15.1.2 幂的乘方和积的乘方
同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题
幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例1： 计算列下列各题 （1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
2、 b 2·b ·b 7=________。
3、103·_______=10104、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。
5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。
八年级数学上 15.1.2幂的乘方
15.1.2幂的乘方教学目标:1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点:会进行幂的乘方和积的乘方的运算，教学难点:幂的乘方法则和积的乘方法则的总结及运用。
教学过程：一、知识回顾：1、回顾同底数幂的乘法法则：a m·a n= （m、n都是正整数）2、计算（1）（x+y)2·（x+y)3（2）x2·x2·x+x4·x=（3）x3·x n-1－x n-2·x4=二、新知探究：1、自主探究，感受新知32表示个相乘. (32)3表示个相乘.(32)3= =a2表示个相乘. (a2)3表示个相乘.(a2)3= =a m表示个相乘. (a m)3表示___个___相乘.(a m)3= =2、推广形式，得到结论（a m)n表示_______个________相乘（a m)n =___×___×___×…×___× ___ ( 个a m相 =___即（a m)n= ______________(其中m、n都是正整数)3、归纳结论：幂的乘方,底数__________,指数__________.三、巩固新知：例：计算：（1）（103）5（2）(a4)4(3) （a m）2 (4) －（x4）3（5）[（32）3]4 （6）[（－6）3]4(7)2(x2)n－(x n)2（8）[（x2）3]7随堂练习一、判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10 （）（2）（x3）3=x6 （）（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （）（4）x3+y3=（x+y）3（）（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （）（6）、()52323xxx==+ ( ) （7）、()7632aaaaa=⋅=-⨯ ( ) （8）、()93232xxx==（）（9）、9333)(--=mm xx（）（10）、532)()()(yxxyyx--=-⋅- ( )二、填空题。
八年级数学上册 15.1.2-15.1.3《幂的乘方和积的乘方》课堂教学实录 新人教版
15.1.2～15.1.3 幂的乘方和积的乘方课堂实录【情境导入】师：同学们好！生：老师好！师：你知道吗？如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球的体积是乙球的多少倍？生：n 3倍。
师：（播放投影画面）同学们，我们来看一幅天体图。
上面的三个球体分别代表地球、木星、和太阳。
木星的半径约是地球的10倍，太阳的半径约是地球的210倍，那它们的体积分别约是地球的多少倍？老师先让学生观看一张有关地球、木星、太阳的模拟图，调动学生的积极性。
学生分组讨论，交流问题并发表见解。
小组交流然后汇总。
生：木星的体积是地球体积的103倍。
生：太阳的体积是地球体积的（102）3倍。
师：你们回答的很对！在这里我们遇到了幂的乘方，到底（102）3等于多少呢？通过今天的学习就能有个明确的答案了。
板书课题“幂的乘方和积的乘方”【探索新知】师：回忆有理数乘方的知识，你知道4a 的意义是什么吗？生：4a 表示4个a 相乘。
师：如果把4a 看成底数，则34)(a 的意义是什么？ 生：34)(a 表示3个 4a 相乘。
师：回答的很好。
那如何计算34)(a 呢？ 生：34)(a =4a ·4a · 4a =a 12 师：你的推理很正确。
同学们你们会吗？生：会。
师：好！下面请你们计算下列各式，看看计算结果有什么规律。
老师利用多媒体出示探究一。
学生分组计算讨论。
教师参与讨论。
小组1：（1）42)6(=68 小组2：（2）32)(a =a 6 小组3: （3）2)(m a =a 2m小组4: （4）n m a )(=a mn学生汇报，教师利用多媒体展示推理过程。
师：你们做的很棒！师：根据上面的结果同学们有没有发现幂的乘方有何规律？生：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
老师板书：1、幂的乘方的运算规律幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即n m a )(=mn a （n m ,都是正整数）师：接下来我们看这样一个问题“已知一个正方体的棱长为2×103cm ，•你能计算出它的体积是多少吗？”生：它的体积V=（2×103）3cm3。
1,2幂的乘方与积的乘方(2)
(ab)n = ab· ab· ……· ab
n个 a
( 幂的意义 )
乘法交换律、 ( 结合律
n个 b
=(a· a·……·a) (b· b·……·b)
=an· bn．
)
( 幂的意义
)
3、积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 4、积的乘方法则： 积的乘方等于每一个因数乘方的积。
(ab)n = an· bn（m,n都是正整数）
12 2 4 3
( x3 ) 2 ( x 4 ) 2 (2x ) (3x )
3 2 2 3
(2 x3 ) 2 (3x 2 )3
(2x ) (3x )
3 3
2 3
小结
(am)n=amn (m,n都是正整数).
学习目标
3、积的乘方的意义： 4、积的乘方法则。
探索 & 交流 根据幂的意义，(ab)3表示什么?
(ab)3= ab· ab· ab =a· a· a· b· b· b = a 3· b3
猜想
(ab)n= anbn
(ab)n = an· bn的证明
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据： n个ab
4 球的体积和半径，那么 V r 3 。 地球的半径约为 3 3
6×10 千米，它的体积大约是多少立方千米
3.14
解：V 4 r 3
3 4 = ×(6×103)3 3 4 × 3 = 6 ×109 3 ≈ 9.05×1011 (千米3)
公式的 反向使用 (ab)n = an· bn （m,n都是正整数） n· n = (ab)n a b 反向使用:
1.2 幂的乘方与积的乘方（2）
知识回顾
1.2幂的乘方与积的乘方(第2课时)
推广：三个或三个以上的积的乘方 等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
怎样证明 ?
例1：计算: (1) (-2a)2 (3) (xy2)2
(2) (-5ab)3 (4) (-2xy3z2)4
解：(1)原式=(-2)2a2 = 4a2
(2)原式=(-5)3a3b3 =-125a3b3 (3)原式=x2(y2)2 =x2y4 (4)原式=(-2)4x4(y3)4(z2)4 =16x4y12z8
知识回顾
n个a 1.幂的意义: a·a·… ·a = an
2.同底数幂的乘法运算法则：
am ·an =Biblioteka am+n（m,n都是正整数）
3.幂的乘方运算法则:
(am)n= amn (m，n都是正整数)
1.2
积的乘方 （二）
(ab)n=?
思考问题：积的乘方(ab)n =?
n个ab
证明：(ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010
判断: 练习2：
(1) (ab2)3=ab6 (2) (3xy)3=9x3y3 (3) (-2a2)2=-4a4
(4) -(-ab2)2=a2b4
( ×) ( ×) ( ×) ( ×)
n个a
n个b
=(a·a·····a)·(b·b·····b)
=anbn
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方
积的乘方法则
乘方的积
(ab)n = an·bn （m,n都是正整数）
积的乘方,等于每一因式乘方的积.
1-2 幂的乘方与积的乘方
【例2】计算：(1)0.2510×220；(2)0.1257×27×47. 解析 如果用有理数运算性质来求解，会十分繁杂. 换 一个思维角度，如果我们运用积的乘方anbn＝(ab)n，则 会很简便.
解 (1) 原式＝0.2510×(22)10＝(0.25×4)10＝110＝1；
(2) 原式＝(0.125×2×4)7＝1.
【例1】计算(a3)2的结果正确的是(
)
A. －a5
B. a5
C. －a6
D. a6
解析 此题考查幂的乘方问题，关键是根据幂的乘方 法则进行计算. (a3)2＝a3×2＝a6.
答案
D
举一反三 1. 计算：
(1)(－b2)5· (－b3)2；
答案 －b16 (2)(－x3)2· (－x2)3； 答案 －x12
所以24m＋6n＝4×25＝100.
第一章
整式的乘除
2 幂的乘方与积的乘方
新知1
幂的乘方
(1)幂的乘方的意义.
幂的乘方是指几个相同的幂相乘. 如(a5)3是三个a5相
乘，读作a的五次幂的三次方，即(a5)3＝a5· a 5· a 5 ＝ a5 ＋
5＋ 5＝ a 5× 3.
(am)n是n个am相乘，读作 a的m次幂的n次
n个 m
方，即(am)n＝am· am· am…am＝am＋m＋…＋m＝amn.
(3)(y3)2· (y2)3. 答案 y12 2. 当a＝－1时， － ＝ .
新知2
积的乘方
(1)积的乘方的意义. 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 . 如(ab)3，(ab)n 等.
(ab)3＝(ab)· (ab)· (ab)＝(a· a· a)· ( b· b· b)＝a3b3.
15.1.2 幂的乘方积的乘方
(2) (-3a3b2c)4
6、计算： a3 ·4· a a+(a2)4+(-2a4)2
1.计算: （3分钟）
(1) (-3x)3 (3) (xy2)2
(2) (-5ab)2 (4) (-2xy3z2)4
解：(1)原式= (-3)3x3 = -27x3 (2)原式= (-5)2a2b2 =25a2b2
当堂检测
1.计算 3)3 = 109 （1）(10 （3）-(xm)5 = -(x)
5m
（2）(x3)2
x6 =
2)3· 5 = a11 （4）(a a
幂的乘方的运算公式
你能用语言叙述这个 结论吗？
(a m ) n a mn
(m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方法则的逆用
(6) (-3×103)3
4 、计算：
2(x3)2 · 3－(3x3)3＋(5x)2 ·7 x x
延展练习（10分钟）
1.若(x2)m=x8，则m=______
2.若[(x3)m]2=x12，则m=_______ 3.若xm· 2m=2，求x9m的值。 x 4.若a2n=3，求（a3n）4的值。
5、计算： (1)（-2x2y3)3
x
8
；
（5） x)3 x 3 (
x
； （6）
a a a a 2a
4
5
.
2．下面的计算对不对？如果不对应该怎样改正？
⑴ ⑶
x x 2x ;
3 3 3
⑵ x x x ;
3 3 6
x x 2x ; ⑷ x x x ;
3 3 6
3
3
9
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方一、教学要求、1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。
2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。
二、重点、难点：1. 重点： （1）同底数幂的乘法性质及其运算。
2. 难点： （1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。
三. 知识要点：1. 同底数幂的意义几个相同因式a 相乘，即a a a n ··…·个，记作a n，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数。
同底数幂是指底数相同的幂，如：23与25，a 4与a ，()a b 23与()a b 27，()x y -2与()x y -3等等。
注意：底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。
2. 同底数幂的乘法性质 a a a m n m n ·=+（m ，n 都是正整数）这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：a a a a m n p m n p ··=++（m ，n ，p 都是正整数）3. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a 53是三个a 5相乘读作a 的五次幂的三次方，()a m n是n 个a m相乘，读作a 的m 次幂的n 次方()()a a a a a a a a a a n a n a m n m m m m m m m n 5355555553======++⨯+++⨯····…·个个…4. 幂的乘方性质()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
（2）此性质可逆用：()aamnm n=。
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3
3
(5) (- 1 a2bc3)2 = 1 a4b2c6 (√ )
2
4
(6) (-
7 )5(
3
3 7
)5
=
(-
7 × 3)5 =
37
-1 (√
).
3.不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
22×3×52, 24×32 ×53
4. 已知: 2×8n×16n = 222, 求 n 的值?
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 对同学说,你有什么温馨提示?
2.计算:
(1) (-3n)3 (2) (5xy)3 (3) –a3+(-4a)2a
3.判断题: 积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？
(1).(ab)4=ab4 (×) (2) (3ab2)2 = 3a2b4 (×)
(3) (-x2yz)2=-x4y2z2 (× ) (4) (2xy2)2= 4 x2y4 (× )
一个正方体的棱长是10²mm, 你能计算出 它的体积吗? 如果将这个正方体的棱长扩大到原来的10 倍, 则这个正方体的体积是原来的多少倍?
V=(10²)³mm³ V1=(10²×10)³mm³
很显然, V=(10²)³, V1=(10²×10)³,都不是最简, 你能利用幂的意义得出最后结果吗?试试看.
它的体积应是: V = (1.1×103)3 mm3
这个结果是幂的 乘方形式吗?
1. 填空:看看运算过程用到哪些运算 律,从运算结果看能发现什么规律?
(1) (ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a(2 )b(2 );
(2)(ab)3=___(a_b_)_(_a_b_)(_a_b_) ____=__(_a_a_a_)·_(_b_b_b_) _ =a( 3 )b( 3 );
n个(ab)
(3)(ab)n=_____(a_b_)(_a_b_)-_--_--_--_-(_ab_)____________
n个a
n个b
=____(a_a_a_--_--_--_-a_)_（·__b_b_b_--_--_--_-b_)______
=a( n )b( n ). (n是正整数)。
２.把你发现的规律用符号语言表述， 再用文字语言表达． 符号语言表达：
(am)n ＝ amn (m ,n都是正整数)
幂的乘方运算（语言叙述）： 幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例1 计算
（1）（103）5 (3) (am)2
（2） (a4)4 (4) - (x4)3
1.计算:
(1)（103）3 （2）（x3）2
(3) –(xm)5 (4) (a2)3·a5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.计算:
（1）(104)4 (2) –(a2)5
(3) (x3)4·x2
(4) 〔(-x)2〕3 (5) (-a)2(a2)2 (6)x·x4-x2·x3
3.判断下面计算是否正确? 如有错误请改正:
（1）(x3)3 = x6 (2) a6·a4 = a24
一个正方体的棱长是1.1×10²mm, 你能计算出它的体积吗?
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空, 看看结果有什么规律:
(1)(3²)³=3²×3²×3²=
（
3
6）
(2)(a²)³=a²·a²·a²= a( 6 )
(3)(am)3 = am ·am ·am = a(3m)
观察上述运算结果，底数没有变， 那么指数发生了什么变化呢？
幂的乘方运算（字母表达式）：
例３： 已知 10m=4, 10n=5. 求：103m+2n的值。 解：103m+2n =103m·102n = (10m)3·(10n)2 = 43×52 = 64×25 = 1600
(ab)n = anbn (n为正整数)
文字语言表述：
积的乘方，等于把积的每一个因式 分别乘方，再把所得的幂相乘．
例2: 计 算 (1) (2a)3
(3) (xy2)2
(2) (-5b)3 (4) (-2x3)4
1.计算: (1) (ab)4
(2) (-2xy)3
(3) (-3×102)3
(4) (2ab2)3
作业： 三维课堂 P58 第二三课时
例3: 计算
（1）〔(2a+b)4〕2 （2） (m2n-1)2·(mn+1)3
(3) 3 (a2)4· (a3)3- (-a)·(a4)4 + (a)3·(a4)2·(a2)3
一.计算:
(1)(3b)2; (2)-(ab)2; (3)(-4a2)3; (4)(y2z2)3. 二.下面计算是否正确?如有错误请改正.
(1) (ab4)4=ab8; (2) (-3pq)2= -6p2q2.
三.计算题:
(1) (xy4)m; (2) (-p2q)n; (3) (xy3n)2+(xy6)n.
(4)(-3x3)2-〔(2x)2〕3; (5) (abc)n.
四.计算题: (1)-a2·(-a)2·(-a2)3+a10;
(2) (x-y)2m·(y-x)2m-1 (m＞1).