关于予解式的收敛性
关于解一类奇异非线性方程组的牛顿法的收敛性
关于解一类奇异非线性方程组的牛顿法的收敛性杨家岭;曹德欣【摘要】Moore-Penrose inverse was used to construct Newton’ s method for solving a class of singular nonlinear equations. The local and semilocal convergence were established, and the radius of conver-gence ball was also obtained. The validity of the algorithm was indicated by a numerical example.%对一类奇异非线性方程组，运用Moore-Penrose广义逆建立牛顿迭代法，分析了其局部收敛性、半局部收敛性以及收敛半径的估计，数值例子也表明了算法的有效性。
【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】奇异非线性方程组;牛顿法;Moore-Penrose逆;半局部收敛【作者】杨家岭;曹德欣【作者单位】中国矿业大学理学院江苏徐州221116;中国矿业大学理学院江苏徐州221116【正文语种】中文【中图分类】O241许多应用数学和工程问题都可归结为对非线性方程组的求解[1-3], 其中也存在着大量的奇异非线性方程组, 并且引起了人们的广泛关注[4-7].作者考虑如下形式的奇异非线性方程组的求解问题：这里F:D⊂Rn→Rm, F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T, x=(x1,x2,…,xn)T, n≤m.牛顿迭代格式及其变形是求解非线性方程组最有效的方法. 关于牛顿法的收敛性有两个最为重要的结果：一是著名的Kantorovich定理[8], 其半局部收敛性定理及证明方法对迭代法的研究产生了深远的影响；二是Smale点估计理论[9], 该定理给出了仅依赖于算子在初始点的信息来逼近零点的判断依据. 关于牛顿法收敛半径的估计还可以参见文献[10-11].对于方程组(1)而言, F的Frechet导算子DF(xk)不一定可逆, 尤其是当n<m时, DF(xk)是长方形矩阵, 没有通常意义下的逆矩阵, 此时运用Moore-Penrose逆建立如下的牛顿迭代格式:格式(3)的不动点x*是方程组F(x)=0的最小二乘解, 但若DF(x*)是满秩, 则x*是方程组F(x)=0的解.对于n≥m情况下的奇异问题，文献[4-7]已经进行了详细的论述, 特别是文献[7]对F在初始点x0∈D处的Jacobian矩阵J(x0)为行满秩的条件下研究了(3)式的收敛性. 那么, 对于n≤m情况下的奇异问题, 在J(x0)对应为列满秩的条件下是否有相关的结论呢?在研究方法上与文献[7]又有何异同?由于列满秩的J(x0)与行满秩的J(x0)所对应的Moore-Penrose逆矩阵的性质有很大差异, 所以要想得到相关的结果就必须在方法上另找出路. 作者将重新定义Lipschitz条件, 在DF(x*), DF(x0)为列满秩, DF(x)DF(x*)†及DF(x)DF(x0)†满足新定义的Lipschitz条件下, 求解奇异非线性方程组(1)的牛顿迭代格式(3)的收敛判据, 并得出了(3)式的局部收敛性、半局部收敛性和收敛半径的估计.设A∈Rm×n, 则A†称为A的Moore-Penrose逆, 若下列4个等式成立:令ker A和Im A表示A的核与象,∏E表示Rn在子空间E⊂Rn上的正交投影, E⊥表示E在Rn上的正交补空间. 则有当A为列满秩时，有更多关于Moore-Penrose逆的结果可参见文献[12].另外,令B(x,r), 分别表示在Rn中以x为球心r为半径的开球和闭球. 下面给出一些定义与引理.定义1 设常数L>0, 实数r>0, x*∈Rn且DF(x*)为列满秩，则称DF(x)DF(x*)†在B(x*,r)中满足关于L的中心Lipschitz条件, 若引理1 设为列满秩且DF(x)DF(x*)†在B(x*,r)中满足关于L的中心Lipschitz条件, 则对任意一点x∈B(x*,r), DF(x)为列满秩.证明由(6)式可以得到由Banach引理得到IRm-(DF(x*)-DF(x))DF(x*)†可逆, 注意到所以因此∏(Im DF(x*))⊥+DF(x)DF(x*)†可逆,根据(5)式，及又因为DF(x*)为列满秩, 从而对任意一点x∈B(x*,r), DF(x)为列满秩.引理2[12] 设A∈Rm×n,rank(A+E)=rank(A)且‖A†‖2‖E‖2<1,则引理3[12] 设A∈Rm×n, 则rank(A)=ran k(A†); 再若A为列满秩或行满秩, 则有即列满秩或行满秩矩阵的Moore-Penrose广义逆具有连续性.定理1 设F的一阶Frechet导数连续, x*∈D, F(x*)=0, DF(x*)为列满秩, 且DF(x)DF(x*)†在B0=B(x*,r0)⊂D中满足关于L的中心Lipschitz条件,则存在开球B(x*,r), 使得对任一x0∈B(x*,r)由迭代格式(3)产生的点列{xk}有定义且收敛到x*. 证明令‖DF(x*)†‖=β, 由DF(x)的连续性知, DF(x)在上一致连续, 故对给定的及任意的存在δ, 只要‖x′-x″‖<δ, 就有当然对∀x∈B(x*,δ)，也有因为DF(x)DF(x*)†在B0中满足关于L的中心Lipschitz条件,所以由引理1得到对∀x∈B(x*,⊂为列满秩, 此时取,则DF(x)在B(x*,r) 上一致连续, 并对∀x∈B(x*,r), DF(x)为列满秩. 令A=DF(x*),E(x)=DF(x)-DF(x*), 则并且有所以根据引理2可得现任取x0∈B(x*,r), 假设由格式(3)产生的点xk∈B(x*,r), 并且根据DF(xk)†DF(xk)=IRn及Banach空间微分中值定理, 不等式(10)及DF(x)在B(x*,r)中的一致连续性可以得到由于所以故xk+1∈B(x*,r), 从而由格式(3)产生的序列{xk}⊂B(x*,r)，并且收敛于x*. 定理2 设F的一阶Frechet导数连续, x0∈D, DF(x0)为列满秩, 且DF(x)DF(x0)†在中满足关于的中心Lipschitz条件,且对∀，有则存在常数及M, 当‖DF(x0)†‖‖F(x0)‖时, 方程F(x)=0在中有解x∞存在, 并由迭代格式(3)产生的点列{xk}⊂且收敛于解x∞, 并且有证明由于DF(x)DF(x0)†在)中满足关于的中心Lipschitz条件, , 故根据引理1得到DF(x)在中的每一点处皆为列满秩, 根据引理3可得对任意一点⊂为列满秩并且DF(x)†在连续且一致连续, 所以‖DF(x)†‖在有界设为N. 又α<1, 故存在ε0>0, 使得对所有有再由DF(x)的一致连续性知, 对上述的ε0, 存在δ′, 使得对∀只要‖x′-x″‖<δ′, 就有现取=min{r′,δ′}，将接下来的证明分为3个部分:(i) 对所有k=0,1,…, 下列两式成立:(ii) {xk}是Cauchy列, 其极限并且F(x∞)=0;(iii) ‖xk-x∞‖(i)的证明. 由定理2的假设知, 当k=0时,结论成立; 设j=1,…,k-1时结论成立, 即有由(17)得由(13)式M<1, 从而‖xk-x0‖这就证明了(16)式.由格式(3)得由于DF(xk-1)†DF(xk-1) =IRn, 故所以由(16), (14)和(11)得再由(13)和(17)式得到这样就根据数学归纳法证明了(15)式，从而证明了(i)的结论.(ii)的证明.当m≥n时, 由(15)式可得(→0, 当n→∞),从而{xk}是Cauchy列, 故存在极限x∞. 由结论得到又根据DF(x)†和F(x)在中的连续性得因为DF(x∞)†为列满秩, 从而F(x∞)=0.(iii)的证明. 由(19)式得定理2证毕.下面给出一个相关的数值例子：方程F(x)=0的精确解是x*=(1,1,0)T, 相应的Jacobian矩阵是且J(x*)为列满秩矩阵. 数值试验结果参见表1和表2.从表1可以看出实验数值稳定并逐渐趋向于方程组的解，并且从表2可知，如果初值选取恰当数值，收敛速度也较快. 另外, 从定理1和定理2的证明中可以看到, 若再有DF(x)关于某一常数满足Lipschitz条件, (11)式的条件再稍加强一些, 则可以得到格式(3)的更高阶的收敛性.【相关文献】[1] 贺婷婷，马飞遥.两个非线性偏微分方程强解的持续性质[J]．郑州大学学报：理学版，2015，47(1)：14-23．[2] Hernndez M A．Newton-Raphson’s method and convexity[J]．Zb Rad Prirod: Mat Fak Ser Mat，1992，22(1)：159-166．[3] Dedieu J P．Estimations for the separation number of a polynomial system[J]．J Symbolic Comput，1997，24(6)：683-693．[4] Decker D W，Keller H B, Kelley C T．Convergence rates for Newton’s method at singular points[J]．SIAM J Numer Anal，1983，20(2)：296-314．[5] Griewank A．On solving nonlinear equations with simple singularities or nearly singular solutions[J]．Siam Rev，1985，27(4)：537-563．[6] Allgower E L，Böhmer K．Resolving singular nonlinear equations[J]．Rocky Mount J Math，1988，18(2)：225-268．[7] 吴国桢，王金华．关于奇异非线性方程组的Newton法的收敛性[J]．浙江大学学报：理学版，2008，35(1)：27-31．[8] Kantorovich L V，Akilov G P．Functional Analysis[M]．Oxford: Pergamon Press，1982：536-544．[9] Smale S．Newton’s method estimates from data at one point[M]//Ewing R E，GrossK I，Martin C F．The Merging of Disciplines: New Directions in Pure, Applied and Computational Mathematics. New York: Springer，1986：185-196．[10]Traub J F，Wózniakowski H．Convergence and complexity of Newton iteration for operator equations[J]．J Assoc Comput Math，1979，26(2)：250-258．[11]王兴华．Newton 方法的收敛性[J]．科学通报：数理化专辑，1980，25(1)：36-37．[12]Wang Guorong，Wei Yimin，Qiao Sanzheng．Generalized Inverses: Theory and Computations[M]．Beijing: Science Press，2004：5-7．。
级数收敛证明方法总结
级数收敛证明方法总结级数收敛是数学中重要的概念之一，而证明一个级数是否收敛是数学研究中的一项基本任务。
在本文中，我们将总结一些常用的级数收敛证明方法，以便读者更好地理解和运用这些方法。
首先，我们介绍一些基本的概念。
对于一个级数∑an，我们定义其部分和为Sn=∑n=1nan。
当Sn的极限存在并有限时，我们称该级数收敛，反之称为发散。
接下来，我们将介绍一些常见的级数收敛证明方法。
1.比值判别法。
比值判别法是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过计算相邻两项的比值，来判断级数的收敛性。
具体而言，当limn→∞|an+1/an|<1时，级数收敛；当limn→∞|an+1/an|>1时，级数发散；当limn→∞|an+1/an|=1时，无法判断级数的收敛性。
2.根值判别法。
根值判别法也是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过计算某一项的n次方根，来判断级数的收敛性。
具体而言，当limn→∞|an|1/n<1时，级数收敛；当limn→∞|an|1/n>1时，级数发散；当limn→∞|an|1/n=1时，无法判断级数的收敛性。
3.积分判别法。
积分判别法是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过将级数中的项与某一函数的积分进行比较，来判断级数的收敛性。
具体而言，当级数∑an和函数f(x)满足以下条件时，级数收敛：f(x)单调递减、非负、连续，并且∫f(x)dx收敛；当级数∑an和函数f(x)满足以下条件时，级数发散：f(x)单调递减、非负、连续，并且∫f(x)dx发散。
4.夹逼定理法。
夹逼定理法是一种常用的证明级数收敛的方法。
其基本思想是通过找到两个已知的级数，一个发散且下降趋势趋于0，另一个收敛且上升趋势趋于该级数，来证明该级数收敛。
具体而言，设级数∑an收敛，且对于所有n都有a(n)<=b(n)<=c(n)。
如果级数∑b(n)收敛，级数∑c(n)发散，则级数∑a(n)收敛。
数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明
数学分析15.3傅⾥叶级数收敛定理的证明第⼗五章傅⾥叶级数 3收敛定理的证明预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅⾥叶系数.证：令S m (x)=2a 0+∑=+m1n n n sinnx )b cosnx (a ，则ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ-2(x )f dx-2?ππ-m (x )f(x )S dx+?ππ-2m (x)S dx. 其中 ?ππ-m (x )f(x )S dx=?ππ-0f(x)2a dx+dx cosnx f(x )a m1n ππ-n ∑?= ??+sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a . 由三⾓函数的正交性，有 ?ππ-2m (x )S dx=?∑??++=ππ-2m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ-2(x )f dx-2πa -2π∑∞=1n 2n2n )b +(a +20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a=?ππ-2(x )f dx-20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m1n 2n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx 对任何正整数m 都成⽴. ⼜ ?ππ-2(x)f π1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 的部分和数列有界，∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx.推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则cosnx f(x )limππ-n ?∞→dx=sinnx f(x )lim ππ-n ?∞→=0.证：由2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛知，2n 2n b +a →0 (n →∞)，∴a n →0, b n →0, (n →∞)，∴cosnx f(x )lim ππ-n ∞→dx=sinnx f(x )lim ππ推论2：若f 为可积函数，则x 21n sin f(x )lim πn ??? ??+?∞→dx=x 21n sin f(x )lim 0π-n ??? ?+?∞→dx =0. 证：∵x 21n sin ?+=cos 2x sinnx+sin 2xcosnx ，∴x 21n sin f(x )π??+?dx =sinnx 2x f(x )cos π0dx+cosnx 2x f(x )sin π0dx =sinnx (x )F ππ-1?dx+cosnx (x )F ππ-2?dx ，其中F 1(x)=≤≤<≤-πx 02x cos )x (f 0x π0，，；F 2(x)=??≤≤<≤-πx 02x sin )x (f 0x π0，，.可知F 1与F 2在[-π,π]上可积. 由推论1可知sinnx (x )F lim ππ-1n ?∞→dx=cosnx (x )F lim ππ-2n ?∞→=0. ∴x 21n sin f(x )lim π0n ??? ?+?∞→dx=0. 同理可证：x 21n sin f(x )lim 0π-n+∞→dx =0.预备定理2：若f 是以2π为周期的函数，且在[-π,π]上可积，则它的傅⾥叶级数部分和S n (x)可写成S n (x)=++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π当t=0时，被积函数中的不定式由极限 2t 2sint21n sin lim0t ??? ??+→=n+21确定. 证：在傅⾥叶级数部分和S n (x)=2a 0+sinkx )b +coskx (a n1k k k ∑=中代⼊傅⾥叶系数公式，可得：S n (x)=?ππ-f(u)2π1du +∑??=?????? ??n 1k ππ-ππ-sinkx sinkudu f(u)+coskx coskudu f(u)π1 =?∑+=ππ-n 1k )sinkusinkx +kx coskuducos (21f(u)π1du=?∑??+=ππ-n 1k x)-cosk(u 21f(u)π1du. 令u=x+t ，得S n (x)=?∑??++=x -πx -π-n 1k coskt 21t)f(x π1dt ，⼜被积函数周期为2π，且∑=+n 1k coskt 21=2t 2sint21n sin ??? ?+，∴S n (x)=++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt. (f 的傅⾥叶级数部分和积分表⽰式).收敛定理15.3证明：若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每⼀点x ∈[-π, π]，f 的傅⾥叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f0)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅⾥叶系数.证：记f 的傅⾥叶级数的部分和为S n (x)=++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt.∵???? ??+ππ-2t 2sin t 21n sin π1dt=?∑??? ??+=ππ-n 1k coskt 21π1dt=1；⼜上式左边为偶函数，∴两边同时乘以f(x+0)后得：20)f(x +=++ππ-2t 2sint21n sin 0)f(x π1dt.令φ(t)=-2t sin 20)f(x -t)f(x ++=-2t sin2tt 0)f(x -t)f(x ?++, t ∈(0,π].则φ(t)lim 0t +→=-f ’(x+0)·1=-f ’(x+0).再令φ(0)=-f ’(x+0)，则φ在点t=0右连续.⼜φ在[0,π]上⾄多只有有限个第⼀类间断点，∴φ在[0,π]上可积. 根据预备定理1的推论2，有2t 2sint21n sin t)]f(x -0)[f(x π1lim π0n ??? ??+++?∞→dt=t 21n sin φ(t)π1lim π0n ??? ??+?∞→dt=0，∴??????????????? ??+++?∞→dt 2t 2sin=0，同理可证??++-?∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n =0；∴??????????????? ??++++?∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)-f(x 0)f(x lim π0n=??++∞→(x )S -20)-f(x 0)f(x lim n n =0. 即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 习题1、设f 以2π为周期且具有⼆阶连续的导函数，证明f 的傅⾥叶级数在(-∞,+∞)上⼀致收敛于f.证：由f 在(-∞,+∞)上光滑，知f ’在[-π, π]上可积，且f ’的傅⾥叶系数为：a ’0=0；a ’n =nb n , b ’n =-na n , (n=1,2,…). ∴|a n |+|b n |=n |a |n '+n |b |n '≤)n 1a (2122n +'+)n 1b (2122n +'=)b a (212n 2n '+'+2n1. 由贝塞尔不等式知级数∑∞='+'1n 2n2n)b a (收敛，⼜级数∑∞=1n 2n1级数，由正项级数的⽐较原则知，2|a |0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，由定理15.1知f 的傅⾥叶级数在(-∞,+∞)上⼀致收敛于f.2、设f 为[-π,π]上的可积函数. 证明：若f 的傅⾥叶级数在[-π,π]上⼀致收敛于f ，则帕塞⽡尔等式成⽴，即?ππ-2(x)f πn 2n )b +(a ，其中a n , b n 为傅⾥叶系数.证：∵f 的傅⾥叶级数在[-π,π]上⼀致收敛于f ，∴f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .∴?ππ-2(x)f π1dx=?∑??+∞=ππ-1n n n 0sinnx)b +cosnx (a 2a )x (f π1dx =2a 2+?∑∞=ππ-1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a π1dx. ∵f 在[-π,π]上可积，∴f 在[-π,π]上有界. ∴∑∞=1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a 在[-π,π]上⼀致收敛.∴?ππ-2(x)f π1dx=2a 20+dx ]sinnx )x (f b +cosnx dx )x (f [a π1ππ-1n n ππ-n ?∑?∞=dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n π)b +π(a π1=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a .3、由于帕塞⽡尔等式对于在[-π,π]上满⾜收敛定理条件的函数也成⽴. 请应⽤这个结果证明下列各式：(1)8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1；(2)6π2=∑∞=1n 2n 1；(3)90π4=∑4n 1. 证：(1)对函数f(x)= πx 0 4π0x π- 4π-<≤<<，，在(-π, π)上展开傅⾥叶级数得： f(x)=∑∞=--1n 12n 1)xsin(2n ，其中a 0=a n =0，b n =2n )1(1n --，n=1,2,…；根据帕塞⽡尔等式有?ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =∑∞=1n 2n 2n (-1)-1=∑∞=1k 21)-(2k 1，⼜?ππ-2(x)f π1dx=?ππ-216ππ1dx=8π2，∴8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1(2)对函数f(x)=x 在(-π, π)上展开傅⾥叶级数得：f(x)=2∑∞=+-1n 1n nsinnx)1(. 其中a 0=a n =0，b n =n)1(21n +-，n=1,2,…；根据帕塞⽡尔等式有ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =4∑∞=1n 2n 1，⼜?ππ-2(x)f π1dx=?ππ-2x π1dx=32π2，∴32π2=4∑∞=1n 2n1，即6π2=∑∞=1n 2n 1.(3)对函数f(x)=x 2在(-π, π)上展开傅⾥叶级数得：f(x)=31π2+4∑∞=1n 2n n cosnx (-1). 其中a 0=32π2，a n =2n n 4(-1)，b n =0，n=1,2,…；根据帕塞⽡尔等式有?ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2 n a =92π4+16∑∞=1n 4n 1，⼜ππ-2(x)f π1dx=?ππ-4x π1dx=32π2，∴52π4=92π4+16∑∞=1n 4n 1，即90π2=∑4n 1.4、证明：若f,g 均为[-π,π]上的可积函数，且它们的傅⾥叶级数在[-π,π]上分别⼀致收敛于f 和g ，则?ππ-f(x)g(x)π1dx=2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (，其中a n , b n 为f 的傅⾥叶系数，αn ,βn 为g 的傅⾥叶系数. 证：由f 的傅⾥叶级数在[-π,π]上⼀致收敛于f ，有f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . ∵f,g 均在[-π,π]上可积，∴∑∞n n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a 在[-π,π]上⼀致收敛.∴?ππ-f(x)g(x)π1dx=?ππ-0g(x)2a π1dx+∑?∞=1n ππ-n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a π1dx=2αa 00+∑??∞=1n ππ-ππ-n n x g(x )sinnx d π1b +x g(x )cosnx d π1a =2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (.5、证明：若f 及其导函数f ’均在[-π,π]上可积，?ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，且帕塞⽡尔等式成⽴，则?'ππ-2(x )]f [dx ≥?ππ-2[f(x )]dx.证：设a 0,a n ,b n 为f 的傅⾥叶系数；a ’0,a ’n ,b ’n 为f ’的傅⾥叶系数. 由?ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，有a ’0=a 0=0; a ’n =nb n ,b ’n =-na n .根据帕塞⽡尔等式，有?ππ-2[f(x)]π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a =∑∞=1n 2n 2n )b +(a ， ?'ππ-2(x)]f [π1dx=2a 20'+∑∞=''1n 2n 2n )b +a (=∑∞=1n 2n 2n 2)b +(a n ≥∑∞=1n 2n 2n )b +(a =?ππ-2[f(x)]π1dx. ∴?'ππ-2(x )]f [dx ≥?ππ-2[f(x )]dx.。
(整理)第五节收敛准则
第五节收敛准则一、收敛准则我们希望，当单元的划分逐渐加密的时候，位移、应变和应力能收敛到精确值，而且收敛得越快越好。
这样就要求所选择的位移模式满足某些条件：1. 位移模式必须包含单元的刚体位移和单元的常应变。
——该条件是收敛准则的必要条件，称为完备条件。
满足该条件的单元称为完备单元。
当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。
这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。
每个单元的应变一般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的，即所谓的常应变。
从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常数。
除非我们的位移模式包含着这些常应变，否则就没有可能收敛与正确解。
例题6 试证明3节点三角形单元是完备单元。
证明：3节点三角形单元的位移模式123546u x y v x y αααααα⎧⎪⎨⎪⎩=++=++ （3-1）1. 单元刚体运动时，有 0x y x y εεγ=== ，即0,0,0du dv du dv dx dy dy dx==+= 代入式（3-1），得i 图3.18 52630,0,0αααα==+=则有55533313115342222u y y y y v x ααααααααααααα⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-+-=+=-+=--=+ （a ）设三角形单元沿x 轴的刚体平移u 0和y 轴的刚体平移v 0，三角形单元绕z 轴作刚体转动w 0角度。
由于w 0引起单元内任意点A(x,y)的位移0000:sin :cos x u r y y v r xωθωωθω=-=-'==' 则A(x,y)点的总位移为000000u u u u y v v v v x ωω⎧⎪⎨⎪⎩=+=-'=+=+' （b ）比较（a ）式和（b ）式，得5310400,,2u v ααααω-===这说明位移模式包含单元的刚体位移。
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
波动方程和热方程初值问题级数解的收敛性
第39卷 第1期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.1 2019年 1月 Journal of Science of Teachers′College and University Jan. 2019文章编号：1007-9831（2019）01-0004-03波动方程和热方程初值问题级数解的收敛性顾新丰，姚洪亮（南京理工大学 理学院，江苏 南京 210094）摘要：给出了波动方程初值问题级数解的收敛性证明，以及热方程初值问题级数解不收敛的反例． 关键词：波动方程；热方程；级数解；收敛性中图分类号：O175.24 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.01.002The convergence property of series solutions of the initial-value problems ofwave equation and heat equationGU Xin-feng，YAO Hong-liang（School of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）Abstract ：Gives the proof of convergence of the series solution of the initial-value problem of wave equation，and also the counter example for which the series solution of the initial-value problem of heat equation doesn ′t converge. Key words ：wave equation；heat equation；series solution；convergence1 引言及预备知识数学物理方程是数学的一门重要分支，其考虑的问题一般都具有实际意义，在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用．其解决问题的方法多种多样，常见的有分离变量法、积分变换法、行波法、格林函数法、能量积分法和极值原理等[1-4].考虑数学物理方程中的２个经典问题，即波动方程和热传导方程的初值问题2220(, 0)()(, 0)()u a u t ux x tu x x y j ì¶-D =ï¶ï¶ï=í¶ïï=ïî （1） 2(, 0)()u a u tu x x j ¶ì-D =ï¶íï=î （2） 其中：, 1, 2, 3n x n Î=R ；0t >．这2个经典问题都是有古典解公式的．对于问题（1），1n =时，解由达朗贝尔（d ′Alembert）公式给收稿日期：2018-08-10基金项目：江苏省自然科学基金项目（BK20171421）；南京理工大学高等教育教学改革研究项目（2017B22）作者简介：顾新丰（1980-），男，江苏启东人，助教，硕士，从事偏微分方程及大学数学教学研究．E-mail：xinfeng365@第1期 顾新丰，等：波动方程和热方程初值问题级数解的收敛性 5出，2, 3n =时，解由泊松（Poisson）公式给出[5]；对于问题（2），可利用傅里叶（Fourier）变换给出不同维数下解的统一积分表达式[6]68．这些解的公式是大部分数学物理方程教材的基本内容，这里不再赘述，但要指出的是，除了达朗贝尔公式以外，其它公式都涉及到复杂的积分，实际很难计算．Chen Hong-wei [7]354给出了问题（1）的一种级数解222100()(, )()()(2)!(21)!k k k k kk k at a t u x t x x k k j y +¥¥===D +D +åå （3）这里()1k k -D =D D ．而文献[6]除了给出古典解公式以外，还给出了问题（2）的类似级数解()20(, )()!kk k a tu x t x k j ¥==D å（4）式（3）和式（4）只涉及求导和四则运算，计算上非常方便，但由于是级数解，其收敛性是无法绕开的问题，但文献[6]和文献[7]都没有给出证明．由于涉及到初值j 和y 的任意阶导数，因此假设j 和y 是解析的．此时，级数（3）的收敛性是可以证明的，但是级数解（4）的收敛性恰恰出现了问题．教材[6]给出了定理：当()x j 是实解析函数时，问题（2）的解可以用级数表示成式（4）．但这实际上是有问题的．2 主要结果及证明定理1 设()x j 和()x y 在n R 上解析，则级数解（3）在任意点x 关于足够小的t 都绝对收敛．证明 令20()(, )()(2)!k k k at v x t x k j ¥==D å，2210(, )()(21)!k k kk a t w x t x k y +¥==D +å．只要证明级数(, )v x t 在任意点x 关于足够小的t 都绝对收敛，则(, )w x t 在任意点x 关于足够小的t 都绝对收敛类似可证，从而(, )(, )u x t v x t =+(, )w x t 也有一样的性质，定理得证．因为()x j 在点x 解析，参照文献[8]中引理4.1的证明，对任意的n 重指标()12, , , n n a a a =ÎL N a ，有()||12()!!!n x MRj a a a -£L a a ，其中：12n a a a =+++L a ；12||()12()nn x x x x aa a jj ¶=¶¶¶L a a ；, M R 是只依赖于x 的正常数．因为2222222211()()kn n x x x x x x j j æöæö¶¶¶¶D =++++ç÷ç÷ç÷ç÷¶¶¶¶èøèøL L L 展开后有kn 个()x j 的2k 阶偏导数()()x j a 项，故2212()!!!(2)!k k k k k n x n MR n k MR j a a a --D ££L ，这里用到了不等式()1212!!!!n n a a a a a a £+++L L ．于是(, )v x t 的通项的绝对值222222()()()(2)!(2)!(2)!kk k k k kat at na t x n k MR M k k R j -æöD £=ç÷èø．当t 足够小时，2221na t R <，故等比级数2220kk na t R ¥=æöç÷èøå收敛，再利用级数的比较判别法可知，(, )v x t 绝对收敛． 证毕．以维数1n =为例，给出级数解（4）不收敛的反例．取解析函数21()1x x j =+，此时，关键要算()x j 的任意阶导数．由于111()21i 1i x x x j æö=+ç÷+-èø，故 ()21212222(2)2121212(1)(2)!(1i )(1i )1(1)(2)!i (1)(2)!(i)()2(1i )(1i )21k k k k k k k k k k k k x x k k x x x x j +++++éù-++-éù---ëû=+=êú+-ëû+ 从而(2)(0)(1)(2)!k k k j =-．于是()()()22(2)201(0, )(0)(1)(2)!12(21)!!!!kkkk kk k k a t a t u t k a tk k k j¥¥¥=====-=+--ååå对于任意0t >，显然通项()22(21)!!ka t k --不趋于0，故级数（4）在点0x =对任意0t >都发散．6 高 师 理 科 学 刊 第39卷尽管初值的解析性并不能保证级数解（4）的收敛性，但是由于教材[6]所选实例的初值函数都是具有更好的各阶导数估计的函数，如三角函数和多项式函数等，所以尽管定理的表述欠缺严格性，但是所选实例的计算结果都是没有问题的．事实上，当初值函数有更好的导数估计时，级数解（3）和级数解（4）有更好的关于t 的全局收敛性．定理2 若对于任意的n 重指标n ÎN a ，都有()||()x MR j -£a a ，()|||()|x MR y -£%%a a ，这里的正常数, , , M R MR %%只和x 有关，那么级数解（3）和级数解（4）对任意的t 都绝对收敛．如果, , , M R M R %%和x 无关，那么级数（3）和级数（4）的绝对收敛关于x 还是一致的．证明 令20()(, )()(2)!k kk at v x t x k j ¥==D å，只证明结果对(, )v x t 成立，结果对级数解（3）和级数解（4）的成立类似可证．和定理1的证明类似，2()k k kx n MR j -D £，于是(, )v x t 的通项的绝对值2()()(2)!k kat x k j D £()222()(2)!(2)!kkk k t R at n MR M k k -=．任意固定0t >，对正项级数()20(2)!kk t R k ¥=å，由于()()()2222(22)!limlim0(21)(22)(2)!k kk k t Rt Rk k k t R k +®¥®¥+==++，故级数()20(2)!kk t R k ¥=å收敛，再利用比较判别法可知，(, )v x t 对任意的t 都绝对收敛．若, M R 和x 无关，则(, )v x t 的绝对收敛关于x 还是一致的． 证毕．注 常见的一元函数如三角函数()sin (0)ax a ¹，其k 阶导数的绝对值()()()sin sin 0.5πk k ax a ax k =+£()1ka -，符合定理2的条件，这里11, M R a-==；多项式函数0k x （0k 是某个正整数），其任意k 阶导数的绝对值(){}()()0!max , 1k k k xk x £，符合定理2的条件，这里{}()0!max , 1, 1k M k x R ==；指数函数e (0)ax a ¹，其k 阶导数的绝对值()()e e k kaxax a =，也符合定理2的条件，这里1e , ax M R a-==．类似地，很多常见的多元函数也符合定理2的条件．3 结束语波动方程和热方程初值问题的古典解公式虽然形式一般，有重要的理论意义，但由于涉及复杂的积分，往往很难计算．而级数解方法虽然对初值函数的要求较高，至少无穷次可导函数才能考虑用级数求解，使其适用性受到限制，但是很多常见的函数都有很好的光滑性，可以考虑用级数来求解，而且计算往往比较简便．当然对热方程需要注意级数解的收敛性问题，毕竟存在级数解不收敛的反例． 参考文献：[1] 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义[M]．3版．北京：高等教育出版社，2007 [2] 谷超豪，李大潜，陈恕行，等．数学物理方程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2012 [3] 杨奇林． 数学物理方程与特殊函数[M]．2版．北京：清华大学出版社，2011 [4] 王元明． 数学物理方程与特殊函数[M]．3版．北京：高等教育出版社，2004[5] 陈才生，李刚，周继东，等．数学物理方程[M]．北京：科学出版社，2008：43-62 [6] 王明新．数学物理方程[M]．2版．北京：清华大学出版社，2009：67-69 [7] Chen Hong-wei．The Poisson Formula Revisited[J]．SIAM REV，1998，40（2）：353-355 [8]郇中丹，黄海洋．偏微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2004：27-28。
随机微分方程平衡θ-Heun法的收敛性
㊀第52卷第4期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.4㊀2020年12月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Dec.2020收稿日期:2020-03-29基金项目:国家自然科学基金项目(11572146)㊂作者简介:康红喜(1993 ),女,山东菏泽人,硕士研究生,主要从事随机微分方程数值方法研究,E-mail:2448753596@;通信作者:张引娣(1962 ),女,陕西三原人,教授,主要从事微分方程数值方法研究,E-mail:mathydzh@㊂随机微分方程平衡θ-Heun 法的收敛性康红喜,㊀张引娣,㊀蒋㊀茜(长安大学理学院㊀陕西西安710064)摘要:对θ-Heun 方法改进得到平衡θ-Heun 方法,研究该方法用于求解随机微分方程的收敛性㊂对于系数都满足Lipschitz 和线性增长条件的标量自治随机微分方程,证明了平衡θ-Heun 方法在均值意义上㊁均方意义上的局部收敛阶分别为3/2㊁1,均方强收敛阶为1/2㊂通过数值实验验证了平衡θ-Heun 方法的收敛性,并用数值算例说明了该方法得到的数值解与解析解逼近程度优于θ-Heun 方法㊂关键词:平衡θ-Heun 方法;随机微分方程;收敛阶;Lipschitz 条件;线性增长条件中图分类号:O211.63㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)04-0089-07DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20200880㊀引言随机微分方程由于能够很好地描述各种事物的客观现象,所以被广泛应用于各个领域㊂为了能够更加准确地解释说明各种客观现象,学者们先后研究出了许多数值方法㊂收敛性与稳定性是研究一个新数值方法的主要对象,它们能够评判一个数值方法是否有效㊂文献[1-6]分别研究了Euler 法㊁Milstein 法的收敛性㊂另外Heun 方法[7]和全隐式的平衡方法[8]也是求解随机微分方程的有效方法㊂θ-Heun 方法[9]是在Heun 方法的基础上改进得到的㊂本研究对θ-Heun 方法进行改进,构造一种新的Heun 方法,即平衡θ-Heun 方法,并研究用这种新方法求解随机微分方程的收敛性㊂1㊀随机微分方程与数值方法1.1㊀随机微分方程d x (t )=f (x (t ))d t +g (x (t ))d W (t )x (t 0)=x 0{,(1)其中:t ɪ[0,T ];x ɪR d ,称函数f (x )为漂流项,函数g (x )为扩散项,二者在[0,T ]上都是连续可测的,且有E x 02<ɕ;随机过程W (t )是滤过概率空间(Ω,F ,{F t }t ȡ0,P )上的标准布朗运动,当t >0,步长h >0时,其增量ΔW (t )=W (t +h )-W (t )独立于{F t },因此有ΔW (t )~N (0,h )㊂1.2㊀数值方法定义1㊀求解方程(1)的θ-Heun 方法[9]为X n +1=X n +(1-θ)f (X n )h +g (X n )ΔW n +θf (X n +hf (X n ))h ,(2)在这个方法的基础上结合平衡法的思想,构造出一种新的Heun 法,即平衡θ-Heun 方法㊂定义2㊀称X n +1=X n +(1-θ)f (X n )h +g (X n )ΔW n +θf (X n +hf (X n ))h +C n (X n )(X n -X n +1)(3)为求解随机微分方程(1)的平衡θ-Heun 方法,当θ=0时,方法(3)即为平衡法㊂式(3)中C n (X n )=C 0(t n ,X n )h +C 1(t n ,X n )ΔW n ,记C 0(X )=C 0,C 1(X )=C 1,控制函数C 0㊁C 1为d ˑd 的实值矩阵,满足可逆矩阵郑州大学学报(理学版)第52卷M (t ,X )=I +α0C 0(t ,X )+α1C 1(t ,X ),其中:I 是单位矩阵㊂且逆矩阵对于∀α0,α1ɪR ,α0ɪ[0,α1],α1ȡ0,α>h ,(t ,X )ɪ[0,ɕ)ˑR d ,步长h ,存在正常数K ,有M (t ,X )-1ɤK <ɕ[10]㊂在本文中我们记x (t n )是方程(1)在t n 处的精确值,X n 是用平衡θ-Heun 方法在t n 处求得方程(1)解的近似值,X (t n +1)是用平衡θ-Heun 方法在x (t n )处进行一步迭代得到的近似解㊂2㊀平衡θ-Heun 方法的收敛性定义3[11]㊀记平衡θ-Heun 方法的局部误差为δn +1=x (t n +1)-X (t n +1),n =0,1,2, ,N -1㊂全局误差为εn =x (t n )-X n ,n =1,2, ,N -1㊂定义4[12]㊀若存在正常数C (C 与h 无关),当h ң0有max0ɤn ɤN -1E (δn +1)ɤCh p1,㊀max 0ɤn ɤN -1(E δn +12)1/2ɤCh p2,㊀max 0ɤn ɤN -1(E εn2)1/2ɤCh p ,则称p 1㊁p 2㊁p 分别为数值方法在均值意义下局部收敛阶㊁均方意义下局部收敛阶㊁均方强收敛阶㊂引理1[13]㊀如果f (x )㊁g (x )满足条件(i)Lipschitz 条件:对任意的x ,y ɪR d ,存在常数L 1>0,使得f (x )-f (y )2ᶱg (x )-g (y )2ɤL 1x -y2;(ii)线性增长条件:对任意的x ɪR d ,存在常数L 2>0,使得f (x )2ᶱg (x )2ɤL 2(1+x2)或f (x )ᶱg (x )ɤL 2(1+x );那么方程(1)满足性质(i)E x (t )2ɤE (supt 0ɤt ɤTx (t )2)ɤQ ,Q >0;(ii)∀t 0ɤs ɤt ɤT ,有E x (t )-x (s )2ɤc (t -s ),c >0㊂2.1㊀均值、均方相容阶定理1㊀如果方程(1)满足引理1的(i)和(ii),矩阵函数M (x )可逆且满足M (x )ɤK ,假设矩阵函数C 0㊁C 1各分量一致有界,则平衡θ-Heun 法是p 1=3/2阶均值相容,p 2=1阶均方相容,即max0ɤn ɤN -1E (δn +1)ɤCh 3/2,h ң0,㊀max 0ɤn ɤN -1(E δn +12)1/2ɤCh ,h ң0,其中:C 是不依赖于h 的常数,但是可以依赖于T 和初值x 0㊂证明㊀设0<h ɤ1,0ɤθɤ1,分别记平衡θ-Heun 法和θ-Heun 法的近似值为X B n +1=X B n +(1-θ)f (X B n )h +θf (X B n +hf (X B n ))h +g (X B n )ΔW n +C n (X B n )(X Bn -X B n +1),(4)X H n +1=X H n +(1-θ)f (X H n )h +θf (X H n +hf (X H n ))h +g (X H n )ΔW n ㊂(5)由于δn +1=x (t n +1)-X B (t n +1),再利用θ-Heun 法的均值㊁均方相容阶定理1[9],则E (δn +1)=E (x (t n +1)-X B (t n +1))ɤE (x (t n +1)-X H (t n +1))+E (X H (t n +1)-X B (t n +1))ɤCh 2+E (X H (t n +1)-X B (t n +1))㊂(6)从真解x (t n )出发,对X H (t n +1),X B (t n +1)分别经式(2)和式(3)一步计算可得X B (t n +1)=x (t n )+(I +C n (x (t n )))-1((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n ),(7)X H (t n +1)=x (t n )+(1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n ㊂(8)结合式(7)㊁(8)可得X H (t n +1)-X B (t n +1)=[I -(I +C n (x (t n )))-1]((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )=[(I +C n (x (t n )))-1(I +C n (x (t n )))-(I +C n (x (t n )))-1]((1-θ)f (x (t n ))h +g (x (t n ))ΔW n +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h )=(I +C n (x (t n )))-1C n (x (t n ))((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )㊂(9)记C n (x (t n ))=C n ,因为ΔW n 与F t n 独立,所以E ((I +C n )-1C n g (x (t n ))ΔW n )=0,再由M (t ,x )-1ɤK可得9㊀第4期康红喜,等:随机微分方程平衡θ-Heun 法的收敛性E (X H (t n +1)-X B (t n +1))=E (I +C n )-1C n ((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )ɤKh E (C n (1-θ)f (x (t n )))+Kh E (C n θf (x (t n )+hf (x (t n ))))㊂(10)由C n =C 0h +C 1ΔW n ,E ΔW n =2/2πh 1/2和引理1的(ii)㊁(iii)可得E (C n θf (x (t n )+hf (x (t n ))))ɤE (E (C n θf (x (t n )+hf (x (t n )))F t n ))=E (θf (x (t n )+hf (x (t n )))E C nF t n )ɤE (f (x (t n )+hf (x (t n )))E C 0h +C 1ΔW n F t n )ɤ(C 0h +2C 1/2πh 1/2)(L 2+hL 22)(1+E x (t n ))ɤCh 1/2㊂(11)同理可得E (C n (1-θ)f (x (t n )))ɤCh 1/2㊂(12)结合式(6)㊁(10)~(12)得,E (δn +1)ɤCh 2+Ch 3/2ɤCh 3/2,h ң0㊂下面我们证明定理的第二部分㊂对δn +1=x (t n +1)-X B (t n +1)两边平方并取均值,可得E δn +12=E x (t n +1)-X B (t n +1)2ɤ2E x (t n +1)-X H (t n +1)2+2E X H (t n +1)-X B (t n +1)2ɤ2Ch 2+2E X H (t n +1)-X B (t n +1)2㊂(13)根据式(9),利用不等式(a +b +c )2ɤ3a 2+3b 2+3c 2,可得E X H (t n +1)-X B (t n +1)2=E (I +C n )-1C n ((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )2ɤ3K 2E C n f (x (t n ))h 2+3K 2E C n f (x (t n )+hf (x (t n )))h2+3K 2E C n g (x (t n ))ΔW n2㊂其中:E C n f (x (t n ))h 2ɤh 2E (E C n f (x (t n ))h2F t n )ɤ2h 2E (f (x (t n ))2E (C 02h 2+C 12ΔW n2F t n ))ɤ2L 2h 2(C 02h 2+C 12h )E (1+x (t n )2)ɤCh 3㊂(14)同理E C n f (x (t n )+hf (x (t n )))h2=h 2E (E C n f (x (t n )+hf (x (t n )))2F t n )ɤ2h 2(2L 22h2+2L 2)(C 02h 2+C 12h )E (1+x (t n )2)ɤCh 3㊂(15)又E C n g (x (t n ))ΔW n2=E (g (x (t n ))2E (C n ΔW n2F t n )),而E (C n ΔW n 2F t n )=E (C 0h ΔW n +C 1ΔW n ΔW n 2F t n )ɤE (C 0h ΔW n2F t n )+2E (C 0C 1hΔW n3F t n )+E (C 12ΔW n4F t n )=C 02h 3+8/2πC 0C 1h 5/2+3C 1h2ɤCh 2㊂因此E C n g (x (t n ))ΔW n 2=Ch 2E g (x (t n ))2ɤL 2Ch 2E (1+x (t n )2)ɤCh 2,(16)结合式(14)~(16),得E X H (t n +1)-X B (t n +1)2ɤCh 3+Ch 3+Ch 2ɤCh 2,h ң0㊂所以式(13)即E δn +12ɤCh 2,h ң0,max 0ɤn ɤN -1(E δn +12)1/2ɤCh ,h ң0㊂2.2㊀均方收敛阶定理2㊀在定理1的条件下,对于方程(1)平衡θ-Heun 法的均方收敛阶为1/2,即max 0ɤn ɤN(E εn2)1/2ɤCh 1/2,h ң0,其中:C 为常数㊂证明㊀设0ɤθɤ1,εn +1=x (t n +1)-X B n +1=x (t n )-X B n+x (t n +1)+X B (t n +1)+(I +C n (x (t n )))-1((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )-(I +C n (X B n ))-1((1-θ)f (X B n )h+θf (X B n +hf (X B n ))h +g (X B n )ΔW n )=εn +δn +1+μn ,(17)其中:19郑州大学学报(理学版)第52卷μn =(I +C n (x (t n )))-1((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )-(I +C n (X B n ))-1((1-θ)f (X B n )h +θf (X B n +hf (X B n ))h +g (X B n )ΔW n )㊂(18)结合欧氏内积 x ,y ⓪=x Τy , x ,x ⓪=x2,对式(17)两边平方并取均值可得E εn +12=E εn +δn +1+μn ,εn +δn +1+μn ⓪ɤE εn 2+E δn +12+E μn2+2E εn ,δn +1⓪+2E εn ,μn ⓪+2E δn +1,μn ⓪ɤE εn2+2E δn +12+2E μn2+2E εn ,δn +1⓪+2E εn ,μn ⓪㊂(19)进一步计算式(18),得μn =[(I +C n (x (t n )))-1-(I +C n (X B n ))-1]((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )+(I +C n (X B n ))-1(θ(f (x (t n )+hf (x (t n )))-f (X B n +hf (X B n )))h+(1-θ)(f (x (t n ))-f (X B n ))h +(g (x (t n ))-g (X B n ))ΔW n )㊂(20)为了方便讨论,令A n =(I +C n (x (t n )))-1-(I +C n (XB n ))-1=(I +C n (x (t n )))-1(I +C n (X B n ))-1[(C 0(X B n )-C 0(x (t n )))h +(C 1(X B n )-C 1(x (t n )))ΔW n ],A n =(I +C n (X B n ))-1㊂(21)结合式(20)㊁(21),可得E μn2=E A n ((1-θ)f (x (t n ))h +θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +g (x (t n ))ΔW n )+A n ((1-θ)(f (x (t n ))-f (XB n ))h +θ(f (x (t n )+hf (x (t n )))-f (X B n +hf (X B n )))h +(g (x (t n ))-g (X B n ))ΔW n )2ɤ6E A n f (x (t n ))h2+6E A n f (x (t n )+hf (x (t n )))h2+6E A n g (x (t n ))ΔW n2+6E A n (f (x (t n ))-f (X Bn ))h2+6E A n (g (x (t n ))-g (X Bn ))ΔW n2+6E A n (f (x (t n )+hf (x (t n )))-f (X B n +hf (X B n )))h2㊂(22)下面设max{C 0(x ),C 1(x )}ɤM 2,利用引理1,分别计算(22)式最后一个不等式的各项,即㊀6E A n f (x (t n ))h 2ɤ㊀6K 4E (C 0(X B n )-C 0(x (t n )))f (x (t n ))h 2+(C 1(X B n )-C 1(x (t n )))ΔW n f (x (t n ))h 2ɤ㊀12K 4E (C 0(X B n )-C 0(x (t n )))f (x (t n ))2h 4+12K 4E (C 1(X B n )-C 1(x (t n )))ΔW n f (x (t n ))2h 2ɤ㊀48K 4h 4M 22E f (x (t n ))2+48K 4h 3M 22E f (x (t n ))2ɤ㊀48K 4M 22L 2E (1+x (t n )2)(h 4+h 3)ɤCh 3㊂(23)同理可以得到6E A n f (x (t n )+hf (x (t n )))h 2ɤ48K 4M 22E f (x (t n )+hf (x (t n )))2(h 4+h 3)ɤCh 3,(24)由E ΔW n4=3h 2,则6E A n g (x (t n ))ΔW n2ɤ48K 4M 22L 2h 3E (1+x (t n )2)+144K 4M 22L 2h 2E (1+x (t n )2)ɤCh 2,(25)6E A n (f (x (t n ))-f (X B n ))h 2ɤ6K 2h 2E (f (x (t n ))-f (X B n ))2ɤ6K 2h 2L 1E (x (t n )-X B n )2ɤCh 2E εn2,(26)6E A n (f (x (t n )+hf (x (t n )))-f (X B n +hf (X B n )))h2ɤ6K 2h 2(2L 1E εn2+2L 21h 2E εn2)ɤCh 2E εn2,(27)6E A n (g (x (t n ))-g (X B n ))ΔW n2ɤ6K 2hL 1E x (t n )-X B n2ɤChE εn2㊂(28)根据式(22)~(28),可得E μn2ɤCh 2+ChE εn 2㊂(29)接下来计算式(19)的后两项,由E δn +1ɤCh 2及Holder 不等式,可得2E εn ,δn +1⓪=2E (εT n E (δn +1F t n ))ɤ2(E εn 2)1/2(E E (δn +1F t n )2)1/2ɤ2(E εn2)1/2(E Ch 22)1/2ɤ2(hE εn2)1/2(h -1E Ch 22)1/2ɤhE εn2+Ch 3㊂(30)同理29㊀第4期康红喜,等:随机微分方程平衡θ-Heun 法的收敛性2E εn ,μn ⓪=2E (εT n E (μn F t n ))ɤhE εn2+h -1E E (μn F t n)2,其中:E E (μnF t n )2=E E [A n (θf (x (t n )+hf (x (t n )))h +(1-θ)f (x (t n ))h +g (x (t n ))ΔW n )F t n]+E [A n ((1-θ)(f (x (t n ))-f (X B n ))h +θ((f (x (t n )+hf (x (t n ))))-f (X B n +hf (X B n )))h +(g (x (t n ))-g (X B n ))ΔW nF t n ]2ɤ4E E (A n f (x (t n ))h )F t n 2+4E E (A n f (x (t n )+hf (x (t n )))h )F tn2+4E E (A n (f (x (t n ))-f (X B n ))h )F t n2+4E E (A n (f (x (t n )+hf (x (t n )))-f (X B n +hf (X B n )))h )F t n2ɤCh 3+Ch 3+Ch 2E εn2ɤCh 3+Ch 2E εn2㊂则2E εn ,μn ⓪ɤhE εn2+Ch 2+ChE εn2ɤCh 2+ChE εn2㊂(31)又因为E δn +12ɤCh 2,结合式(19)㊁(29)~(31),得E εn +12ɤCh 2+E εn2+Ch 2+ChE εn 2+hE εn 2+Ch 3+Ch 2+ChE εn2ɤ(1+Ch )E εn2+Ch 2㊂(32)令R i =max 0ɤj ɤiE εi2,i =0,1,2, ,N ,有R 0=0,t n +1=(n +1)h ɤT ,h ɤT /(n +1),则式(32)变为R n +1ɤ(1+Ch )R n +Ch 2ɤ(1+Ch )2R n -1+Ch 2+Ch 2(1+Ch ) ɤCh2ðni =0(1+Ch )i =Ch 2(1+Ch )n +1-11+Ch -1ɤCh [1+(n +1)(CT n +1)+(n +1)n 2(CT n +1)2+ +(n +1)!(n +1)!(CT n +1)n +1-1]ɤCh (e CT -1),则R 1/2n +1ɤC h 1/2,h ң0,所以(E εn2)1/2ɤCh 1/2,h ң0,C 是与步长h 无关的正常数,定理得证㊂3 数值实验在本小节中,首先验证平衡θ-Heun 法的收敛阶,然后比较平衡θ-Heun 法和θ-Heun 法对解析解的逼近效果㊂对于试验方程d x (t )=λx d t +μx d W (t ),令系数λ=-3,μ=1,当x 0=1,T =1时,我们以小步长h =Δt =2-8求方程的精确解㊂在平衡θ-Heun 法中取θ=0.15,控制参数为C 0=-λ/2,C 1=μ/2,并在区间[0,1]上,选取n =1000个不同的离散样本轨道进行计算,对每一个轨道应用5种步长h =2p -1Δt ,1ɤp ɤ5来模拟该数值方法的数值解,则在T =1处的均方误差可用样本轨道的平均来估计,即εk =ε2k -1Δt ≅ðni =1X k ,T (ζh ,i )-x k ,T (ζh ,i )2/n ,k =1,2,3,4,5㊂运用Matlab 软件画出εk 对h (Δt )的图(图1)㊂为了更直观,在图1中画一条斜率为1/2的虚线作为参考线,可以看到这两条曲线几乎平行,说明平衡θ-Heun 方法是1/2阶收敛的㊂对于试验方程d x (t )=-5x (t )d t +0.5x (t )d W (t ),当x 0=1,T =1,我们用h =Δt =2-4来模拟该方程的精确解㊂对于数值方法的控制参数取C 0=-λ/2,C 1=0以及θ=0.15时,用Matlab 软件模拟平衡θ-Heun 法和θ-Heun 法的数值解,得到图2㊂通过观察图2可以知道平衡θ-Heun 法的数值解与精确解逼近程度优于θ-Heun 法㊂39郑州大学学报(理学版)第52卷图1㊀平衡θ-Heun法的收敛性Figure1㊀Convergence of balancedθ-Heunmethod图2㊀数值解与精确解的对比Figure2㊀Comparison of numerical solution and exact solution参考文献:[1]㊀朱霞.求解随机微分方程的欧拉法的收敛性[J].华中科技大学学报(自然科学版),2003,31(3):114-116.ZHU X.Convergence of the Euler scheme for stochastic differential equation[J].Journal of huazhong university of science and technology(nature science edition),2003,31(3):114-116.[2]㊀王彩霞,张引娣,蒋茜.求解随机微分方程混合Euler方法的收敛性[J].河南科技大学学报(自然科学版),2019,40(2):91-95.WANG C X,ZHANG Y D,JIANG Q.Convergence of mixed Euler method for solving stochastic differential equations[J].Journal of Henan university of science and technology(natural science),2019,40(2):91-95.[3]㊀MAO X R.Convergence rates of the truncated Euler-Maruyama method for stochastic differential equations[J].Journal ofcomputational and applied mathematics,2016,296:362-375.[4]㊀李启勇.随机微分方程改进半隐Milstein方法的稳定性[J].怀化学院学报,2012,31(5):1-6.LI Q Y.Stability of improved semi-implicit Milstein methods for stochastic differential equations[J].Journal of Huaihua university,2012,31(5):1-6.[5]㊀张雨馨,王鹏.随机微分方程Milstein方法的几乎必然及矩指数稳定性[J].吉林大学学报(理学版),2011,49(6):1058-1060.ZHANG Y X,WANG P.Almost sure and moment exponential stability of Milstein methods for stochastic differential equations [J].Journal of Jilin university(science edition),2011,49(6):1058-1060.[6]㊀ZONG X F,WU F K,XU G P.Convergence and stability of two classes of theta-Milstein schemes for stochastic differentialequations[J].Journal of computational and applied mathematics,2018,336:8-29.[7]㊀MCSHANE E J.Stochastic calculus and stochastic models[M].New York:Academic Press,1974:152-179.[8]㊀MILSTEIN G N,PLATEN E,SCHURZ H.Balanced implicit methods for stiff stochastic systems[J].SIAM journal on numeri-cal analysis,1998,35(3):1010-1019.[9]㊀张引娣,李瑞,刘奋进.求解随机微分方程的θ-Heun方法的收敛性[J].郑州大学学报(理学版),2019,51(1):34-38.ZHANG Y D,LI R,LIU F J.Convergence ofθ-Heun method for solving stochastic differential equations[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2019,51(1):34-38.[10]李林静.带Poisson跳的随机微分方程平衡隐式方法的收敛性与稳定性[D].武汉:华中科技大学,2012.LI L J.Convergence and stability of balanced implicit methods for stochastic differential equations with Poisson jump[D].Wu-han:huazhong university of science and technology,2012.[11]贾俊梅.自治标量随机微分方程混合欧拉格式的收敛性和稳定性[J].工程数学学报,2013,30(3):427-432.㊀JIA J M.Convergence and stability of mixed Euler schemes for autonomous scalar stochastic differential equations[J].Journal of engineering mathematics,2013,30(3):427-432.[12]王鹏飞,殷凤,蔺小林.求解非线性随机微分方程加权格式的收敛性[J].郑州大学学报(理学版),2009,41(3):9-11.WANG P F,YIN F,LIN X L.Convergence of weighted schemes for solving nonlinear stochastic differential equations[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2009,41(3):9-11.[13]朱晓临,徐道叁,李井刚,等.求解随机微分方程的Heun方法的收敛性研究[J].合肥工业大学学报(自然科学版), 4959㊀第4期康红喜,等:随机微分方程平衡θ-Heun法的收敛性2011,34(12):1907-1912.ZHU X L,XU D S,LI J G,et al.Convergence of Heun method for solving stochastic differential equations[J].Journal of Hefei university of technology(natural science),2011,34(12):1907-1912.Convergence of Balancedθ-Heun Method for StochasticDifferential EquationsKANG Hongxi,ZHANG Yindi,JIANG Qian(Faculty of Science,Changᶄan University,Xiᶄan710064,China) Abstract:The balancedθ-Heun method was obtained by improving theθ-Heun method.And the conver-gence of this method to solve the stochastic differential equation was studied.For the scalar autonomous stochastic differential equation with all coefficients satisfied the conditions of Lipschitz and linear growth, it was proved that the local convergence orders of the balancedθ-Heun method were3/2and1in the sense of mean value and mean square,respectively;and its strong convergence order was1/2.At last, the convergence of the method was verified by numerical experiments.And a numerical example was giv-en to illustrate that the numerical solution of the stochastic differential equation obtained by the balanced θ-Heun method was more approximate to the analytical solution.Key words:balancedθ-Heun method;stochastic differential equation;convergence order; Lipschitz condition;linear growth condition(责任编辑:王浩毅)(上接第88页)Rumor Immunization Strategy with Community Interest Degree inDirected Overlapping CommunityYAN Han,KANG Haiyan(School of Information Management,Beijing Information Science and TechnologyUniversity,Beijing100192,China)Abstract:The network or the heterogeneity of nodes was not considered in most of the immunization strategies.Social network should have a rumor immunization strategy to inhibit rumors.To solve the above problems,a rumor immunization strategy considering interest degree under directed overlapping communi-ties was proposed.Firstly,the directed overlapping communities model with community interest degree was proposed.Interest degree was added to the community to determine the community where the immune node was located.Secondly,the rich node and special rich node were used to select the immune node. Finally,the above two methods were used to implement a rumor immunization strategy considering com-munity interest degree.The simulation results showed that the rumor immunization strategy was more suit-able for social networks,and could effectively inhibit spreading rumors.Key words:rumor;immunization strategy;overlapping community;complex network(责任编辑:方惠敏)。
级数敛散性总结
级数敛散性总结摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For theanalysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general termcharacteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
4.7.1解的渐进性态
2
所以 → ∞时(0 , )为指数衰减。证毕。
热传导方程的柯西问题
2
2
=
൞
2
, 0 = ()
的唯一解
, =
+∞
对增加条件：如果−∞
1
+∞
න
− 2
−
42
2 −∞
() 收敛，则称 ∈ ′()，并记
+∞
1 ()
=න
−∞
()
定理 设是有界连续函数，且 ∈ ′()，则热传导方程柯西问题
解的适定性
存在性 唯一性 稳定性
热传导方程 = 2
波动方程 = 2
发展型方程
求得方程解的表达式(, )
取 → ∞时的极限，
得到解的渐近性态
问题：无法求出解的具体表达式
或者
解的表达式为
∞
σ
无穷级数 , = = (, )
积分 , = , ,
2
∞
(−)
1
−
න () 42
(, ) =
2 −∞
由()的性质知
(0 −)2
1
−
න () 42
(0 , ) =
2
记 = 0 − , 0 − ，则
2
2
1
1
− 2
− − 2
4
න () ≤ 2 4
维数。
例1 设(, )是下列初边值问题的解：
= (0 < < , > 0)
一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用
第20卷 第1期2003年02月工 程 数 学 学 报JO URNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.20No.1Feb.2003文章编号:1005 3085(2003)01 0049 06一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用于立新1, 郭宜明2(1 曲阜师范大学数学系,山东曲阜273165; 2 枣庄师专计算机系,山东枣庄277160)摘 要:在Banach空间中,没有假设任何紧性、连续性或凹凸性条件,利用M ann迭代技巧证明了一类算子方程Ax=x解的存在唯一性,并将其结果应用于无界域上的Ham merstein积分方程,得到了新的结果。
关键词:锥;算子方程;M ann迭代;弱序Lipschitz条件分类号:AMS(2000)47H10;47H07 中图分类号:O177.91 文献标识码:A1 引言和预备知识人们对增算子的研究,通常采用紧性条件、连续性条件或凹凸性条件等得到了算子不动点的存在性或唯一性定理[1~7]。
文[1]研究了一类带有凹凸性的增算子的不动点的存在唯一性,然而,文[1]对所讨论的算子附加了一些条件,如算子的强增性、体锥以及较强的上下解条件等。
文[2]通过引用序Lipschitz条件,得到了Mann迭代序列收敛于一类带有凹凸性的增算子的不动点,去掉了对算子和锥所附加的一些条件,但运用了上解和下解条件,并且没有得到解的唯一性。
我们在弱序Lipschitz条件下去掉了文[2]中的凹凸性,只运用上解(或下解)条件,并没有附加任何条件,利用Mann迭代技巧得出了比文[2]更好的结果,推广和改进了文[1,2]的主要结果,在证明方法上也不同于现有文献。
作为应用,讨论了无界域上的Hammerstein积分方程,给出了新的定解条件。
以下设E是Banach空间, 为E中的零元,P是E中的锥[3~6], 是由锥P确定的半序。
锥P称为正规的,如果存在N0>0,使得0 x y,有!x! N0!y!,其中N0为正规常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.