(暑期一日一练)2020届高考数学一轮复习 第13讲 导数与导数运算课学案(无答案)理
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算
课时作业13 变化率与导数、导数的计算 一、选择题1．(2019·泰安一模)给出下列结论：①若y ＝log 2x ，则y ′＝；②若y ＝－，则y ′＝；1x ln21x 12x x ③若f (x )＝，则f ′(3)＝－；④若y ＝a x (a >0)，则1x 2227y ′＝a x ln a .其中正确的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝(e 是自然对数的底数)，则其导函数f ′(x )x e x ＝( B )A.B.1＋xe x 1－x e x C ．1＋xD ．1－x 解析：函数f (x )＝，则其导函数f ′(x )＝＝，故选x e x e x －x e x e2x 1－x e x B.3．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为( C )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．4．(2019·合肥市质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( B )A.B ．112C ．2D ．e解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.5．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A )A.B ．255C ．3D ．25解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0.设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝，∴斜率2x k ＝＝2，解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0，∴切点为P (1,0)，则点P2x 0到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝＝，∴曲线y ＝2ln x 上|2－0＋3|22＋(－1)25的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是.56．(2019·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( C )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝，(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．7．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( B )A.B.(－∞，1e )(1e ，＋∞)C. D ．(e ，＋∞)(1e ，e )解析：由题意知，方程f ′(x )＝－有解，即e x －m ＝－有解，1e 1e 即e x ＝m －有解，故只要m －>0，即m >即可，故选B.1e 1e 1e 8．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( B )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，结合题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.二、填空题9．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.10．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(2x －1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处切线的斜率为－1.解析：当x >0时，f ′(x )＝2ln x ＋，则f ′(1)＝1，2x －1x ∵函数f (x )是偶函数，∴f ′(－1)＝－1.11．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝0或－1.解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x .由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x ＝6x 0且1＋2x ＝3x －b ，解得x 0＝0，b ＝－1203020或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x －4x ＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x －8x 0＋5，所以切线方程302020为y －(－2)＝(3x －8x 0＋5)(x －2)，又切线过点20P (x 0，x －4x ＋5x 0－4)，所以x －4x ＋5x 0－2＝(3x －8x 0＋5)3020302020(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1，曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为( B )A ．(3，＋∞)B.(3，72)C. D ．(0,3)(－∞，72)解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，由题意可得2e 2x －2e x ＋a ＝3的解有两个，即有2＝，即(e x －12)7－2a 4为e x ＝＋或e x ＝－，即有7－2a >0且7－2a <1，解127－2a 2127－2a 2得3<a <.7214．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .13(1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知Error!解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．22 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝(a >0)存在公共切线，则a 的取值范围为( D )e xa A ．(0,1) B.(1，e24)C.D.[e24，2][e24，＋∞)解析：曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)的切线斜率为2m ，曲线y ＝(a >0)在点的切线斜率为e n，如果两条曲线存在公共切e x a (n ，1a e n )1a 线，那么2m ＝e n .又由直线的斜率公式得到2m ＝，则有1a m 2－1a e n m －n m ＝2n －2，则由题意知4n －4＝e n 有解，即y ＝4x －4，y ＝e x 的图1a 1a 象有交点．若直线y ＝4x －4与曲线y ＝e x 相切，设切点为(s ，t )，1a 则e s ＝4，且t ＝4s －4＝e s ，可得切点为(2,4)，此时＝，故要使1a 1a 1a 4e2满足题意，需≤，则a ≥，故a 的取值范围是a ≥.故选D.1a 4e2e24e2416．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，[12，1]求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －，f ′(1)1x ＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析[12，1]式可得(2x 1－)(2x 2－)＝－1，又函数f ′(x )＝2x －在区间上1x 11x 21x [12，1]单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－<2x 2－≤1，1x 11x 2据此有Error!解得x 1＝，x 2＝1(x 1＝－1，x 2＝－)舍去，故存在两点1212，(1,1)满足题意．(12，ln2＋14)。
2020届高考数学一轮复习课时训练：第3章 导数及其应用 13(含解析)
【课时训练】第13节 导数的概念及运算一、选择题1.(2019日照一中检测)已知函数y =f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1=0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B.1 C.32 D.2答案为：D解析：∵函数y =f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1=0，∴f (1)=1, f ′(1)=12.∴f (1)＋2f ′(1)=2.故选D.2.(2018山东烟台模拟)曲线y =sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A .x －3y ＋3=0 B.x －2y ＋2=0 C .2x －y ＋1=0 D.3x －y ＋1=0 答案为：C解析：y ′=cos x ＋e x ，故切线斜率为k =2，切线方程为y =2x ＋1，即2x －y ＋1=0.3.(2018山东枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)=( )A .－e B.－1 C .1 D.e答案为：B解析：由题可得f ′(x )=2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)=2f ′(1)＋1，解得f ′(1)=－1，所以选B.4.(2018河南濮阳一中期末)已知f ′(x )是f (x )=sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=24，则实数a 的值为( )A.23B.12C.34D.1答案为：B解析：由题意可得f ′(x )=cos x －a sin x ，则由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=24可得22－22a =24，解得a =12.故选B.5.(2018河南质检)已知函数f (x )=sin x －cos x ，且f ′(x )=12f (x )，则tan 2x 的值是( )A .－23 B.－43 C.43 D.34答案为：D解析：因为f ′(x )=cos x ＋sin x =12sin x －12cos x ，所以tan x =－3，所以tan 2x =2tan x 1－tan 2x =－61－9=34.故选D. 6.(2018安徽宣城六校联考)过函数f (x )=13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案为：B解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k =f ′(x )=x 2－2x =(x －1)2－1≥－1，即k =tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B.7.(2018四川乐山调研)已知曲线f (x )=e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A .(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D.(0,3)答案为：B解析：由题得f ′(x )=2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a =3有两个不同的正解，令t =e x (t >0)，且g (t )=2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.8.(2018河北邯郸质检)已知函数f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)=0.若函数f (x )=x 3－3x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017=( ) A .－8 066 B.－4 033 C .8 066 D.4 033答案为：A解析：由f (x )=x 3－3x 2得f ′(x )=3x 2－6x ，f ″(x )=6x －6，又f ″(x 0)=0，所以x 0=1且f (1)=－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )=－4.令S =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫4 0332 017，则S =f ⎝⎛⎭⎪⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017，所以2S =4 033×(－4)=－16 132，S =－8 066.9.(2018云南大理统测)已知函数f (x )=ln x ＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)=f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 答案为：B解析：∵f ′(x )=1x ，∴f ′(x 0)=1x 0，由f ′(x 0)=f (x 0)，得1x 0=ln x 0＋tanα，∴tan α=1x 0－ln x 0.又0<x 0<1，∴1x 0－ln x 0>1，即tan α>1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.故选B.二、填空题10.(2018九江模拟)已知直线y =－x ＋1是函数f (x )=－1a ·e x 图象的切线，则实数a =________.答案为：e 2解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)=－1a ·e x 0=－1，∴e x 0=a ，又－1a·e x 0=－x 0＋1，∴x 0=2，∴a =e 2. 11.(2018河南省实验中学期中)已知f (x )=1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=________.答案为：－3π解析：f ′(x )=－sin x ·x －cos x x 2，当x =π2时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=－2π，又f (π)=－1π，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=－3π.12.(2018长春模拟)已知a 为常数，若曲线y =ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1=0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________.答案为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞解析：由题意知曲线的切线斜率为1，所以y ′=2ax ＋3－1x =1有正根，即2ax 2＋2x －1=0有正根.当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.三、解答题13.(2018湖北孝感高中期中)已知函数f (x )=x 3－x . (1)求曲线y =f (x )在点M (1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b )可作曲线y =f (x )的三条切线，求实数b 的取值范围.【解】(1)f ′(x )=3x 2－1，∴f ′(1)=2. 故切线方程为y －0=2(x －1)，即2x －y －2=0. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0)，则切线方程为y －(x 30－x 0)=f ′(x 0)(x －x 0).又切线过点(1，b )，所以(3x 20－1)(1－x 0)＋x 30－x 0=b ， 即2x 30－3x 20＋b ＋1=0.由题意，上述关于x 0的方程有三个不同的实数解. 记g (x )=2x 3－3x 2＋b ＋1，则g (x )有三个不同的零点，而g ′(x )=6x (x －1)，令g ′(x )=0得x =0或x =1，则结合图像可知g (0)g (1)<0即可，可得b ∈(－1,0).。
2020高考数学一轮复习配餐作业13变化率与导数导数的计算含解析理
2019年配餐作业(十三) 变化率与导数、导数的计算(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析 ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π。
故选C 。
答案 C2．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析 由题意知y ′＝e x，故所求切线斜率k ＝e x| x ＝0＝e 0＝1。
故选A 。
答案 A3．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴y ′| x ＝π2＝－1， 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1。
故选A 。
答案 A4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 2， 所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30。
又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32。
当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 64 Word版含解析
【课时训练】第64节合情推理与演绎推理一、选择题1．(2018山东威海模拟)若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在() A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错【答案】A【解析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确．只有这几个方面都正确．才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的．故选A.2．(2018合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【答案】C【解析】因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．3．(2018西安调研)在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b5·b8<b4·b7【答案】A【解析】∵(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b4＋b4q4)－(b4q＋b4q3)＝b4(1＋q4－q－q3)＝b4(q－1)(q3－1)>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.4．(2018山东菏泽模拟)按照图①～图③的规律，第10个图中圆点的个数为()A．36 B．40C．44 D．52【答案】B【解析】因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．故选B.5．(2018西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项【答案】C【解析】两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．故选C.6．(2018洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【答案】B【解析】A项中小前提不正确，选项C，D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A，C，D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．7．(2018焦作模拟)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．设数列{a n}的前n项和为S n.由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：S n＝n2B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积S＝πabD．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n【答案】A【解析】选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n}是等差数列，其前n项和等于S n＝n(1＋2n－1)2＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．(2018济宁模拟)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A ．(m ，n －m ＋1)B ．(m －1，n －m )C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )【答案】A【解析】由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(c ，d )，则c ＝m ，d ＝n －m ＋1，∴a n ＝(m ，n －m ＋1)．9．(2018济南模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．133【答案】B【解析】由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，….因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同，是250.故选B.二、填空题10．(2018云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．【答案】13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22【解析】由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n (n ＋1)22. 11．(2018成都模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)＞________. 【答案】92【解析】观察f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32， 差为12的等差数列，故f (128)＞32＋6×12＝92.12．(2018长春监测)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．【答案】91【解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.13．(2018东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．【答案】丙【解析】如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．14．(2018厦门模拟)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.【答案】10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30【解析】由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.。
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第2章第13节导数与函数的综合问题含答案
第十三节 导数与函数的综合问题导数与不等式►考法1 【例1】 已知函数f (x )＝x ＋a e x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＜0，a ≤1时，证明：x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． [解] (1)由f (x )＝x ＋a e x 可得f ′(x )＝1＋a e x .当a ≥0时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． 当a ＜0时，由f ′(x )＞0可得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，由f ′(x )＜0可得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上为减函数．(2)证明：设F (x )＝x 2＋(a ＋1)x －xf ′(x )＝x 2＋ax －ax e x ＝x (x ＋a －a e x )． 设H (x )＝x ＋a －a e x ，则H ′(x )＝1－a e x . ∵x ＜0，∴0＜e x ＜1，又a ≤1，∴1－a e x ≥1－e x ＞0.∴H (x )在(－∞，0)上为增函数，则H (x )＜H (0)＝0，即x ＋a －a e x ＜0. 由x ＜0可得F (x )＝x (x ＋a －a e x )＞0，所以x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． ►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题 【例2】 设f (x )＝ax ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]m ax ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0，或x ＞23， 令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1，所以g (x )m ax ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]m ax ＝g (x )m ax －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )m ax ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ， h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0 得x ＞1e .即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数，可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0； 当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )m ax ＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.[解] 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.利用导数研究函数的零点问题【例332(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b.因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎭⎪－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．设函数f (x )＝x 2－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k(1－ln k)2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k(1－ln k)2.因为f(x)存在零点，所以k(1－ln k)2≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(1)＝12＞0，f(e)＝e－k2＜0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．利用导数研究生活中的优化问题【例4】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．[解] (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，如图所示， 又y ′＝－2 000x 3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )， 由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]，则g ′(t )＝2t －16×106t 5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t∈(102，20]时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．所以当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥0.[解] (1)f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x，f ′(0)＝2.因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0. (2)当a ≥1时，f (x )＋e ≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x . 令g (x )＝x 2＋x －1＋e x ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1.当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝0.因此f (x )＋e ≥0.2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－ax ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
[高考数学]2020届13导数的概念及运算理70.doc
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A 组 基础达标
一、选择题 1．函数 y＝ ln(2 x2＋1) 的导数是 (
1 A.
2x2 ＋ 1
) 4x
B. 2x2＋ 1
4x
C.
＋
4
D.
＋
1
4x
B [ y′＝
·４x＝
，故选 B.]
2x2 ＋ 1
2x2 ＋1
2． f ( x) ＝ ax3＋ 3x2＋2，若 f ′( － 1) ＝ 4，则 a 的值等于 (
1 ∴ x＋ x－ a＝ 0 有解，
1 ∴ a＝ x＋ x≥ 2( x＞ 0) ． ]
三、解答题 9．已知函数 f ( x) ＝ x3－ 4x2＋5x－ 4. (1) 求曲线 f ( x) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程； (2) 求经过点 A(2 ，－ 2) 的曲线 f ( x) 的切线方程．
8． (2019 ·大连调研
) 若函数
f
(
x)
＝
1 2x
2
－
ax＋
ln
x 存在垂直于
y 轴的切线，则实数
a 的取值
范围是 ________．
[2 ，＋∞ )
[
∵f
(
x)
＝
1 2
x2－
ax＋
ln
x，
1 ∴ f ′ ( x) ＝ x－ a＋ x.
∵ f ( x) 存在垂直于 y 轴的切线， ∴ f ′ ( x) 存在零点，
A [ y′＝
－ex ＋
－1
x
x1
＝
1 ，因为 e ＞ 0，所以 e ＋ ex≥2
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第13节导数与函数的综合问题课件文北师大版
第十三节 导数与函数的综合问题
01
栏
目 导
02
航
课堂题型全突破 真题自主验效果
课堂 题型全突破
导数与不等式 ►考法 1 证明不等式 【例 1】 已知函数 f(x)＝x＋aex(a∈R)． (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 x＜0，a≤1 时，证明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
所以当 t＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值， 所以 g(t)min＝300， 此时 f(t)min＝15 3. 故当 t＝10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米．
[规律方法] 利用导数解决生活中的实际应用问题的 4 步骤
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚 度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假 设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底 面的建造成本为 1 60 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率)．
x (－∞，－2)
f′(x)
＋
f(x)
↗
－2 －2，－32
0
－
c
↘
－23 0 c－3227
－32，＋∞ ＋
↗
所以，当 c＞0 且 c－3227＜0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－32， x3∈－32，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
由 f(x)的单调性知，当且仅当 c∈0，3227时，函数 f(x)＝x3＋4x2 ＋4x＋c 有三个不同零点．
[规律方法] 利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大 值、最小值、变化趋势等． (2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最) 值的位置． (3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个 清晰、直观的整体展现．
2020版高考数学一轮复习课后限时集训13变化率与导数导数的计算文含解析北师大版
课后限时集训(十三)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知函数f (x )＝x －exx，f ′(x )是f (x )的导函数，则f ′(1)－f (1)＝( )A ．2B ．eC ．1D ．－e B [f ′(x )＝1－exx －x 2，则f ′(1)＝1，又f (1)＝1－e ，所以f ′(1)－f (1)＝1－(1－e)＝e ，故选B.]2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0C [由于y ′＝e －1x，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0，故选C ．]3．曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( ) A ．－12eB ．－2eC ．2eD ．12eD [y ′＝e x＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e.]4．(2019·广州模拟)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C ．1eD ．－1eC [设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ′＝1x 得y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知y 0x 0＝1x 0，即y 0＝1，∴ln x 0＝1，解得x 0＝e ，因此切线的斜率为1e，故选C ．]5．已知奇函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的解析式为f (x )＝x 2＋x ，则曲线y ＝f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0B [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ， 又f (－x )＝－f (x )，则－f (x )＝x 2－x ，即f (x )＝－x 2＋x ， ∴f ′(x )＝－2x ＋1，∴f ′(1)＝－1，又f (1)＝0.因此所求切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0，故选B.] 二、填空题6．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图所示，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.0 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．已知函数f (x )＝13x 3＋43.(1)求函数f (x )在点P (2,4)处的切线方程； (2)求过点P (2,4)的函数f (x )的切线方程．[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.B 组 能力提升1．(2019·青岛模拟)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2； 对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A ．]2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2xA [设三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知得y ＝－x 是函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点(0,0)处的切线，则y ′|x ＝0＝－1⇒c ＝－1，排除选项B 、D.又∵y ＝3x －6是该函数在点(2,0)处的切线，则y ′|x ＝2＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3⇒12a ＋4b －1＝3⇒3a ＋b ＝1.只有A 选项的函数符合，故选A ．]3．(2019·武汉模拟)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．1 [f (x ＋1)＝x ＋－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.]4．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．。
2020版高考数学一轮复习教程学案第13课__对数与对数运算 Word版含解析
第课对数与对数运算. 熟练进行对数式与指数式的互化，了解常用对数和自然对数两种常用形式的对数．. 会运用对数的运算法则进行对数运算，并能将对数和指数的运算法则进行区分和联系．. 用换底公式时，能根据条件正确选择以什么量为底，能进行不同底之间的转化运算.. 阅读必修第～页，完成以下任务：() 对数的概念；底数和真数有何要求？() 对数式与指数式是如何互化的？变与不变的有哪些？() 自然对数与常用对数是什么？() 对数的性质与运算法则有哪些？() 换底公式是如何推导来的？() 重点题目：第页练习第题；第页习题第、、题．. 对数式与指数式的区别与联系？基础诊断. ＋的值为．解析：原式＝＋＝(×)＝＝.. 已知＝，＝，则用，表示＝．解析：＝＝＝＝.因为＝，＝，所以原式＝.. 若··＝，则＝．解析：由已知得，··＝，即＝，所以＝.. 已知＝()是定义在上的奇函数，且当>时，()＝＋，则()＝－．解析：因为＝－，所以()＝(－)．因为＝()是定义在上的奇函数，且当>时，()＝＋，所以(－)＝－()＝－(＋)＝－，即()＝－.范例导航考向❶对数式的化简与求值例求值：() ()＋×；() (＋)×(＋)；() ＋＋＋＋.解析：() 原式＝( )＋×(＋ )＝×( ＋ )＋＝.() 原式＝×＝×＝×＝.() 原式＝()＋－＋＋×＝－＋＋＝.计算：(＋)(－)．解析：方法一：利用对数定义求值设(＋)(－)＝，则(＋)＝－＝＝(＋)－，所以＝－.方法二：利用对数的运算性质求值(＋)(－)＝(＋)＝(＋)(＋)－＝－.考向❷对数运算与方程的简单综合例已知＋＝(－)，求的值．解析：因为＋＝(－)，所以()＝(－)，所以＝(－)，即－＋＝，所以－＋＝，。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 68
【课时训练】第68节 复 数一、选择题1．(2018佛山二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b ＝( )A. 2 B ．2 2C ．2D ．4【答案】D【解析】由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4. 2．(2018天津质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4【答案】D【解析】∵2i －a 1－i ＝2i －a (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i －a 2－a 2i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2i －a 2∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4.3．(2018南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.4．(2018南昌月考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i【答案】D【解析】设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.5．(2018新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 【答案】C【解析】由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2 θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 6．(2018昆明一模)已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)【答案】C【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且0<a <2，所以由|z |＝1＋a 2，得1<|z |< 5.7．(2018九江质检)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定【答案】A【解析】∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2，∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．二、填空题8．(2018南昌质检)复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 【解析】z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.9．(2018河南百校联考)已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}．若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．【答案】3或6【解析】∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．(2018开封模拟)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．【答案】3【解析】∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x m a x ＝31＝ 3.11．(2018绍兴模拟)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.【答案】－2 3【解析】∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根． 由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧ (1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3.12．(2018岳阳模拟)给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】④【解析】由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．三、解答题13．(2018合肥一中月考)复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i.若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．【解】z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.14．(2018大庆实验中学期末)若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 【解】这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5ba 2＋b 2＝0.又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①∵z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
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1
第13讲 变化率与导数、导数的运算
考试
说明
1.了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数yc（c为常数）,231,,,,yxyyxyxyxx的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函
数求导法则,能求简单的复合函数(仅限于形如()faxb的复合函数)的导数.
考情
分析
考点 考查方向 考例
导数的定义 利用定义求导数
导数的运算 计算导数、求某点导数值等 所有导数试题
导数的几何意义
求切线斜率、方程、根据切线求参数值、导数几何意义的应用等 几乎所有导数试题
【重温教材】选修2-2 第1页至第18页
【相关知识点回顾】
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念
对于函数y=f(x),=叫作函数y=f(x)从x1到x2的 变化率
几何
意义
函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的
物理
意义
若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则就是该质点在[x1,x2]上的 速
度
(2)导数:
概念 点x0处
=,我们称它为函数y=f(x)在
处的导数,记为
f'(x0)或y',即f'(x0)==
2
区间
(a,b)
当x∈(a,b)时,f'(x)== 叫作函数在区间(a,b)内的导数
几何 意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f(x)在点
(x0,f(x0))处的切线方程是
物理 意义 函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的
速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的 方程
2.导数的运算
常用
导数
公式
原函数 导函数 特例或推广
常数函数 C'=0(C为常数)
幂函数 (xn)'= (n∈Z)
'=-
三角函数
(sin x)'= , (cos x)'= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的
导数是周期函数
指数函数 (ax)'= (a>0且a≠1) (ex)'=ex
对数 函数 (logax)'= (a>0且a≠
1)
(ln x)'=,
(ln|x|)'=
四则
运算
法则
加减 [f(x)±g(x)]'=
'=
f'i(x
)
乘法
[f(x)·g(x)]
'=
[Cf(x)]'=Cf'(x)
除法
'=
(g(x)≠0)
'=-
复合
函数
导数
复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系
用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
【知识回顾反馈练习】完成练习册第33页【对点演练】
题组一 常识题
1. 判断下列结论是否正确(打“√”或“×”)
⑴ 0fx是函数yfx在0xx附近的平均变化率;
⑵ 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;
⑶ 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线;
⑷ 函数sinfxx的导数是cosfxx;
⑸ 若322fxaaxx,则232fxax
3
2. [教材改编] 向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单
位:dm)的平均变化率约为 .
3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'= .
4.[教材改编] 曲线xyxe在点(1,1)处切线的斜率等于 .
题组二 常错题
5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .
6.已知函数y=sin 2x,则y'= .
7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .
【探究点一】导数的运算：【练习册】034页
探究点一 导数的运算
1 (1)函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf'(2)-ln x,则f'(2)的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
(2)已知f(x)=-sin ,则f'= .
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化
简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
式题 (1)函数y=的导数为y'= .
(2)已知f(x)=(x+1)(x+2)(x+a),若f'(-1)=2,则f'(1)= .
【探究点二】
探究点二 导数的几何意义
考向1 求切线方程
2 函数f(x)=ex·sin x的图像在点(0,f(0))处的切线方程是 .
[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问
题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线
和曲线上某点处的切线的区别.
考向2 求切点坐标
3 设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜
率是,则切点的横坐标为 ( )
A.ln 2 B.-ln 2
C. D.-
[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.
考向3 求参数的值
4 已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a
( )
A.1 B.2 C. D.-
[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得
到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.
强化演练
1.【考向1】 已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为
( )
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
2.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
3.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a= ( )
A.1 B.e C. D.0
4.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .
5.【考向1】 函数f(x)=xex的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
.
1.设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.曲线21yxx在点(1,2)处的切线方程为 .
3.已知f(x)为偶函数,当x<0时,()ln()3fxxx,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程
是
.
4.已知函数31()4fxxax,当a= 时,x轴为曲线y=f(x)的切线.
5.设函数1()lnxxbefxaexx,曲线()yfx在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b.
5
【思维导图】（学生自我绘制）
6.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .
7已知函数1()(21)()2xfxxxex,求f(x)的导函数.
8在直角坐标系xOy中,曲线C:24xy与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.当k=0时,分别求C在点
M
和N处的切线方程
.
9若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性
质.下列函数中具有T性质的是 ( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
10.设直线l1,l2分别是函数ln,01()ln,1xxfxxx图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且
l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 (
)
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)