数理统计基本概念
1
§1.1 总体与样本
一、 总体与个体
总体指研究对象的某项数量指标值的全体。组成总体 的每个元素称为个体。由于每个个体的出现带有随机 性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可 把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量 及其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分 布的符号X,Y,Z…来表示总体。
7
表 1.1.1 58批矿泉水不合格指标数的频率、 频数分布表
不合格 指标数 0
频数 33
频率 0.57
1
17
0.293
2
5
0.086
3
1
0.017
4
2
0.034
合计
58
1
8
直方图
频率
40
20
频率
0 0 1 2 3 4 其他
个数
9
(2) 经验分布函数
样本直方图可以形象地去描述总体概率密度函数大致 形状,经验分布函数将可以用来描述总体分布函数的 大致形状.
若人们关心的是灯泡的寿命。这是一个无限总体。 假如人们根据过去的资料知道灯泡的寿命X服从 指数分布，其密度函数为
ex , x 0
f (x) 0, x 0
所需确定的参数是λ>0.
6
四、从样本去认识总体
⑴ 频数频率分布表及其图示
例1.4 我们通常饮用的矿泉水有19个指标.某市 技术监督局一次抽查了58批矿泉水,记录每一批 矿泉水的每个指标是否合格,从中可统计出每批矿 泉水不合格指标的个数X.这里X是一个离散型随 机变量,其一切可能取值为0,1,…19。 58批矿泉 水的指标不合格数构成了一个容量为58的样本的 观察值,每个可取0,1,…,19中某个值,将它们整理 后列成表1.1.1
Ch 1 数理统计基本概念
数理统计是研究如何有效地收集、整理和分析带有随机影 响的数据，从而对所观察的现象做出推断或预测，为决策 提供依据的一门学科。
在近一个多世纪的发展中，数理统计不同程度地渗透到 人类活动的许多领域。人口调查、税收预算、测量误差、 出生与死亡统计、保险业中赔款额和保险金的确定等，这 些数理统计早期主要研究的问题，直到现在仍然值得认真 研究。在近半个世纪以来，数理统计在理论、方法、应用 上都有较大的发展。抽样调查、试验设计、回归分析与回 归诊断、多元分析、时间序列分析、非参数统计、统计决 策函数、统计计算、随机模拟、探索性数据分析等统计方 法相继产生并在实践中普遍使用，把以描述为主的统计发 展到以推断为主的统计。数理统计的内容已异常丰富，应 用广泛，成为当前最活跃的学科之一。
( X1, X 2 , , X n ), 其观察值为( x1, x2 , , xn ).
3
简单随机抽样:
它要求满足两点:
(1)代表性. 样本中每个个体与所考虑的总体有相同 的分布.即样本中每个个体与总体X具有相同的分布.
(2)独立性. 样本中每个个体取什么值并不影响其它 个体取什么值.即必须是相互独立的随机变量.
由简单随机抽样所得到的样本称为简单随机样本.假
如总体的分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合
分布函数为
n
F (x1, , xn ) F (xi ) i1
n
f (x1, , xn ) f (xi )
i1
4
三、 分布族
在概率论研究中，随机变量的分布总是假设给定 的，但在数理统计的研究中，总体的分布是未知 的，但总可以假定总体的分布是某一个分布族的 成员.
某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉
罐头,由于随机性,每个罐头的净重有差别,现从中随
机取10个罐头,其净重如下: 0 x 336
344,336,345,342,340, 0.1 336 x 338
338,344,343,344,343, 0.2 338 x 340
求经验数为F(x),从中获得
的样本观察值为 x1, , xn ,将它们从小到大排
列成 x(1) x(2) x(n) ,令
0,
x x(1)
Fn (x) k n , x(k ) x x(k1)
1,
x x(n)
称 Fn (x) 为该样本的经验分布函数.
10
例1.5 写出经验分布函数
例1.3 在研究某批灯泡的质量时,若关心的是其质量 是否合格,若合格记为0,不合格记为1,因此该总体就 可用仅取0和1的随机变量X来表示.显然,这个总体 的分布就是一个参数为p的二点分布b(1,p),由于p 未知,故这个总体分布也是未知的,但可以假定该总 体分布是二点分布族
F={b(1,p);0<p<1} 5
例1.1研究某灯泡的使用寿命时,总体可用随机变量X 来表示,或用其分布函数F(x)表示。
2
例1.2研究某地区学龄前儿童发育情况,人们关心的 是其体重X和身高Y这两个数量指标,则此总体就可 用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)表示.
二、样本
为了推断总体分布及其各种特征，就必须从总体中 按一定法则抽取若干个体进行观测或试验，以获得 有关总体的信息.这一抽取过程称为抽样.所抽取的 部分个体称为样本,样本中个体的数目称为样本容量. 例如容量为n的样本可以看作是n维随机变量
SK反映了总体分布密度曲线的对称性信息.当 SK>0时,分布的形状是右尾长,称为正偏的;当 SK<0时,分布的形状是左尾长,称为负偏的.
(Xi
X )2
S S2
样本方差与样本标准差反映了数据取值分散与 集中的程度,即反映了总体方差与标准差的信息.
⑶样本k阶(原点)矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它们分别反映了总体k阶(原点)矩与k阶中心矩的 信息.
13
⑷样本偏度
SK
B3
3
B2 2
中不含任何未知参数,则称T为统计量.统计量的 分布称为抽样分布.
2.常用的几个统计量
设 X1, , X n 是来自总体X的样本
⑴样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本均值是反映总体数学期望所在位置信息的一
个统计量,是总体数学期望的一个很好的估计. 12
⑵样本方差 样本标准差
S 2
1 n 1
n i 1
Fn
(
x)
0.3 0.4
340 x 342 342 x 343
0.6 343 x 344 0.9 344 x 345
1 345 x
11
§1.2 统计量及其分布
1.定义1.2.1 设 X1, , X n 是取自某总体的一个 容量为n的样本,假如样本函数 T T ( X1,L , X n )
§1.1 总体与样本
一、 总体与个体
总体指研究对象的某项数量指标值的全体。组成总体 的每个元素称为个体。由于每个个体的出现带有随机 性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可 把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量 及其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分 布的符号X,Y,Z…来表示总体。
7
表 1.1.1 58批矿泉水不合格指标数的频率、 频数分布表
不合格 指标数 0
频数 33
频率 0.57
1
17
0.293
2
5
0.086
3
1
0.017
4
2
0.034
合计
58
1
8
直方图
频率
40
20
频率
0 0 1 2 3 4 其他
个数
9
(2) 经验分布函数
样本直方图可以形象地去描述总体概率密度函数大致 形状,经验分布函数将可以用来描述总体分布函数的 大致形状.
若人们关心的是灯泡的寿命。这是一个无限总体。 假如人们根据过去的资料知道灯泡的寿命X服从 指数分布，其密度函数为
ex , x 0
f (x) 0, x 0
所需确定的参数是λ>0.
6
四、从样本去认识总体
⑴ 频数频率分布表及其图示
例1.4 我们通常饮用的矿泉水有19个指标.某市 技术监督局一次抽查了58批矿泉水,记录每一批 矿泉水的每个指标是否合格,从中可统计出每批矿 泉水不合格指标的个数X.这里X是一个离散型随 机变量,其一切可能取值为0,1,…19。 58批矿泉 水的指标不合格数构成了一个容量为58的样本的 观察值,每个可取0,1,…,19中某个值,将它们整理 后列成表1.1.1
Ch 1 数理统计基本概念
数理统计是研究如何有效地收集、整理和分析带有随机影 响的数据，从而对所观察的现象做出推断或预测，为决策 提供依据的一门学科。
在近一个多世纪的发展中，数理统计不同程度地渗透到 人类活动的许多领域。人口调查、税收预算、测量误差、 出生与死亡统计、保险业中赔款额和保险金的确定等，这 些数理统计早期主要研究的问题，直到现在仍然值得认真 研究。在近半个世纪以来，数理统计在理论、方法、应用 上都有较大的发展。抽样调查、试验设计、回归分析与回 归诊断、多元分析、时间序列分析、非参数统计、统计决 策函数、统计计算、随机模拟、探索性数据分析等统计方 法相继产生并在实践中普遍使用，把以描述为主的统计发 展到以推断为主的统计。数理统计的内容已异常丰富，应 用广泛，成为当前最活跃的学科之一。
( X1, X 2 , , X n ), 其观察值为( x1, x2 , , xn ).
3
简单随机抽样:
它要求满足两点:
(1)代表性. 样本中每个个体与所考虑的总体有相同 的分布.即样本中每个个体与总体X具有相同的分布.
(2)独立性. 样本中每个个体取什么值并不影响其它 个体取什么值.即必须是相互独立的随机变量.
由简单随机抽样所得到的样本称为简单随机样本.假
如总体的分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合
分布函数为
n
F (x1, , xn ) F (xi ) i1
n
f (x1, , xn ) f (xi )
i1
4
三、 分布族
在概率论研究中，随机变量的分布总是假设给定 的，但在数理统计的研究中，总体的分布是未知 的，但总可以假定总体的分布是某一个分布族的 成员.
某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉
罐头,由于随机性,每个罐头的净重有差别,现从中随
机取10个罐头,其净重如下: 0 x 336
344,336,345,342,340, 0.1 336 x 338
338,344,343,344,343, 0.2 338 x 340
求经验数为F(x),从中获得
的样本观察值为 x1, , xn ,将它们从小到大排
列成 x(1) x(2) x(n) ,令
0,
x x(1)
Fn (x) k n , x(k ) x x(k1)
1,
x x(n)
称 Fn (x) 为该样本的经验分布函数.
10
例1.5 写出经验分布函数
例1.3 在研究某批灯泡的质量时,若关心的是其质量 是否合格,若合格记为0,不合格记为1,因此该总体就 可用仅取0和1的随机变量X来表示.显然,这个总体 的分布就是一个参数为p的二点分布b(1,p),由于p 未知,故这个总体分布也是未知的,但可以假定该总 体分布是二点分布族
F={b(1,p);0<p<1} 5
例1.1研究某灯泡的使用寿命时,总体可用随机变量X 来表示,或用其分布函数F(x)表示。
2
例1.2研究某地区学龄前儿童发育情况,人们关心的 是其体重X和身高Y这两个数量指标,则此总体就可 用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)表示.
二、样本
为了推断总体分布及其各种特征，就必须从总体中 按一定法则抽取若干个体进行观测或试验，以获得 有关总体的信息.这一抽取过程称为抽样.所抽取的 部分个体称为样本,样本中个体的数目称为样本容量. 例如容量为n的样本可以看作是n维随机变量
SK反映了总体分布密度曲线的对称性信息.当 SK>0时,分布的形状是右尾长,称为正偏的;当 SK<0时,分布的形状是左尾长,称为负偏的.
(Xi
X )2
S S2
样本方差与样本标准差反映了数据取值分散与 集中的程度,即反映了总体方差与标准差的信息.
⑶样本k阶(原点)矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它们分别反映了总体k阶(原点)矩与k阶中心矩的 信息.
13
⑷样本偏度
SK
B3
3
B2 2
中不含任何未知参数,则称T为统计量.统计量的 分布称为抽样分布.
2.常用的几个统计量
设 X1, , X n 是来自总体X的样本
⑴样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本均值是反映总体数学期望所在位置信息的一
个统计量,是总体数学期望的一个很好的估计. 12
⑵样本方差 样本标准差
S 2
1 n 1
n i 1
Fn
(
x)
0.3 0.4
340 x 342 342 x 343
0.6 343 x 344 0.9 344 x 345
1 345 x
11
§1.2 统计量及其分布
1.定义1.2.1 设 X1, , X n 是取自某总体的一个 容量为n的样本,假如样本函数 T T ( X1,L , X n )
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第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求
分别为总体的样本均值和样本方差分别为总体的样本均值和样本方差独立同服从分布由分布的性质知为来自x的简单随机样本x是样本均值为总体x的样本为总体y的样本的样本均值分别表示总体证明由抽样分布的知识可得11独立又两个总体相互独立
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
数理统计基本概念
n1 Γ( ) 2 n 1 x 2 fT ( x ) (1 ) 2 , n n n Γ ( ) 2
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计的基本概念
(n 2) n n
n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自
n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自
数理统计的基本概念
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第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
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结束
第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
i 1 i 1
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ki !
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第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
数理统计基本概念
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 n1 n2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.
若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情 形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某 总体的样本”时，若不特别说明，就指简 单随机样本.
数理统计的基本概 念
一、总体和样本
1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.
若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情 形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某 总体的样本”时，若不特别说明，就指简 单随机样本.
数理统计的基本概 念
一、总体和样本
1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
数理统计的基本概念
证明:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
5.1.4 统计量及抽样分布
2. F分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
列出其频数频率分布表。
组序 分组区间 组中值 1 (147，157] 152 2 (157，167] 162 3 (167，177] 172 4 (177，187] 182 5 (187，197] 192 合计
频数 4 8 5 2 1 20
频率 累计频率(%) 0.20 20 0.40 60 0.25 85 0.10 95 0.05 100 1
1、设X 1 , X 2 ,
, X n (n 2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本， (n 1) X 12
2 X i i 2 n
X 为样本均值，S 2为样本方差，则统计量
服
从 __________ 分布。 (05—06二）
2、设 X 1 , X 2 , X 3是来自正态分布 N (0, 2 )总 体的简单随机样本，则 统计量 2 服从 ________ 分布。（05—06三） X1 X X
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
第六章 数理统计的基本概念(1)
(k 1, M1就是X )
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
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样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
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第六章 数理统计的基本概念
第22页
（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
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2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
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样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
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第六章 数理统计的基本概念
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（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。