高数复习资料1.6
考研高等数学全面复习资料(电子版)
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料一、引言高等数学作为大学数学的重要组成部分，是理工科学生必修的一门课程。
作为一门基础性的学科，高等数学为学生奠定了后续学习的数学基础，并为他们建立了抽象思维和逻辑推理能力奠定了基础。
本文将为大家提供一份高等数学基础复习资料，帮助学生系统回顾相关知识点，提高自己的数学水平。
二、数列与极限1. 数列的概念及表示方法- 数列的定义与本质特征- 数列的表示方法：通项公式、递推公式2. 数列的极限- 数列极限的定义与判定方法- 数列收敛与发散的判断- 数列极限的性质与运算规则3. 无穷级数- 级数的概念与收敛性判断- 常见级数的收敛性判断方法- 级数收敛的性质与运算规则三、函数与极限1. 函数的概念与性质- 函数的定义与分类- 函数的图像与性质2. 函数的极限- 函数极限的定义与性质- 常见函数极限的计算方法- 无穷小量与无穷大量的定义与性质3. 一元函数的连续性与导数- 函数连续性的定义与判断- 函数导数的定义与计算方法- 函数导数的性质与应用四、微分学1. 一元函数的微分学- 函数微分的定义与计算方法- 微分的几何意义与应用- 高阶微分与泰勒公式2. 函数的极值与最值- 函数极值的判定与求解- 条件极值与拉格朗日乘数法3. 函数的凸性与曲线的形状- 函数凸性的定义与判定方法- 曲线的拐点与渐进线五、积分学1. 定积分与不定积分- 定积分的定义与性质- 定积分计算的方法与技巧- 不定积分的定义与计算方法2. 反常积分- 反常积分的概念与判定- 常见反常积分的计算方法3. 微积分基本定理与应用- 微积分基本定理的表述与应用- 曲线下面积的计算- 参数方程与极坐标下的积分六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念- 常微分方程的定义与分类- 一阶常微分方程的常见形式2. 一阶常微分方程的解法- 可分离变量方程的求解- 线性方程的求解- 齐次与非齐次方程的解法3. 高阶常微分方程- 二阶常微分方程解的一般性质- 常系数二阶齐次线性微分方程的解法- 特征方程求解与常系数二阶非齐次线性微分方程的解法七、向量代数与空间解析几何1. 向量的概念与性质- 向量的基本运算与性质- 向量的数量积与向量积2. 空间直线与平面- 点、直线与平面的位置关系- 空间直线的方程与相交关系- 空间平面的方程与位置关系3. 空间几何体的体积与曲面积分- 空间几何体的体积计算- 曲面积分的概念与计算方法八、多元函数微分学1. 多元函数的偏导数- 偏导数的定义与计算方法- 偏导数的几何意义与性质2. 多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的定义与计算方法- 梯度的定义与性质3. 多元函数的极值与最值- 多元函数的极值点与极值- 约束条件下的极值求解九、多元函数积分学1. 二重积分与三重积分- 二重积分的定义与计算方法- 三重积分的定义与计算方法2. 极坐标与球坐标下的积分计算- 极坐标下的二重积分与三重积分- 球坐标下的三重积分3. 变量替换与重积分- 变量替换的基本思想与方法- 重积分的计算方法与应用十、常微分方程与偏微分方程初步1. 常微分方程初值问题的求解- 常微分方程初值问题的基本概念- 高阶线性常微分方程初值问题的求解2. 偏微分方程的基本概念与分类- 偏微分方程的基本定义与分类- 一阶偏微分方程的求解方法初探3. 偏微分方程边值问题与特解- 偏微分方程边值问题的基本概念- 常见偏微分方程的特解求解方法结语通过对高等数学基础内容的系统复习，我们可以巩固数理基础，提高数学水平，为后续的学习和研究打下坚实的基础。
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
高数复习资料全
《高等数学》课程复习资料一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsin sin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a =6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。
13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。
14.设Ｄ：221x y +≤ ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤D dxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。
16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Df dxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。
19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。
《高等数学》(专科升本科)复习资料
《高等数学》（专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。
数列的极限与函数的极限概念。
收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。
数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。
无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。
常见的求极限的方法。
连续函数的概念及基本初等函数的连续性。
函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。
复习要求会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。
掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。
掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。
理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。
重要结论1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。
重要公式1. 若,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则AB x g x f x g x f x x x x x x =⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0；BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000。
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
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xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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第一章高数活页1.6-1.9参考答案
lim xn A max( a1 , a2 , ak ).
例如:
lim n 1n 2 n 8 n 8.
n xh
p15. 三.由导数定义知 : 1. lim
h 0
Байду номын сангаас
e
e ex. h
x 3 x2 6 x 1 6 3 x2 2
x 1 x 2 0
lim f ( x ) ,
x 1为f ( x )的可去间断点, x 2为f ( x )的无穷间断点. 在x 1处补充定义f (1) 2, 则可使f ( x )在x 1处连续.
1 p12. 2. lim f ( x ) limsin x sin 0, x 0 x 0 x x 0为f ( x )的可去间断点. 在x 0处补充定义f (0) 0, 则可使f ( x )在x 0处连续.
五.解. f (0 0) lim[ln(1 x ) b] b
x 0
1 当a 0时, f (0 0) lim x sin 0, x 0 x 1 a 当a 0时, f (0 0) lim x sin 不存在, x 0 x 当且仅当a 0, b 0时, f ( x )在( 1, )连续.
1 cos x 2 p10. 5. lim lim x 1 ( x 1) 2 x 1 ( x 1) 2 lim
x 1
2cos
2
x
2sin
2
2 ( x 1)2
(1 x )
2
2
.
1 2 x 1 2 . 6.原式 lim 2 x 0 x 2
§1.8函数的连续性(11-12)
高等数学辅导资料(1-6)
山东广播电视大学开放教育高等数学基础课程辅导资料（1）第一章 函数一、学习目标（一）理解函数的概念；掌握函数)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等．两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同． （二）了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性． 若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称． 若对任意x ，有)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．（三）熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形． 基本初等函数指以下几种类型： 1.常数函数：c y =2．幂函数：)(为实数ααx y = 3．指数函数：)1,0(≠>=a a a y x4．对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a5．三角函数：x x x x cot ,tan ,cos ,sin6．反三角函数：x x x arctan ,arccos ,arcsin（一）了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数xy 2arctane =可以分解uy e =，v u arctan =，21wv =，x w 2=．分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积．（四）会列简单的应用问题的函数关系式． 二、典型例题解析 （一）填空题⒈设x x x f 2)1(2-=-，则f x ()= ．解：设t x =-1，则1+=t x ，得1)1(2)1()(22-=+-+=t t t t f故1)(2-=x x f ．⒉函数y x x =-+-124ln()的定义域是 ．解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求04≥-x ，即4≤x ．取公共部分，得函数定义域为]4,3()3,2( ．⒊设f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()+-的图形关于对称．解：设)()()(x f x f x F -+=，则对任意x 有)()()())(()()(x F x f x f x f x f x F =+-=--+-=-即)(x F 是偶函数，故图形关于y 轴对称．（二）单项选择题⒈下列各对函数中，（ ）是相同的． A.f x xg x x ()(),()==2；B.f x xg x x ()ln ,()ln ==22；C.f x xg x x ()ln ,()ln ==33；D.f x x xg x x (),()=-+=-2111解：A, B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确．⒉设函数f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()－-的图形关于（）对称．A.x y =；B.x 轴；C.y 轴；D.坐标原点解：设)()()(x f x f x F --=，则对任意x 有)())()(()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F -=---=--=----=-即)(x F 是奇函数，故图形关于原点对称．选项D 正确． 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（）．A.单调减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A, B, D 三个选项都不一定满足。
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x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 法1 找一个数列 xn : xn x0 , 且 xn x0 ( n )
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n ) 1 2 n xn n
不存在 .
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由定理 1 知
2. 函数极限存在的夹逼准则
x
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f ( x) A
x x0
xn x0 , f ( xn
证：“
” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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二、 两个重要极限
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BD
1 x A o C
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2
1 tan x 2
(0 x ) 2 (0 x ) 2
lim [(1 1)t (1 1)] e t t
t
故
x
lim (1 1 ) x e x
1 z
说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
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例6. 求
解: 令 t x , 则
t
lim (1 1) t t
第七节 目录
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2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R
证明:
2
sin
n
cos
n
n
R
cos n
证:
n
lim An lim R
n
sin 2 n
n
说明: 计算中注意利用
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2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 =
2 x 2 sin 2 lim 2 x0
x
sin 1 lim x 2 x 0 2
x 2
1 2 2 1
1
lim
t
lim (1 (1x ) ) ( x ) e , 则 说明 ：若利用
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x
e 1
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例7. 求
解: 原式 =
lim [(sin 1 cos 1 ) 2 ] 2 x x x
第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限
第一章
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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.
x x0
lim f ( x) A
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn
x x0
有 f ( x) A .
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且
对上述 , N , 当 故 时, 有
y
于是当 n N 时 f ( xn ) A .
n
lim f ( xn ) A
A
“
” 可用反证法证明. (略)
使 lim f ( xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn , 使
n
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 ) sin x 0 1. lim _____ ; x x 1 0 3. lim x sin ____ ; x 0 x
1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 1 n e 4. lim (1 ) ____ ; n n
1 )n (1 n 1
1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
n n
lim (1 n1 1) n lim
(1 n1 1) n 1
n
1 n1 1
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
注
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例2. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
n
x
lim (1 1 ) x e x
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当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
从而有
t lim ( t 1) (t 1) lim (1 1)t 1 t t t
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x0
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x
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定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x) f (x) h( x) , 且
( x X 0)
x x0 ( x )
lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
使 lim f ( xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n
的不同数列 xn 及 xn , 使
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
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例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2 有