2018届高三数学每天一练半小时：第33练 平面向量的数量积 Word版含答案
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 Word版含答案
第讲 平面向量的数量积及应用举例．向量的夹角．向量数量积的运算律 ()·＝·；()(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； ()(＋)·＝·＋·.．平面向量数量积的有关结论已知非零向量＝(，)，＝(，)，与的夹角为θ.．辨明三个易误点()①与实数的区别：＝≠，＋(－)＝≠，·＝≠；②的方向是任意的，并非没有方向，与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． ()·＝不能推出＝或＝，因为·＝时，有可能⊥.()·＝·(≠)不能推出＝，即消去律不成立．．有关向量夹角的两个结论()两个向量与的夹角为锐角，则有·>，反之不成立(因为夹角为时不成立)；()两个向量与的夹角为钝角，则有·<，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．．(·高考全国卷甲)已知向量＝(，)，＝(，－)，且(＋)⊥，则＝( )．－．－．．由向量的坐标运算得＋＝(，－)，由(＋)⊥，得(＋)·＝－(－)＝，解得＝，故选.．(·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠＝( )．°．°．°．°由两向量的夹角公式，可得∠＝＝＝，则∠＝°.．在边长为的等边△中，设＝，＝，＝，则·＋·＋·＝( )．－．．依题意有·＋·＋·＝＋＋＝－，故选.已知＝，＝，与的夹角θ＝°，则向量在向量方向上的投影为．由数量积的定义知，在方向上的投影为θ＝×°＝－.－．平面向量，的夹角为°，＝(，)，＋＝，则＝．因为＝(，)，所以＝，把＋＝两边平方可得＋·＋＝，即＋·〈，〉＋＝，代入数据可得＋××＋＝，整理可得＋－＝，解得＝.平面向量数量积的运算()设向量＝(－，)，＝(，)，如果向量＋与－平行，那么与的数量积等于( )．－．－。
高三数学 平面向量的数量积及应用习题及答案
总复习： 平面向量的数量积及应用一、选择题1.已知向量1331(,),(,)2222BA BC →→== , 则()ABC ∠=.(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12002.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA OB ⋅，I 2=OB OC ⋅，I 3=OC OD ⋅，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a =（2，0），1=b ，则2+=a b （ ）A ．3B ．23C ．4D ．124. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．45. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（ ）A ．6B ．―6C ．12D ．―126. 对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*sin θ=⋅⋅m n m n ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．若**=a b a c ，则=b cB ．*()*=-a b a bC ．(*)(*)=a b c a b cD ．()***+=+a b c a c b c7.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 二、填空题8.已知向量a ，b 的夹角为60°，a =2，b =1，则2a b += ．9．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA 的取值范围是 .10.已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||= ．11. 若平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于________三、解答题12. 已知向量()()sin ,cos ,3cos ,cos a x x b x x ==且0b ≠,若a b ⊥，求x 的最小正值.13. 已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ，若0⋅=a b ，求实数k 的值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sin x ，cos x ），x ∈（0，）． （1）若⊥，求tan x 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值． 15．设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c .（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒.故答案为300.2.【答案】C【解析】∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA OB ⋅＞OC OD ⋅，OB OC ⋅＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选：C ． 3.【答案】B【解析】∵2=a ，∴22222+=+⋅+a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223+=a b .4.【答案】C【解析】2(3,n)-a b =，若2-a b 与b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅=a b b =-，即2n 3=，2n 12=+a5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221()62OB OA =-=-. 故选B. 6.【答案】B 【解析】根据定义，由**=a b a c 得12sin sin θθ⋅⋅=⋅⋅a b a c ，显然得不到=b c ；对于B ，()*sin ,sin()sin *πθθ-=-⋅⋅<->=⋅⋅-=⋅⋅=a b a b a b a b a b a b ，B 正确，容易验证C 、D 不正确. 故选B.7.【答案】A【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ）， ∵，∴P （1，4）， ∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t ﹣4）， ∴=﹣（﹣1）﹣4（t ﹣4）=17﹣（+4t ）， 由基本不等式可得+4t ≥2=4， ∴17﹣（+4t ）≤17﹣4=13， 当且仅当=4t 即t=时取等号， ∴的最大值为13，故选：A ．8.【答案】23 【解析】∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()2222=+4+4a b a a b b +⋅=22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴2=23a b +．故答案为：23．9. 【答案】[1,2]-【解析】由题意，设(cos ,sin ),[0,]P αααπ∈,，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上， 即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++=可得2()0AB BC CA ++=，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-12.【解析】03sin 21cos20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++=12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒= 13. 【解析】由题意0⋅=a b 即有1212(2)()0k -⋅+=e e e e ， ∴221122(12)20k k +-⋅-=e e e e ，又121==e e ，122,3π〈〉=e e ， ∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =. 14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ， ∴若与的夹角为， 则•=||•||cos =， 即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）． 则x ﹣=即x =+=． 15. 【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ， 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=. （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ， 22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为42（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .。
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案
必修4《平面向量的数量积》一、填空题1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 .解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 .解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1⋅e 2＋8 e 1⋅e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12)＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 .解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16.4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2.解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π4. ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0，即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π2. 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形． 解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三 个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形．7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ．解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )， 则向量MN 的模为82．解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )，∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2.9．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线 ⇔λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°.④若向量a 、b 满足|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝13，则a ，b 的夹角为60°. 以上命题中，错误命题的序号是 ①②④． 解：①错，∵ |a·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |. ②错．∵ A 、B 、C 共线，∴ AB ＝k AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，λ2k ＝1，∴ λ1λ2 ＝1. ④错，∵ |a ＋b |2＝13，∴ |a |2＋|b |2＋2a·b ＝13，即a·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴ cos θ＝－12，∴ θ ＝120°.二、解答题13．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．解：(1)∵ P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |，∴ AP ＝2PB ，即有OP －OA ＝2(OB －OP )，∴OP ＝13OA ＋23OB . (2)由(1)知OP ＝13OA ＋23OB ，∴ OP ·AB ＝(13OA ＋23OB )·(OB － OA )＝－13OA 2－13OA ·OB ＋23OB 2＝－13×9－13×3×2×cos60°＋23×4＝－43. 14．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴ α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝ 30°或α＝210°.15．。
高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数第33讲平面向量的数量积练习理含解析新人教A版
高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数第33讲平面向量的数量积练习理含解析新人教A 版1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝(B) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·汕头模拟)若两个非零向量a ，b 满足|b|＝2|a|＝2，|a ＋2b|＝3，则a ，b 的夹角是(D)A.π6B.π3C.π2D ．π 因为|b|＝2|a|＝2，|a ＋2b|＝3，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，得a·b ＝－2. 所以cos θ＝a·b |a||b|＝－22×1＝－1， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.3．(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为(B)A ．4B ．－4 C.94 D ．－94因为n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，所以t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，所以t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.4．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的(C) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝ －2 .因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， 所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)， 所以m ＋2＝0，所以m ＝－2..6．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为 311.由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， 所以AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 7．已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a|2－|b|2＝12，又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22.设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，所以θ＝45°.(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，所以|a－b|＝22.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，所以|a＋b|＝102.设a＋b与a－b的夹角为α，则cos α＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.8．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB ＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为(A)A.2116B.32C.2516D．3如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)．设E(0，y )(0≤y≤3)，则AE →＝(－1，y)，BE →＝(－32，y －32)， 所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝(y －34)2＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 9．(2018·深圳一模)在△ABC 中，AB⊥AC，|AC|＝2，BC →＝3BD →，则AD →·AC →＝__233__．因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)，所以AD →·AC →＝AB →·AC →＋13(AC →2－AB →·AC →)，＝13AC →2＝23＝233.10．(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈[π6，7π6]， 从而－1≤cos(x ＋π6)≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.。
【高考复习】2018年 高考数学 平面向量的数量积与平面向量应用举例(含答案详解)
2018年 高考数学 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题：1.已知AB =(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.-223 B.-35 C.223 D.352.已知向量a=(1,m),b=(0,-2),且(a+b)⊥b,则m 等于( ) A.-2B.-1C.1D.23.在直角三角形ABC 中,角C 为直角,且AC=BC=2,点P 是斜边上的一个三等分点,则CP ·CB +CP ·CA =( )A.0B.4C.49 D.-49 4.设向量a,b 满足|a|=1,|a-b|=3,a ·(a-b)=0,则|2a+b|=( ) A.2B.23C.4D.435.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( ) A.55 B.51C.-55D.-51 6.已知非零向量m,n 满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=31.若n ⊥(tm+n),则实数t 的值为( ) A.4 B.-4 C.49 D.-497.已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点P,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R,若⋅=-23,则λ=( ) A.21 B.221± C.2101± D.2223±- 8.若两个非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b 与a-b 的夹角为( )A.6πB.3πC.65πD.32π二、填空题：9.设向量a=(m,1),b=(1,2),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .10.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 . 11.如图,菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ·AN 的最大值为 .12.如图,平行四边形ABCD 中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M 在AB 边上,且AM=31AB,则DM ·DB 等于 .三、解答题：13.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|.14.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m=(22,22),n=(sin x,cos x),x ∈(0，2π).(1)若m ⊥n,求tan x 的值;(2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.15.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m ·n=sin 2C. (1)求角C 的大小;(2)若sin A,sin C,sin B 成等差数列,且CA ·(AB -AC )=18,求c.16.已知向量a=(ksin3x ,cos 23x ),b=(cos 3x ,-k),实数k 为大于零的常数,函数f(x)=a ·b,x ∈R,且函数f(x)的最大值为212-. (1)求k 的值;(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边,若2π<A<π, f(A)=0,且a=210,求AB ·AC 的最小值.答案全解1.答案为：C ；解析：因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD =(5,5),又AB =(2,1),所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos<AB ,CD >=223. 2.答案为：D ；解析：∵a=(1,m),b=(0,-2),∴a+b=(1,m-2),又(a+b)⊥b,∴0×1-2(m-2)=0,即m=2. 3.答案为：B ；+CA ) 4+31×4+0=4. 4.答案为：B ；解析：由a ·(a-b)=0,可得a ·b=a 2=1,由|a-b|=3,可得(a-b)2=3,即a 2-2a ·b+b 2=3,解得b 2=4. 故(2a+b)2=4a 2+4a ·b+b 2=12,所以|2a+b|=23.5.答案为：A ；解析：由已知得a-c=(3-k,3),∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-3=0,∴k=2,即c=(2,-2),∴cos<a,c>=55. 6.答案为:B;解析：因为n ⊥(tm+n),所以tm ·n+n 2=0,所以m ·n=-tn 2,又4|m|=3|n|, 所以cos<m,n>=31,所以t=-4.故选B. 7.答案为:A ；解析：解法一:BQ =AQ -AB =(1-λ)AC -AB ,CP =AP -AC =λAB -AC . ∵|AB |=|AC |=2,<AB ,AC >=60°,∴AB ·AC =|AB |·|AC |·cos 60°=2,又BQ ·CP =-23,∴[(1-λ)AC -AB ]·(λAB -AC )=-23, 即λ|AB |2+(λ2-λ-1)AB ·AC +(1-λ)·|AC |2=23,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=23,解得λ=21.解法二:以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,3),∴AB =(2,0),AC =(1,3),∴P(2λ,0),Q(1-λ,3(1-λ)),∵·CP =-23, ∴(-1-λ,3(1-λ))·(2λ-1,-3)=-23,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=21. 8.答案为:D ；解析：由|a+b|=|a-b|可知a ⊥b,设AB =b,AD =a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知AC =a+b,BD =a-b,设AC 与BD 的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=3π,∴∠DOC=32π,又向量a+b 与a-b 的夹角为AC 与BD 的夹角,故所求夹角为32π,选D.9.答案:-2;解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2得a ·b=0,所以a ⊥b,则m+2=0,所以m=-2. 10.答案为：(-∞,-34)∪(0,31)∪(31,+∞); 解析:a 与b 的夹角为锐角,则a ·b>0且a 与b 不共线,则3λ2+4λ>0,2λ-6λ2≠0,解得λ<-34或0<λ<31或λ>31,所以λ的取值范围是(-∞,-34)∪(0,31)∪(31,+∞). 11.答案为：1; 解析:,DB =DA +AB , (DA +AB )=|DA |2+31|AB |2·AB |AB |·cos60°=37-34×1×2×2=1.12.答案为:9;解析：由平面向量的数量积的几何意义知,AM ·AN 等于AM 与AN 在AM 方向上的投影之积, 所以(AM ·AN )max =AM ·AC =(+AD )·(AB +AD )=+AD 2+·AD =9.13.解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a ·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a ·b=-6,∴cos θ=21.又θ∈[0,π],∴θ=32π. (2)|a+b|=13)(2=+b a .同理,|a-b|=37.14.解:(1)∵m ⊥n,∴m ·n=0,故22sin x-22cos x=0,∴tan x=1.(2)∵m 与n 的夹角为3π,∴cos<m,n>=21,故sin(x-4π)=21.又x ∈(0,2π),∴x-4π∈(-4π,4π),则x-4π=6π,即x=125π,故x 的值为125π. 15.解:(1)m ·n=sin A ·cos B+sin B ·cos A=sin(A+B),在△ABC 中,A+B=π-C,0<C<π,∴sin(A+B)=sin C,∴m ·n=sin C,又m ·n=sin 2C,∴sin 2C=sin C,∴cos C=21,则C=3π.(2)由sin A,sin C,sin B 成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.∵CA ·(AB -AC )=18,∴CA ·CB =18,即abcos C=18,ab=36.由余弦弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab,∴c 2=4c 2-3×36,c 2=36,∴c=6. 16.解:(1)由题意知, f(x)=a ·b=(ksin3x ,cos 23x )∙(cos 3x ,-k)=ksin 3x ·cos 3x -kcos 23x=21ksin 32π-k ·232cos1π+=)32cos 32(sin 2x x k --2k =k 2222sin32π-22cos32π)-2k =k 22sin(32x -4π)-2k .因为x ∈R,所以f(x)的最大值为2)12(k -=21-2,则k=1. (2)由(1)知, f(x)=22sin(32x -4π)-21,所以f(A)=22sin(32A -4π)-21=0,化简得sin(32A -4π)=22,因为2π<A<π,所以12π<(32A -4π)<125π,则(32A -4π)=4π,解得A=43π. 因为cos A=-22=bc a c b 2222-+=bc c b 24022-+,所以b 2+c 2+2bc=40,则b 2+c 2+2bc=40≥2bc+2bc(当且仅当b=c 时取等号),所以bc ≤2240+=20(2-2).则AB ·AC =|AB ||AC |cos43π=-22bc ≥20(1-2),所以AB ·AC 的最小值为20(1-2).。
【高三数学试题精选】2018高考数学平面向量的数量积复习课件和检测题(带答案)
[解析]因为∠c＝90°，所以Ac→cB→＝0，所以AB→Ac→＝(Ac→＋cB→) Ac→＝|Ac→|2＋Ac→cB→＝Ac2＝16
(理)(2018天津)如图，在△ABc中，AD⊥AB，Bc→＝3BD→，|AD→|＝1，则Ac→AD→＝( )
A．23 B32 c33 D3
[答案] D
[解析]∵Ac→＝AB→＋Bc→＝AB→＋3BD→，
A．1 B．－1
c12 D．－12
[答案] c
[解析]由2A→＋AB→＋Ac→＝(A→＋AB→)＋(A→＋Ac→)＝B→＋c→＝0得，B→＝－c→，即，B，c三点共线．
又|AB→|＝|A→|＝1，故向量BA→在向量Bc→方向上的射影数量为|BA→|csπ3＝12
5．(2018汕头二检)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A3 B．23
c．4 D．12
[答案] B
[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，
∵|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a b＝2×1×cs60°＝1，
∴|a＋2b|2＝|a|2＋4a b＋4|b|2＝12，
∴|a＋2b|＝23
6．()(2018广西南宁二中模考)在△ABc中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠c所对的边，设向量＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若⊥n，则∠A的大小为( )
＝3－2csπ3－8＝－6
9．已知A→＝(3，－4)，B→＝(6，－3)，c→＝(5－，－3－)．
(1)若点A、B、c能构成三角形，则实数应满足的条为________．
(2)若△ABc为Rt△，且∠A为直角，则＝______
[答案] (1)∈R且≠12；(2)74
(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案解析)
平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 22.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→.(1)求|AB→－AC→|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( )A.－4＋ 2B.－3＋ 2C.－4＋2 2D.－3＋2 2答案(1)2 (2)D解析(1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|PA →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝x 2－1x 2＋1.PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝x 2＋12－3x 2＋1＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3， 当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|PA →|＝|PB →|＝1tan θ2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(1tan θ2)2cos θ＝cos2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝1－sin 2θ21－2sin2θ2sin2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1， 则PA →·PB →＝1－x1－2xx＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故PA →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥PA ⇒OA →·PA →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而PA →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故PA →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1， 故cos θ＝2a －b ·a ＋2b |2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝2a2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案 233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D. 3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB→＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。
2018届高三数学每天一练半小时：第33练 平面向量的数量积 含答案
一、选择题1．【2016·玉溪月考】若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥【a ＋b 】，则a 与b 的夹角为【 】 A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．【2017·淄博月考】已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于【 】 A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若【OB →－OC →】·【AB →＋AC →】＝0，则△ABC 是【 】 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．【2015·安徽】△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是【 】 A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．【4a ＋b 】⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若【c －2a 】·【c －23b 】＝0，则|b －c |的最小值是【 】A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．26．【2016·太原五中模拟】已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为【 】 A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．【2016·延边期中】点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·错误!＝错误!·错误!；④【错误!＋错误!】·错误!＝【OB →＋OC →】·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的【 】 A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于【 】A.12B.23C.56D.712二、填空题9．【2016·高安段考】已知向量a ，b 满足a ＋b ＝【5，－10】，a －b ＝【3,6】，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝【cos θ，sin θ】，向量b ＝【3，－1】，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．【2016·开封冲刺模拟】若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t 【t >0】时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC 的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·【PB →＋PC →】的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·【a ＋b 】＝0， 即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， 解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一 如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A 【0,0】，B 【2，0】，C 【2，1】，D 【0,1】，∴AC →＝【2，1】，DB →＝【2，－1】，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二 记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝【a ＋b 】·【a －b 】＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [【OB →－OC →】·【AB →＋AC →】＝0⇔CB →·【AB →＋AC →】＝0⇔CB →⊥【AB →＋AC →】，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以【4a ＋b 】·BC →＝【4a ＋b 】·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×【－1】＋4＝0，所以【4a ＋b 】⊥BC →，故选D.]5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝【1，3】，b ＝【3,0】，c ＝【x ，y 】，∴【c －2a 】·【c －23b 】＝0⇒【x －2】2＋y 【y －23】＝0⇒【x －2】2＋【y －3】2＝3，其几何意义为以点【2，3】为圆心，3为半径的圆，故其到点【3,0】的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·错误!＝错误!·错误! 时，O 为△ABC 的内心；④当【OA →＋OB →】·AB →＝【OB →＋OC →】·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A 【－1,0】，B 【0，－3】，C 【1,0】，D 【0，3】．设E 【x 1，y 1】，F 【x 2，y 2】．由BE →＝λBC →，得【x 1，y 1＋3】＝λ【1，3】，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E 【λ，3【λ－1】】．由DF →＝μDC →，得【x 2，y 2－3】＝μ【1，－3】，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F 【μ，3【1－μ】】．又AE →·AF →＝【λ＋1，3【λ－1】】·【μ＋1，3【1－μ】】＝1，① CE →·CF →＝【λ－1，3【λ－1】】·【μ－1，3【1－μ】】＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析 根据a ＋b ＝【5，－10】，a －b ＝【3,6】，求得a ＝【4，－2】，b ＝【1，－8】，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝错误!·错误!＝－错误!错误!2－错误!错误!2＋错误!错误!·错误! ＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →|＝错误! ＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy 【2cos A －1】≥0， 则Δ＝16y 2【2cos A －1】2－16y 2≤0，则cos A 【cos A －1】≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2.当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22【2x ＋y 】满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ， 则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·【PB →＋PC →】＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×错误!2＝－错误!，即有最小值为－错误!.。
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一、选择题1．(2016·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(c －23b )＝0，则|b －c |的最小值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．(2016·延边期中)点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t >0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·(a ＋b )＝0， 即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， 解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一 如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二 记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝(1，3)，b ＝(3,0)，c ＝(x ，y )，∴(c －2a )·(c －23b )＝0⇒(x －2)2＋y (y －23)＝0⇒(x －2)2＋(y －3)2＝3，其几何意义为以点(2，3)为圆心，3为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →| 时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析 根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →|＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。