)为统计量,相应实数 g(x1,x2,,xn)
称为其观察值。
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A
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14
概率论与数理统计
❖ 样本方差
S*2
1 n
n i1
(Xi
X)2
n 1 S2 n
样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶
中心矩。
上述各统计量的观察值为
x
1 n
n i 1
xi
s2
1 n n1i1
(xi
x)2
ak
1 n ni1
xik(k1,2,)
bk 1 ni n1(xi x)k(k1,2,)
第六章 数理统计的基本概念
总体与样本 统计量 χ2-分布,t-分布和F-分布 关于正态总体的重要定理
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A
概率论与数理统计 1
简介
概率论是数理统计的理论基础,数理统计是概率论 的重要应用。
数理统计是以概率论的理论为基础、通过试验所得 数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容 丰富。
双侧分位点
12/2(n),2/2(n)
查附表5:
0 .0,2 5 0 .0,2 1 2 /5 2 (1) 50 2 .9( 7 15 ) 5 6 .2,62
2/2(1)5 0 2.02 (1 5)5 2.4 788
A
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21
概率论与数理统计
2、t-分布
定义 设 X~N(0,1)Y , ~2(n)且, X与Y独立，则称
A
概率论与数理统计 12
常用统计量有: 样本均值
(修正)样本方差
X
1 n
n i 1
Xi
S2 n11in1(Xi X)2
(修正)样本标准差 S S2 n1 1i n1(Xi X)2
样本k阶原点矩
Ak
1n
ni1
Xik(k1,2,)
样本k阶中心矩
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B k1 ni n1(Xi X)k(k1,2,)
n11,0n25
O
x
F-分布的性质
由F分布定义可得：
F~F(n1,n2) F 1~F(n2,n1)
A
27
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概率论与数理统计
上α分位点(双侧α/2分位点)
定义 点 F(n1,n2)为 F(n1,n2) 分布的上α分位点
P { F F (n 1 ,n 2 ) } (0 1 ).
“从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次 观
察(试在验相),并同记条录件其下数对据总结体果X进. 行n次独立、重复的观察,
将n次试验结果依次记为 X1,X2,,Xn ,则称之为来自 总体X的容量为n的一个简单随机样本;n次试验完成后
所得样本的一组观察值 x1,x2,,xn 称为样本值.