数学---河北省沧州市沧州一中2016-2017学年高一(下)第二次月考试卷(解析版)

河北省沧州市区沧州一中2016-2017学年高一（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（5分）在数列{a n}中，a1=4，a n+1=2a n﹣1，则a4等于（）A．7 B．13 C．25 D．492．（5分）在△ABC中，a=2，b=，c=1，则最小角为（）A．B．C．D．3．（5分）圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa24．（5分）设m，n∈R，给出下列结论：①m＜n＜0则m2＜n2；②ma2＜na2则m＜n；③＜a则m＜na；④m＜n＜0则＜1．其中正确的结论有（）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④5．（5分）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则以下能够推出α∥β的是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l26．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱）的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）若关于x，y的不等式组表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）8．（5分）已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A． B．6C．8D．69．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．10．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b cos A+a cos B=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π11．（5分）在△ABC中，tan A，tan B，tan C依次成等差数列，则B的取值范围是（）A．（0，]∪（，] B．（0，]∪（，]C．[）D．[，）12．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如图，E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体与过E，F，G的截面平行的棱的条数是．14．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则的值是．15．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知在各项为正的数列{a n}中，a1=1，a2=2，，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知（Ⅰ）当a=时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．18．（12分）2013年4月20日，四川省雅安市发生7.0级地震，某运输队接到给灾区运送物资任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t救灾物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型车16次，B型车12次，每辆卡车每天往返的成本为A型车240元，B型车378元，问每天派出A型车与B型车各多少辆，运输队所花的成本最低？19．（12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？20．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．21．（12分）已知数列{a n}，S n是其前n项的和，且满足3a n=2S n+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{a n+}为等比数列；（Ⅱ）记T n=S1+S2+…+S n，求T n的表达式．22．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cos A=，cos C=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．C【解析】由a n+1=2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，公比为2，首项为3．∴a n﹣1=3×2n﹣1．即a n=3×2n﹣1+1．则a4=3×23+1=25．2．B【解析】由题意，C最小，根据余弦定理可得cos C===，∵0＜C＜π，∴C=．3．C【解析】设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S，则∠ASO=30°，设圆台的上底面半径为r，则SA′=2r，OA=2r，SA=4r，∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a，∴r=a，∴圆台的上下底面积S=πr2+π（2r）2=5πr2=5πa2．4．A【解析】①m＜n＜0则m2＞n2，因此①不正确．②ma2＜na2，则a2＞0，可得m＜n，因此②正确；③＜a，则m＜na或m＞na，因此不正确；④m＜n＜0，则＜1，正确．其中正确的结论有②④．5．B【解析】若m∥l1，则l1∥α，若n∥l2，则l2∥α，又l1，l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β．6．B【解析】设球的半径为r，则4πr2=6π，∴r=，∴球的直径为2r=，设正四棱柱的底面边长为a，则=，∴a=1，∴正四棱柱的体积V=a2•2=2．7．C【解析】画出不等式组对应的可行域如图：要使可行域为三角形，需要直线y=ax的斜率a在﹣1与1之间，即﹣1＜a＜1，则a的取值范围是（﹣1，1）．8．D【解析】如图，根据三视图间的关系可得BC=2，∴侧视图中VA==2，∴三棱锥侧视图面积S△ABC=×2×2=6.9．A【解析】令函数f（x）=x2+ax﹣2，若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上无解，则，即，解得．所以使的关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a的范围是（，+∞）．10．C【解析】∵b cos A+a cos B=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=2，整理解得：c=2，又∵，可得：sin C==，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R===6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．11．D【解析】由已知得2tan B=tan A+tan C＞0（显然tan B≠0，若tan B＜0，因为tan A＞0且tan C＞0，tan A+tan C＞0，这与tan B＜0矛盾），又tan B=﹣tan（A+C）=，所以tan A tan C=3．又（2tan B）2=（tan A+tan C）2=tan2A+tan2C+2tan A tan C≥4tan A tan C=12，因此tan2B≥3，又tan B＞0，所以，，即B的取值范围是[），12．D【解析】△ABC中，，设A、B、C所对边分别为a，b，c，则c•b•cos A=a=8①；所以△ABC的面积为：S△ABC=bc sin A=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2﹣2bc•cos A=a2=64②，由①②消掉cos A得b2+c2=80，所以b2+c2≥2bc，bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号，所以S△ABC=≤=8，所以△ABC面积的最大值为8．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．2【解析】如图，E、F分别为四面体ABCD的棱BC、CD的中点，∴EF是△BCD中位线，∴BD∥EF，∵BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG∴BD∥平面EFG，同理AC∥平面EFG．故此四面体与过E，F，G的截面平行的棱的条数是2．故答案为：2．14．【解析】∵，∴=6×，整理可得：3c2=2（a2+b2），∴=．故答案为：．15．{a|a≤﹣6，或a≥2}【解析】∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．16．﹣3【解析】∵，∴a n a n+1=2n．∴=，可得=2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．则=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）﹣21010=+﹣21010=﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（I）当时，有不等式，∴，∴不等式的解为：（II）∵不等式当0＜a＜1时，有，∴不等式的解集为；当a＞1时，有，∴不等式的解集为；当a=1时，不等式的解为x=1．18．解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，则A型车每天运物96x（0≤x≤8）吨，每天往返成本费240x元；B型车每天运物120y（0≤y≤4）吨，每天往返成本费378y元；公司总成本为z=240x+378y，满足约束条件的可行域如图示：由图可知，当x=8，y=﹣0.4时，z有最小值，但是A（0，﹣0.4）不合题意，目标函数向上平移过C（7.5，0）时，不是整解，继续上移至B（8，0）时，z=240×8+378×0=1920有最小值，最小值为1920元．即当每天应派出A型车8辆、B型车0辆，能使公司总成本最低，最低成本为1920元．19．解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为：0.5x2（0＜x≤50），从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本：，（0＜x≤50）故所求的函数为：，（0＜x≤50）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当且仅当，即x=40时取等号．故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．20．证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．21．（Ⅰ）证明：∵3a n=2S n+n，∴3a n﹣1=2S n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得：3（a n﹣a n﹣1）=2a n+1（n≥2），∴a n=3a n﹣1+1（n≥2），∴a n+=3（a n﹣1+），又a1+=，∴数列{a n+}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a n+=•3n﹣1=•3n，∴a n=•3n﹣=（3n﹣1），∴S n=[（3+32+…+3n）﹣n]=（﹣n）=﹣，∴T n=S1+S2+…+S n=（32+33+…+3n+3n+1）﹣﹣（1+2+…+n）=•﹣﹣=﹣．22．解：（1）在△ABC中，因为cos A=，cos C=，所以sin A=，sin C=，从而sin B=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．。