信息维数

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【国家自然科学基金】_分形信息维数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731

科研热词分形维数分形多重分形海杂波故障诊断分形特征高空间分辨率遥感面向对象长江三角洲长径比重标极差分析重整化算法赫斯特维数质量指数谱计算机应用规模分布芜湖自适应阈值聚类统计分形空间结构碰摩耦合故障碎屑分类破碎块度甲骨拓片物理应用煤矿瓦斯浓度点格局分析演化规律淡水冰水库模糊分形植物群落格局梯度曲率无标度区旋量旋度旅游流数据流散度插值扭量微弱目标检测张量广义维数谱能广义维数能谱幂律分布岩石破碎岔巴沟流域局部分形度尺度效应
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
柽柳景观格局时空演变时变维数特征无标度区间数据挖掘拟合径流侵蚀功率广义维数谱带反馈的显著性检测模型岩石力学属性选择属性规约局部显著区域尺度选择密度孔隙结构多集团多尺度分形城镇体系场景识别土地利用结构图像分析图像分割合成孔径雷达双毯法压力时间序列医学影像学区域差异分维分形美分形模型分形半乘积分形几何分形信息维数分形企业分形乘积分布格局关联维数元阳梯田交通网络 lyapunov指数

BOOK-时间序列的分形特性

去覆盖单位正方形。然后数一下每种尺寸的 ε m 盒子与 F ( n) 相交的个数 N m (ε ) 。 (3) 如果待求时间序列信号是一种分形信号，则双对数坐标系上 ln N (ε ) 对 ln ε 为一直线，时间序列的盒维数 DB 就由直线的斜率给出，或者是由对数比曲线的最小方差拟合直线的斜率给出。在图表 4-1中，使用 ε = 1 10 的小盒子把时间序列所在的单位正方形分成 100 个小方格。覆盖分形曲线带阴影的小盒数 N m (1 10) = 33 个，则在该尺度下的盒维数为：
DB (ε = 1 10) = log 33 = 1.518 − log(1 10)
(4.2)
这种看起来很简便的“数盒子”方法，有着理论和实践两方面的局限性。对于实际分形维的计算，只有分维小于二维或在二维附近，而相空间维数也不高时它才是可行的；
-4-
维数增高后，计算量迅速上升，以致很难得到收敛的结果。从理论上看，一个小盒子不管是包含了分形的一个点或是一批点，都算是非空的，可在 N m (ε ) 中占有一席之地，这就完全不能反映分形内部的不均匀性。 4.2.3 信息维数 DI 信息维数不是新的概念，早在 20 世纪 50 年代匈牙利数学家瑞奈(A. Renyi)就从概率论角度建立了定义，不过当时没有把它和分形联系起来。将计盒维方法中的小盒子编号，如果知道分形中的点落入第 i 只盒子的概率是 Pi ，那就可以写出用尺寸为 ε 的盒子进行测算所得的信息量为：
4.2.1 容量维数 DC ............................................................................................................... 3 4.2.2 计盒维数 DB ............................................................................................................... 3 4.2.3 信息维数 DI ................................................................................................................ 5 4.2.4 关联维数 D2 ................................................................................................................ 5 4.2.5 广义维数 Dq [2] ............................................................................................................ 5 4.3 4.4 4.5 4.6 分形布朗运动模型和小波分形维计算方法 ............................................................. 6 多尺度小波多分形模型[9-11] ...................................................................................... 8 基于小波模极大值的多重分形谱估计[12] .............................................................. 11 消除趋势波动分析(Detrended Fluctuation Analysis，DFA) ................................. 15

分形理论及其应用

•分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i

青海云杉(Picea crassifolia)种群格局的分形特征及其影响因素

青海云杉(Picea crassifolia)种群格局的分形特征及其影响因素张立杰;赵文智;何志斌【摘要】应用计盒维数、信息维数和关联维数对祁连山主要森林类型青海云杉(Picea crassifolia)种群空间格局进行的研究表明:青海云杉种群格局计盒维数在0.992～1.938之间,平均值为1.716,信息维数在0.996～1.860之间,平均值为1.632, 关联维数在1.418～1.759之间,平均值为1.568.计盒维数与样地海拔和土壤水分含量呈显著的负相关,与样地坡向呈显著的正相关,信息维数与样地海拔呈显著负相关而与坡向呈显著的正相关,关联维数与样地坡度呈显著的负相关,主成分分析表明,海拔和土壤含水量是影响青海云杉种群格局分形维数第一主成分,坡向是第二主成分,坡度是第三主成分,这3个主成分累计解释率为87.6%.【期刊名称】《生态学报》【年(卷),期】2008(028)004【总页数】7页(P1383-1389)【关键词】青海云杉(Picea crassifolia);种群格局;分形特征;计盒维数;信息维数;关联维数;环境因子【作者】张立杰;赵文智;何志斌【作者单位】中国科学院寒区旱区环境与工程研究所临泽内陆河流域研究站,寒旱区流域水文及应用生态实验室,兰州,730000;中国科学院寒区旱区环境与工程研究所临泽内陆河流域研究站,寒旱区流域水文及应用生态实验室,兰州,730000;中国科学院寒区旱区环境与工程研究所临泽内陆河流域研究站,寒旱区流域水文及应用生态实验室,兰州,730000【正文语种】中文【中图分类】Q948种群格局研究一直是生态学研究的热点之一，在研究个体、种群格局方面均有成熟的研究方法 [1～6]，但研究结果对取样尺度的依赖性很强，不同尺度范围上的研究结果有时会存在很大差异[7]，这种不确定性的存在，使种群格局尺度变化特征研究显得尤为必要。

分形几何 (fractal geometry)是目前国际上广为应用的非线性模型, 它能够对个体随尺度变化的特征给予刻画[8～10]。

维数理论解析复杂网络结构特性

维数理论解析复杂网络结构特性一、维数理论概述维数理论是数学中用于描述和分析复杂系统和网络结构特性的一个重要工具。

它起源于拓扑学中的维数概念，但随着研究的深入，已经扩展到了更广泛的领域，包括网络科学、物理学、生物学等。

维数理论的核心在于通过量化的方式来揭示系统的内在复杂性，从而为理解和预测系统行为提供理论基础。

1.1 维数理论的基本概念维数是描述一个对象或系统复杂性的量度。

在传统的几何学中，维数是一个直观的概念，例如点是零维的，线是一维的，平面是二维的，而三维空间则包含了我们日常生活中所接触的大部分物体。

然而，在复杂网络结构中，维数的概念需要被重新定义和扩展。

1.2 维数理论的应用领域维数理论在多个领域都有广泛的应用。

在物理学中，它被用来研究分形和多体系统；在生物学中，用于分析生物网络的结构和功能；在网络科学中，维数理论则帮助我们理解网络的拓扑特性和动态行为。

通过维数理论，我们可以量化网络的复杂性，预测其可能的演化趋势。

二、复杂网络结构特性分析复杂网络是一类由大量节点和边组成的系统，其结构特性通常表现出非线性、自组织和动态演化等特点。

维数理论在分析这些网络结构特性时发挥着重要作用。

2.1 复杂网络的结构特性复杂网络的结构特性包括节点度分布、聚类系数、路径长度、小世界特性、无标度特性等。

这些特性共同决定了网络的全局和局部行为。

例如，节点度分布可以揭示网络中节点连接的不均匀性；聚类系数则反映了网络中节点群聚的程度；路径长度和小世界特性则描述了网络中信息传播的效率。

2.2 维数理论在复杂网络中的应用维数理论在复杂网络中的应用主要体现在以下几个方面：- 度量网络的复杂性：通过计算网络的维数，可以量化网络的复杂性，为网络的分类和比较提供依据。

- 揭示网络的自相似性：分形维数是描述网络自相似性的一个重要指标，它揭示了网络在不同尺度上的重复模式。

- 预测网络的动态演化：维数理论可以帮助我们理解网络结构如何随时间演化，预测网络可能的发展趋势。

广义分形维数的参数

广义分形维数的参数
广义分形维数（也称为Minkowski-Bouligand维数或箱计数维数）是用来描述分形结构复杂度的参数之一。

这个维数通常用来度量一个对象的空间维度，尤其是对于那些不规则的、复杂的几何形状。

广义分形维数可以根据不同的测量方法和上下文而有不同的定义，但通常有两种常见的参数：
1. 盒子计数参数（Box-Counting Dimension）：这是最常见的广义分形维数定义之一。

它涉及到将一个空间分成较小的盒子，然后计算分形对象占据的这些盒子的数量。

这个定义通常用D表示。

在这种情况下，广义分形维数D可以通过以下公式计算：
D = lim (log(N) / log(1/ε))
其中N是分形对象在ε尺度下的盒子数，ε是盒子的尺寸，lim 表示当ε趋于0时的极限。

2. 信息维数参数（Information Dimension）：这个参数更侧重于描述分形对象的信息内容。

信息维数通常用Df表示，它可以通过以下公式计算：
Df = -lim (log(P(ε)) / log(ε))
其中P(ε)是分形对象上ε尺度下的盒子覆盖概率，lim表示当ε趋于0时的极限。

需要注意的是，广义分形维数的计算方法可以因研究问题而有所不同，因此具体的参数和计算方式可能会根据上下文和应用而变化。

这些参数通常用于分析分形几何对象，以了解它们的复杂性和自相似性。

统计自相似和分数维度

统计自相似和分数维度00分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。

整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。

例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。

但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。

特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。

维数和测量有密切关系。

如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。

如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。

这就表明，用n维的标准体ln去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。

如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。

分数维也是按照这个要求来定义的。

由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。

通常用的是“容量维”。

简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。

一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。

所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为1.2618，这看来是理所当然的。

海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。

贵州雷公山秃杉种群格局的分形特征——信息维数

分形几何作为研究空间变异的工具，定量分析空间变是异的有效尝试 … 。利用它来研究种群空间分布格局的变化１规律，是种群格局的扩展和深人。种群格局具有多方面的分
Ａｓｂ嘣Ｉｅｆｃｌｒｐｒｅｆｐｔｌａｔａｕｕ￣／ｕ／ａＧｕｓｎｐｐｌｔｎｉｅｏｇＭｏｎａｎｏＧｉｏ１ｒｔｏｅｔｓｏａｉｔｒｏＴ／ｕ／ｓｎａｓｅｏｕｉｎｔｉｎ１ａａｐｉｓａｐｅｆｎｘｏａａｏｇｕｔｉｕｚｕ眦ｆｈｓｄｅｉｎｏｔｎｔｉｕｄｗｔｆｒｉｈｉｍａｏ
ｃ￣ｍｉ —ｙｅ．ｈｎｏｏｔｔｐｓｅｉｆｍｍｔｎｄｍｅｓｏｕｎｉｅｈｃｌｅｒｅｏａｔｒｎｅｓｔｎｉｃｏｅｈｎｖｎｅｓｏｎｉｉｕｌｄｓｒｕｉｎｎｏ— ｙＩｉｉｎｉｎｑａｔｄｔｅｓａｅｄｇｅｆｐｔｅｉｔｎｉａｄｄｓｌｓｄｔｅｕｅｅｎｓｆｉｄｖｄａｉｔｂｔＩｆｒｏｉｆｎｙｉｏｒｔｎｄｍｅｓｏａｕｔｅｆｒｑａｔｔｔｅｙｄｓｒｂｎｒｃａｈｒｃｅｉｔｓｏｉｔｂｔｎｐｔｒｆＴｗａａ＿上ｕｓｎｐｐｌｔｎ．ｍｉｉｎｉｎｗｓｓｉｂｌｏｕｎｉｉｌｅｃｉｉｇｔｆａｔｌｃａａｔｒｓｉｆｄｓｒｕｉａｔｎｏｍ＇ｎ／０ｓｍＧａｓｅｏｕａｉｏａａｖｈｅｃｉｏｅｚｃｏ
（．１凯里学院生物科学技术系，贵州凯里５６０；．５００２西南师范大学生命科学院，重庆４０１；．０７５３三峡库区生态环境教育部重点实验室，重庆４０１）０７５

基于信息维数的复杂网络自相似性研究

．
ｏｏｌｘｅｗｏｋｓｒｓａｃｅａｅｎｔｅｃｎｅｔｏｒｃａ，ｅｉｅ．ｈｈ￣ｇｆｖｌｍｅｄｍｅｓｏｓｌｅｅｒｄｔｆｃｍｐｅｎｔｒｓｉｅｅｒｈｄｂｓｄｏｈｏｃｐｆｆａｔｌｂｓｄｓｔｅｓｏａｅｏｏｕｉｎｉｎｉａｓｒｆｒｏｏｅ
ｄｍｅｓｎＣｍｐｔｒＥｇｎｅｉｇａｄＡｐｃｆｎ，０７４（５：０－１．ｉｎｉ．ｏｕｅｎｉｅｒｎｐｆａｏｓ２０，３１）１８１０ｏｎｉｉ
ＡｂｔａｔＴｉａｅｅｃｂｓｔｅｓｌ— ｉｌｒｙｍｏｅｆｃｍｐｅｎｔｏｋｂｓｄｏｅｏｍａｉａｉｎｒｃｄｒＳｌ－ｉｌｒｖｓｒｃ：ｈｓｐｐｒｄｓｒｅｈｅｓｉｆｍｉｉｄｌｏｏｌｘｅｗｒｓａｅｎｒｎｒｌｔｐｏｅｕｅｅＳｍｉｉａｔｚｏｆａｔ
ｎｔｏｋｏｅｏｊｃ．ｈａｕｅｍｔｏｓｏｅ —ｉｉｒｙａｄｓｕａｏｅｕｔａｉｎＷｅｐｖｈｏｅｔｅｓｏｈｅｒｓｍｒｂｅｔｅｍｅｓｒｅｄｆｓｌｓｌｉｎｉｌｉｒｓｌｒｇｅ．ｒｅｔｅｃｒｃｎｓｆｔｅｗＴｈｆｍａｔｍｔｎｓｅｖｏ
ＴＡＯａ — ａ，ＩＳｈｏｈｕＬＵＹｕ— ｕａ，ｈＸＵＫａ — ａ，ｉｈｕ２ＨＵＡＮＧＨａｏ

浑善达克沙地南缘小叶锦鸡儿种群格局的分形特征分析

浑善达克沙地南缘小叶锦鸡儿种群格局的分形特征分析摘要应用分形理论中的计盒维数、信息维数和关联维数分形维数探讨了浑善达克沙地南缘小叶锦鸡儿种群分布格局的多尺度分布规律,研究表明:小叶锦鸡儿种群格局计盒维数、信息维数、关联维数分别为0.960、0.927、1.357。

这表明该种群个体占据空间的能力不高,非均匀程度不强,格局强度尺度变化不强烈,具有较低的结构复杂性,种群有趋向于集群分布的形式。

关键词小叶锦鸡儿;种群格局;空间占据;分形维数;浑善达克沙地南缘中图分类号s793.9文献标识码a文章编号1007-5739(2009)15-0194-01为避免单一分形维数分析的片面性,笔者综合运用计盒维数、信息维数和关联维数3种分析方法对小叶锦鸡儿种群格局的尺度变化特征分别进行了比较综合分析,掌握种群的多尺度分布规律,揭示其占据空间资源的能力和生态适应力。

1研究区概况与研究方法1.1研究区概况浑善达克沙地南缘的正镶白旗布日都苏木地区位于北纬42°35′、东经114°47′,海拔1 180～1 305m,属温带大陆性气候,年平均降水量300～360mm,年平均温度1.9℃,年平均风速4.0~4.1m/s。

天然植被为沙生植被类型,主要以小叶锦鸡儿(caragana microphylla)、虫实(corispermum spp)和沙米(agriophllum squanosm)为主,盖度为15%左右。

土壤为基质疏松、贫瘠的流沙,土壤粒径较粗。

1.2研究方法取样点设在浑善达克沙地南缘的正镶白旗布日都苏木半流动沙地上。

在面积为50m×50m的区域内,标定x轴和y轴,对样地内小叶锦鸡儿灌丛进行高度、冠幅和空间位置调查。

分形维数采用计盒维数、信息维数、相关维数计算[1-3]。

2结果与分析2.1小叶锦鸡儿种群格局的计盒维数分析理论上,种群占据全部生态空间时计盒维数应为2,其余下的维数为生态间隙维,而计盒维数为其生态占据维。

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2.2.3信息维数
信息维数来自于信息熵。

美国贝尔实验室工程师Shannon在信息论中提出信息熵，用来实现对平均信息量的定量描述。

城市在土地利用方面实际上也是一个信息的复杂体，因此，地理学家将Shannon信息熵引入到对城市土地利用研究，提出土地均质度这一概念（许学强等，1996）；陈彦光等（2001）将信息熵进一步扩展为信息维数。

对于信息维数这一较新的概念，它在描述城市地理系统各类用地在空间分布均衡性上有其显著的优势；但由于其计算比较复杂，目前关于信息维数的应用仍然不多，大多研究者都仍采用信息熵和均衡度来描述土地利用空间格局（赵晶等，2005；陈志，2006；苏海明，2006；匡文慧等，2007）。

但是，信息熵作为土地利用系统的重要状态特征量，只能从绝对数值上对区域土地利用系统的有序程度进行度量，不同用地之间信息熵和不同尺度上的信息熵是不具备可比性的，本文的研究则利用信息维数这一具有可比性的相对量来反映城市土地利用空间分布的内部均衡性。

设城市土地总面积为A，根据土地利用现状将其分为n种用地类型，假设各
种用地类型的面积分别为：Ai（i=1,2,3,...,n）并有∑
=
= =
n
i
i
n
i
A
A
1
)
,...,
3,2,1
(，则各
种土地利用类型的面积百分比为：
)
...
3,2,1
(n
i
A
A
p
i
i
=
=
（公式2-14）
显然有1
=
∑
i
i
P，则根据Shannon的信息熵可以推出城市土地的信息熵为：
)
...
3,2,1
(
ln
1
n
i
P
P
H
i
n
i
i
=
-
=∑
-
（公式2-15）
公式2-15中，H为城市土地利用的信息熵。

可以看出，0
≥
H，其大小反映各用地类型的多少和相互之间的面积均衡程度。

熵值H越高，表明用地类型越多，各类型的面积相差越小，土地利用系统越呈现无序状态；相反，熵值H 越低，表明用地类型越少，各类型的面积相差越明显，土地利用系统就越表现出
有序状态。

当n P i 1=时，即各种土地利用类型在该区域出现的可能性相等时，H 值达到最大m H ：
n H m l o g =
（公式2-16）
由式2-15计算出的信息熵，实际上是对区域土地利用系统有序程度从绝对数值上进行度量，所以，不同用地之间信息熵和不同尺度上的信息熵是不具备可比性的。

在城市土地利用空间格局的研究中，人们更关心通过具有可比性的测度表征城市土地利用空间格局内部的分布状态，信息维数就具有这个特点。

为了计算信息维数，先对城市用地按某一尺度ε网格化，若某类用地的面积为I A ，假定第i 行，第j 列的网格中该类用地的面积为I ij A ，可得该类用地的空间分布概率为：
I I ij ij A A P =
（公式2-17）则该类用地的空间信息量可以表示为：
∑∑-=j ij ij i P P I ln （公式2-18）
改变网格尺度为(2,3...)i i n ε=，得到不同尺度的信息量()i I ε，可以建立信息维数求解的回归模型：
i i D I I εεln )(0-=
（公式2-19）
公式（2-19）中，0I 为初始熵，D 为信息维。

虽然信息量随网格尺度而变，但是，信息维数在一定时空条件下是一定的。

理论上，D 值变化于0-2之间：
当0=D 时，土地利用的空间格局表现为集中于一点；
当2=D 时，维数最大，土地利用的空间格局呈均匀分布。

当20<<D 时，维数越大，土地利用形态越均衡；反之，维数越小，土地利用形态越集中。

城市土地利用空间格局的信息维数计算比较复杂，关键是计算信息熵。

对分类后生成的M ⨯N 个网格的栅格图利用空间抽样，分别以尺度为n εεε,,,32 的抽样网格对栅格图进行处理，要求n εεε,,,32 都能整除初始网格尺度r ；若以尺度ε抽样，某种用地的网格总数为I A ，第i 行，第j 列的抽样网格中属于该类用地的
网格数为I ij A ，则根据公式（2-17）可得到该类用地的空间分布概率ij P ；计算出所有抽样网格中该类用地的空间分布概率后，按公式（2-18）即可计算出该类用地的信息熵()εI 。

改变采样网格的尺度ε，就可以得到该类用地不同尺度下的信息熵()εI ，根据点列（εln ，()εI ）绘制散点图，按公式（2-19）双对数坐标图利用最小二乘求得的斜率即为该类用地的信息维数。