高一下期末考试数学试卷含答案
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数是纯虚数,则实数a 的值为( )A.0B.1C.-1D.2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )A.C. D.4．已知向量,,若,则( )5．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )6．若( )A.7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O 的正东方向A 处,测得旗杆顶端P 的仰角为,在A 的南偏西方向上的B 处,测得P 的仰角为（O ,A ,B在同一水平面内）( )A.10mB.14mC.17mD.20mA. B. C. D.二、多项选择题9．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．下列命题为真命题的是( )()21i z a a =+-1±π2π()2,4a =-()1,b x =//a b||b = πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭60 30 45 ≈ 1.7≈tan tan B C =+∞⎫+⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭()1,+∞()2,+∞ABC △A.若,则为直角三角形B.若,则为等腰三角形C.若,则为等腰三角形为等腰直角三角形10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则D.若,,,则11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”,“两个球标号的和为奇数”,“两个球标号都不小于2”,则( )A.A与B互斥B.A与C相互独立C. D.三、填空题12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．13．已知向量,,向量在,则______________．四、双空题14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多数为____________．五、解答题15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．（1）求B;（2）若,求．16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．222sin sin sinA B C+=ABC△sin sina Ab B=ABC△cos cosa Ab B=ABC△cos Bb==ABCαβγa c⊥b c⊥//a b//aαaβ⊂bαβ=//a baα⊥aβ⊂αβ⊥αγ⊥βγ⊥aαβ=aγ⊥A=B=C=()()()P AB P AC P A+=()()()()P ABC P A P B P C=a2aba b⋅=ABC△222a c b+=+c=tan CP ABCD-ABCD PA⊥ABCD BC AP（1）证明：;（2）证明：平面．17．某班学生日睡眠时间（单位：h ）频率分布表如下：;（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．18．已知的面积为9,点D 在BC 边上,．（1）若,①证明：;②求AC ;（2）若,求AD 的最小值．19．如图,等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面,E ,F 分别为上下底面圆周上的点,且B ,E ,D ,F 四点共面．的PC BD ⊥//EF PCD [)7,7.5[]8.5,9[77.5)，ABC △2CD DB =cos BAC ∠=AD DC =sin 2sin ABD BAD ∠=∠AB BC =1OO（1）证明：;（2）已知,,四棱锥的体积为3．①求三棱锥的体积;②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．//BF DE 2AD =4BC =C BEDF -B ADE -C BF D --参考答案1．答案：A解析：根据题意,复数是纯虚数,所以且,解得.故选：A.2．答案：D解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.故选：D.3．答案：B解析：根据题意圆锥的母线长即可求得．故选：B.4．答案：B解析：因为,所以,即所以,所以所以故选：B.5．答案：C解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A ,B ,C ,从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,共10种情况．选中的水果品种相同的选法有：,,,有4种．故选：C.6．答案：B()21i z a a =+-0a =210a -≠0a =l ==πrl 侧＝π1S ⨯=侧＝//a b =a b λ()()()()2,4=2,4=1,,x x λλλ⇒--2==24==2x x λλλ--⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩()1,2b =- ||b ==()1,2()1,A ()1,B ()1,C ()2,A ()2,B ()2,C (),A B (),A C (),B C ()1,2(),A B (),A C (),B C =解析：令,,则令所以故选：B.7．答案：C解析：如图,设米,则米.在中,由题意可得,,由余弦定理可得解得米.故选：C.8．答案：A,所以π3x α=-π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos x =2y α=π22y x =-22ππ21sin 2sin sin 2cos 22cos 1216239y x x x α⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-==-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OP h =tan 60h OA == tan 45hh ==OAB △60OAB ∠= 2cos cos 60OAB ∠== 17h =≈tan tan B C =+()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C A B C B C B C B C++=+===cos B ==又因为三角形ABC 为锐角三角形,所以所以,故选：A.9．答案：ABD解析：对于A,若,由正弦定理得,所以为直角三角形,故A 正确;对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,故B 正确;对于C,若,由正弦定理得,所以或,即或是等腰或直角三角形,故C 错误;,所以,,即为等腰直角三角形,故D 正确;故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A 选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a ,b 两条直线可以平行,也可以相交,故A 错误;对于B 选项,这是线面平行的性质定理,故B 正确;对于C 选项,这是面面垂直的判定定理,故C 正确;()πsin sin 13tan cos cos 2A A B A A A ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+ππ00ππ222πππ6200322A A A A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭1tan 2A ⎫=++∞⎪⎪⎭222sin sin sin A B C +=222a b c +=C =ABC △sin sin a A b B =22a b =a b =ABC △cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B =12sin 22A B =22A B =22πA B +=A B =A B +=ABC cos B b ==cos cos sin sin B CB C==cos sin B B =cos sin C C =B ==ABC a α⊂b α⊂c α⊥a c ⊥b c ⊥对于D 项,设,,过平面内一点A ,分别作,,如图所示,因为,,,,所以,又因为,所以,同理：,又因为,、,所以,故D 项正确.故选：BCD.11．答案：BC解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则,,,所以有对于A,,事件A 、B 可以同时发生,则A 、B 不互斥,A 错误;对于B,,A 、C 相互独立,B 正确;对于C,,C 正确;对于D,,D 错误．故选：BC ．12．答案：11解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据m αγ= l βγ= γAB m ⊥AC l ⊥αγ⊥m αγ= AB γ⊂AB m ⊥AB α⊥a α⊂AB a ⊥AC a ⊥AB AC A ⋂=AB AC γ⊂a γ⊥()()()()()(){}Ω=1,21,31,42,32,43,4、、、、、()()()(){}()()()(){}1,31,42,32,4,1,2142334A B ==、、、、,、,、,()()(){}2,32,43,4C =、、()(){}()(){}()(){}1,42,3,2,32,4,2,33,4AB AC BC ===、、、(){}2,3ABC =()46P A ==()46B ==()3162C ==()26P AB ==()26AC ==()16P ABC =()(){}1,42,3AB =、()()()=P A P C P AC ()()()+=P AB P AC P A ()()()()P ABC P A P B P C ≠,所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,故答案为：11.13．答案：2解析：由已知向量在,.所以故答案为：2.14．答案：①.16②.12解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,取底面中心O ,中点E ,因为平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,则所以,从而该多面体的体积为,考虑到四棱锥的侧面夹角为.故答案为：16;12.15．答案：（1）（2）-2的840% 3.2⨯=a b1,2b a b b b ⋅=,1a b = ()cos ,cos ,2a b a b a b a a b b ⋅==⋅= P ABCD -CD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PE ⊥PO PE P = PO PE ⊂POE CD ⊥POE PEO ∠=1h PO ==12226221163V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π12=π4B =解析：（1）,故因,所以（2）设,,代入中,,故,解得,由余弦定理得则故.16．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）连接,交于点O ,由四边形是菱形得,因为平面,平面,所以,因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以．（2）连接,,因为四边形是菱形,所以点O 为,中点,又E ,F 分别是棱,的中点,所以,,因为平面,平面,所以平面,同理可得平面,因为,平面,且,为222222a c b a c b +=+⇒+-=222cos 2a c b B ac +-===()0,πB ∈B =a t =c =222a cb +=+2228t t b +=+⋅225b t =b =222cos 2a bc C ab +-===sin C ==sin tan 2cos CC C ===-AC BD ABCD AC BD ⊥PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA BD ⊥AC BD ⊥PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥OE OF ABCD AC BD BC AP //FO PC //OE CD PC ⊂PCD FO ⊄PCD //FO PCD //EO PCD EO FO ⊂EFO EO FO O =所以平面平面,又平面,所以平面．17．答案：（1）解析：（1）因为容量,所以,,;（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,记中抽取的2人为a ,b ,中抽取的3人为c,d,e ,设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A ,则,,所以A 发生的概率所以2人中至少有1人的日睡眠时间在18．答案：（1）证明见解析,（2）4解析：（1）①因为,,所以,在//EFO PCD EF ⊂EFO //EF PCD 8.03h200.450n =÷=500.126y =⨯=50(4206)20x =-++=()7.2547.75208.25208.756⨯+⨯+⨯+⨯()()12915516552.58.03h 50=⨯+++=[)7,7.5[]8.5,92:3[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5{}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω={}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)A a b a c a d a e b c b d b e =()P A =AC =2CD DB =AD DC =2AD DB =△=所以;②设,则因为,所以设,因为,所以,在中,,由①知,所以,所以,整理得,又因为,,所以因为,所以,在中,因为,,所以,所以,则,所以（2）记的内角为A ,B ,C ,所对边为a ,b ,c ,因为,所以,所以,在中,因为,所以由余弦定理可得,整理得,sin sin 2sin AD ABD BAD BAD BD∠=⨯∠=∠BAC θ∠=cos θ=0πθ<<sin θ==C α∠=AD DC =C CAD α∠=∠=ABD △π,B BAD θαθα∠∠=--=-sin 2sin ABD BAD ∠=∠sin()2sin()θαθα+=-sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin θαθαθαθα+=-cos 4sin αα=22sin cos 1αα+=0πα<<sin αα==2CD DB =263ACD ABC S S ==△△ACD △AD DC =C α∠=cos 2AC AD α=2cos AC AD AC α==21sin 62ACD S AD AC AC α=⨯⨯⨯== AC =ABC △2CD DB =()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ 222414cos 999AD c b bc BAC =++∠ ABC △AB BC =2222cos c c b bc BAC =+-∠2cos c BAC b ∠=c =因为,所以所以,所以,当且仅当所以AD 的最小值为4.19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以;（2）①将圆台的母线延长交于一点P ,连接,延长交底面于点Q ,连接,,在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以,又由（1）可知,所以,又,,,,,平面,1sin 92ABC S bc BAC =∠=△bc =236cos sin BAC b BAC ∠=∠22294cos cos sin b c BAC BAC BAC ==∠∠∠22412cos 412cos sin cos sin sin cos BAC BAC AD BAC BAC BAC BAC BAC∠+∠=+=∠∠∠∠∠ 224sin 16cos sin cos BAC BAC BAC BAC∠+∠=∠∠sin 4cos 416cos sin BAC BAC BAC BAC ∠∠⎛⎫=+≥ ⎪∠∠⎝⎭sin BAC ∠=BAC ∠=1OO //ADE BFC BEDF ADE DE =BEDF BFC BF =//BF DE 1OO PE PE BQ CQ 1OO //ADE BFC PCQ ADE DE =PCQ BFC CQ =//ED CQ //BF ED //BF CQ CF BF ⊥BQ CQ ⊥BF CF BQ CQ ⊂BFC所以,所以四边形为平行四边形,所以,在圆台中,,,所以,所以,连接,交所以A ,C 到平面所以②在等腰梯形中,过点D 作边的垂线,垂足为G ,在平面内过点G 作的平行线交于点H ,连接,易得,因为平面,所以平面,所以为母线与下底面所成角,因为,,所以,所以,要使最小,只要最小即可,因为,所以,所以,设,因为为圆的直径,所以,所以,,所以,当且仅当所以因为,,所以,因为平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,所以,因此为二面角的平面角,//BQ CF BFCQ BF CQ =1OO 2AD =4BC =AD BC ==AD BC ==2BDF BDE S S = 223D BFC C BDF C BEDF V V V ---===AC AD BC ==BEDF 1124B ADE A BDE C BED C BDF V V V V ----====ABCD BC DG BFC CF GH BF DH 1//DG OO 1OO ⊥BFC DG ⊥BFC DCG ∠2AD =4BC =1CG =tan DCG DG ∠=DCG ∠DG 2D BFC V -=123D BFC BFC V S DG -=⋅=△Δ6BFC DG S =CBF θ∠=BC 1O BF FC ⊥4sin FC θ=4cos FB θ=Δ14sin 242BFC S FC FB θ=⋅=≤θ=BF ==DG CF BF ⊥//CF GH GH BF ⊥DG ⊥BCF BF ⊂BCF DG BF ⊥DG HG G = DG HG ⊂DGH BF ⊥DGH BF DH ⊥DHG ∠C BF D --在因为平面,平面,所以,在中,由勾股定理得所以二面角BCF △BGBC===DG⊥BFC HG⊂BFC DG HG⊥Rt DGH△DH=DHG∠=C BF--。
高一下期末数学试卷含答案解析
故选B．
3．在正项等比数列{an}中，若a2=2，a4﹣a3=4，则公比为（ ）
A．2B．1C． D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出，
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
∵a2=2，a4﹣a3=4，∴ =2q2﹣2q=4，
22．已知A（﹣1，0），B（1，0），圆C：x2﹣2kx+y2+2y﹣3k2+15=0．
（Ⅰ）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围．
（Ⅱ）当k= 时，圆C上存在两点P1，P2满足∠APiB=90°（i=1，2），求|P1P2|的长．
-学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
故选；A．
4．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B． C．lga＞lgbD．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性就看得出．
【解答】解：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ ，
故D正确．
故选D．
5．若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，
且长方体长、宽、高分别是1、1、3，
三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，
A．2B．1C． D．
2023-2024学年安徽省六安一中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。
四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
雅安市2023-2024学年下期期末教学质量检测高中一年级数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所表示的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（）A ．B ．9C ．D ．103．复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在梯形ABCD 中，，E 在BC 上，且，设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则()3i 1i -172192z 1i 22i z z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+2AB DC =12CE EB =AB a = AD b = DE = 1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b - αm α⊥n α∥m n⊥m α∥n α∥m n ∥m α⊥m n ⊥n α∥m α∥m n ⊥n α⊥6．一艘船向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东方向上，航行后到B 处，看到灯塔S 在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S 的距离（即BS 的长）为（ ）AB ．C ．D ．7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z ，复数对应的点为，则的值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知下面给出的四个图都是正方体，A ，B 为顶点，E ，F 分别是所在棱的中点，① ②③ ④则满足直线的图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）30︒10nmile 75︒5i 11iz --=-z 1i --0Z 0Z Z AB EF ⊥A ．讲座前问卷答题得分的中位数小于70B ．讲座后问卷答题得分的众数为90C ．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D ．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10．若平面向量，满足，则（ ）A ．B ．向量与的夹角为C ．D ．在上的投影向量为11．如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则（ ）A ．P 在侧面B ．异面直线AB 与MP 所成角的最大值为C ．三棱锥的体积为定值D ．直线MP 与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．a b 2a b a b ==+= 2a b ⋅=- a a b - π3a b -= a b - a 32a 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C MP ∥1AB C 11CDD C π21A PB C -12411ABB A ⎡⎣12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．13．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，BC 边上，则________．14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A ，B ，C 在内的各个顶点都在球O 的球面上．若P 为球O 上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O 的体积为V ，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，（其中）．（1）若为实数，求m 的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p ，q 的值．16．（15分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数k 的值；（2）已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且，，．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．17．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间ABC △()πsin π2A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6b =c =P ABC -1V 1V V=12i z m =-2i z m =-m ∈R 12z z 1m =12z z ⋅220x px q ++=()1,2a =- ()3,2b =2ka b - 2a b + 2OA a b =+ 3OB a b =+ ()3,2OC m m =-，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？18．（17分）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知________．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在AB 上，CD 平分，，，求CD 的长；（3a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19．（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD 是正方形，底面ABCD ，，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点[)50,60[)60,70[]90,10085%()in cos s a C C a B +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()s sin s in in C A B A -=-ABC △ACB ∠2a =c =PA ⊥PA AB =（1）平面AEF 与平面PBC 是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面AEF ，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值．B PCD --PC ∥数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．9．ACD10．AD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3013．314四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【解析】（1），因为为实数，所以，解得．故为实数时，m 的值为．（2）当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得()()()2122232i 2i i 2i i 11m m m m z m m m m z +--+-===-++12z z 220m -=m =12z z 1m =12i z =-21i z =-()()1221i =1-3i z i z =--⋅13i -220x px q ++=()()2213i 13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p ⎩+-=-+⎧⎨=4,20.p q ⎧⎨⎩=-=16．（15分）【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得．（2），，，，因为A ，B ，C 三点共线，所以．所以，解得．17．（15分）【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- AB AC∥()()22637m m ---=-⨯-2m =[)50,60[)60,70[]90,10010a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)50,60[)60,70[]90,100()506060707080809090100005005020403835kg 22..222....+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%90kg 10031007..-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =95kg方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．18．（17分）【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以．又，则，所以．若选条件②．由正弦定理得，所以，，，即．因为，所以，所以．若选条件③在中，因为，，所以，90kg 10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()g .0.8507901095k 10.7-+⨯=-95kg cos sin a A C a +=sin sin cos si n A A C C A +=π02A <<sin 0A >i 1cos n C C +=1c os C C -=1122cos C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ=66C -π3C =2sin sin s n πsin i 6A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin 2s sin 1in c 2os 2B A B C B B B C ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos 2sin sin B C B C B ++=i sin sin cos s n cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++i sin s n cos sin C B B C B =+1c os C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ=66C -π3C =ABC △()s sin s in in C A B A -=-πA B C ++=()()n s s s n i i in C A C A A +-=-即，化简得．又，则，故．因为，所以．（2）依题意，，即，则，在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以．（3）依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以所以a 的取值范围为．19．（17分）【解析】（1）平面平面PBC．理由如下：因为平面ABCD ，平面ABCD ，sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin co 2s sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠cos 12C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623D a b a CD b C ⋅+⋅=⋅⋅⋅()b CD a b ⋅+=CD =ABC △22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC △sin 1122ABC S C ab ab ===△4ab =ABC △π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin B a b A =sin sin A Bb a =221s sin sin s 2in π4sin 223B a B ab B BB ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===228a <<a <<AEF ⊥PA ⊥BC ⊂所以，因为，又．所以平面PAB ，故．在中，，E 为PB 的中点，所以．因为平面PBC ，平面PBC ，，所以平面PBC ．又平面AEF ，所以平面平面PBC ．（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于G ，连结DG ，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角．在中，由，，则，，连结BD ，知中，根据余弦定理，得，所以．（3）因为直线平面AEF ，平面PBC ，平面平面，所以直线直线EF ．又E 为线段PB 的中点，所以F 为线段BC 上的中点．由（2）知，所以．设BG 与EF 交点为H ，连结AH ，由（1）知，平面平面PBC ，平面平面，PA BC ⊥BC AB ⊥PA A AB = BC ⊥BC AE ⊥PAB △PA AB =AE PB ⊥PB ⊂BC ⊂PB BC B = AE ⊥AE ⊂AEF ⊥1AB =PB PD ==PC ==PB PD =BC DC =PC PC =PBC PDC △≌△PCB PCD =∠∠BG PC ⊥BC DC =CG CG =GBC GDC △≌△90DGC BGC ∠=∠=︒BGD ∠B PC D --Rt PBC △C P P BG C B B =⋅⋅1=BG =DG =BD =GBD △2221cos 22BG D D BGD DG G B BG +-=∠⋅==-120BGD ∠=︒PC ∥PC ⊂PBC AEF EF =PC ∥BG PC ⊥BG EF ⊥AEF ⊥AEF PBC EF =所以平面AEF ．所以直线AB 与平面AEF 所成角为．又由EF ，F 为BC 上的中点，可得H 为BG 的中点，可知，，又，所以．直线AB 与平面AEFBH ⊥BAH ∠PC ∥12BH BG ===1AB =sin A BA BH H B =∠=。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
北京市海淀区2023-2024学年高一下学期期末练习(二)数学试题含答案
2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二）（答案在最后）命题人班级姓名本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，O A''=，所以O B''=，还原回原图形后，因为2=''=，2OA O A2=''=OB O B，AB==，所以6⨯+=．所以原图形的周长为2(26)16故选：C.2.下列说法不正确的是（）A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A 正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B 正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C 正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D 错误.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4.已知点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则（）A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则l 与平面α至少有一个公共点，所以l A α=I 或l ⊂α．故选：D ．5.若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b c ，则直线a 与c （）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ，b c ，∴a ⊥c .故选：B.6.给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直，由垂直的定义知，直线l 垂直于α平面内无数条直线；但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时，直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.已知,αβ是平面，m 、n 是直线，则下列命题正确的是（）A .若//,m m n α^，则//n α B.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD.若//,//m n αα，则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^，则//n α或n ⊂α或n 与α相交，A 错误；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，B 正确；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误；若//,//m n αα，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，D 错误.故选：B.8.如图，三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且11113AA A C C C ===，平面11AA C C ⊥平面ABC ，则棱1BB =（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图，取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，因为113AA C C ==，所以MN AC ⊥，且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ，又因为BN ⊂平面ABC ，所以MN BN ⊥，又因为在三棱台111ABC A B C -中，1//MB NB ，所以四边形1MNBB 为直角梯形，因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =，所以在直角三角形1BPB 中，12BB ===,故选:A.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =-- ，若它们夹角为θ，则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos (0,]6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，cos (0,2θ∈；所以πcos 62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）10.如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P∥平面A 1BC 1；②D 1P⊥BD；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D 1A ∥BC 1，D 1C ∥BA 1，且D 1A∩DC 1=D 1，∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1；∵P 在面对角线AC 上运动，∴D 1P∥平面A 1BC 1；∴①正确．②当P 位于AC 的中点时，D 1P⊥BD 不成立，∴②错误；③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1；∴A 1C 1⊥B 1D，同理A 1B ⊥B 1D ，∴B 1D⊥平面A 1BC 1，∴平面BDD 1B⊥面ACD 1，∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；∴③正确．④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积，△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1，B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值，∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变，∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为36π；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60︒；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________．【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，圆锥的侧面积为π3πrl l =，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则2π9πl l =，所以圆锥的母线长为9l =，故①正确；圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=，故②正确；圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为rad α，则6π9α=，解得2π3α=，即120α=︒，故③错误；圆锥的高h ===，所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=，故④错误．故答案为：①②．三、解答题12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点.（1）证明：//PQ 平面AB C ；（2）证明：平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】（1）证明：取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，因为P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点，所以1PD AA ∥且112PD AA =，又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以1CQ AA ∥，112CQ AA =，所以PD CQ ∥且PD CQ =，所以PDCQ 为平行四边形，所以PQ CD ∥，又因为PQ ⊂/平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC （①定理）.（2）证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，1AA AB A = ，1AA ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （②定理）.又CD PQ ∥，所以PQ ⊥平面11ABB A ，又PQ ⊂平面1A BQ ，AA B B（③定理）.所以平面1A BQ 平面11【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。
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高一期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式223x x +<的解集是 A. {}|13x x -<< B. {}|31x x -<< C. {}|31x x x <->或D. {}|13x x x <->或2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为A.23 B. 12C.14D.163. 已知0a b <<，则A. 2a ab < B. 2ab b < C. 22a b <D. 22a b >4. 某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. 10200y x ∧=-- B. 10200y x ∧=+ C. 10200y x ∧=-+D. 10200y x ∧=-5. 已知非零向量OA →, OB →不共线，且1=3BM BA →→，则向量=OM →A. 12+33OA OB →→B. 21+33OA OB →→C. 12-33OA OB →→D. 14-33OA OB →→6. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的S 的值为A. -1B. 0C. 1D. 37. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A. 130,0a d dS << B. 130,0a d dS >> C. 130,0a d dS ><D. 130,0a d dS <>8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 12尺B. 815尺 C.1629尺 D.1631尺第二部分 （非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9. 某学院A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
已知该学院A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则该学院C 专业应抽取______名学生.10. 如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒豆子，其中有1000粒豆子落在正方形中，180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________.11. 若非零向量a ，b 满足,(2)0a b a b b =+•=，则a 与b 的夹角为_________.12. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则A ∠的度数为_______________. 13. 已知0,0x y >>，且满足134x y+=，则xy 的最大值为___________. 14. 已知平面向量a ，b 和c 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a 的分解有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a=b+c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量C 和实数λ，使a=λb+μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a=λb+μc. 则所有正确的命题序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共52分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本题满分8分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1，-2），B （3,2），D （-3，-1），以线段AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD. 求（I ）点C 的坐标；（II ）平行四边形ABCD 的面积. 16. （本题满分9分）已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
17.（本题满分9分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3cos b A a B =. （I ）求角B 的大小；（II ）若3,sin 2sin b C A ==，求a ，c 的长. 18. （本题满分9分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：甲公司某员工A ：32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工B ：42 36 36 34 37 44 42 36（I ）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A 和某员工B 投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A 和员工B 投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：__________________________________________________________（II ）请根据甲公司员工A 和乙公司员工B 分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。
19.（本题满分9分）已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉. （I ）求实数a 的取值范围； （II ）求集合A. 20.（本体满分8分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,,(1,2,,)k k b a a a k m ==，即k b 为12,,,k a a a 中的最大值，并称数列{}k b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（I ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列{}n a ； （II ）设m=100，若|24|n a n =-，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a -+-++-的值；（III ）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,,k m =）.求证：(1,2,,)k k b a k m ==.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分8分）解：（I ）(4,4),(2,1)AB AD ==-，(2,5)AC AB AD =+=，点C 的坐标为（1,3）.…………………………4分（II ）42,5AB AD ==.cos ,10AB AD AB AD AB AD •<>==-•. 3sin ,10AB AD <>=sin ,12ABCD S AB AD AB AD =••>=.………………………………8分16. （本题满分9分）解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3412483a q a ===，解得2q =. 所以11132(1,2,)n n n a a q n --==⨯=.………………………………3分设等差数列{}n n b a -的公差为d ，所以4411()3b a b a d -=-+.即2224(43)3d -=-+.解得1d =-.………………5分 所以11()(1)1(1)2n n b a b a n d n n -=-+-=--=-.从而1232(1,2,).n n b n n -=-+⨯=………………………………6分（II ）由（I ）知1232(1,2,)n n b n n -=-+⨯=.数列{}2n -的前n 项和为(3)2nn -，数列{}132n -⨯的前n 项和为1233(21)32312n n n -⨯=-=⨯--..……………………9分所以，数列{}n b 的前n 项和为(3)3232n nn -+⨯-. 17.（本题满分9分）解：（I ）∵sin 3cos b A a B =，由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =.………2分 ∵sin 0A ≠，∴tan 3B =.…………………………3分 ∴3B π=.………………………………4分（II ）∵sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，……………………5分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-•， 得229422cos 3a a a a π=+-•.…………………………7分解得3a =.………………………………8分∴223c a ==.………………………………9分 18.（本题满分9分）解：（I ）某员工A 和某员工B 投递快递件数的茎叶图如下：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B 投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A 投递快递件数的平均值.（其它正确的结论照样给分）……………………4分（II ）设事件i A 为“甲公司某员工A 在抽取的8天中，第i 天投递的快递件数”， 事件i B 为“乙公司某员工B 在抽取的8天中，第i 天投递的快递件数”，i=1,2，…，8. 设事件C 为“甲公司某员工A 比乙公司某员工B 投递的快递件数多”.由题意知445462636465688283848588C A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B UA B =因此123()6416P C ==.………………………………8分 因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为316.………………9分 19.（本题满分9分）解：（I ）∵3A ∉，∴当3x =时，有(1)(2)2ax x --≤，即312a -≤.∴1a ≤，即a 的取值范围是{}|1a a ≤.…………………………3分 （II ）2(1)(2)2(1)(2)20(21)0ax x ax x ax a x -->⇔--->⇔-+>………………4分当a=0时，集合{}|0A x x =<；………………………………5分 当12a <-时，集合1|02A x x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭；……………………6分当12a =-时，原不等式解集A 为空集；……………………7分 当102a -<<时，集合1|20A x x a ⎧⎫=+<<⎨⎬⎩⎭；……………………8分当01a <≤时，集合1|02A x x x a ⎧⎫=<>+⎨⎬⎩⎭或.……………………9分 20. （本题满分8分）解：（I ）数列{}n a 为2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.………………2分 （II ）∵|24|n a n =-，{}n b 是{}n a 的控制数列， ∴11222,0,2b a a b ====. 当n ≥3时，n n b a =， ∴1122100100()()()2b a b a b a -+-++-=.…………………………5分（III ）因为{}{}121121max ,,,max ,,,k k k k k b a a a b a a a a ++==，所以1k k b b +≥.……………………………………6分 因为11,k m k k m k a b C a b C -++-+=+=，所以110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，即1k k a a +≥.…………………………7分 因此，k k b a =.………………………………8分。