代数综合测试题(B)2009

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2009-2010第二学期线性代数期末B卷答案

第 1 页共 5 页上海海事大学试卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试试题答案《线性代数》（B 卷）班级学号姓名总分一、填空题（共9题10空，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上。

1．()734=A ， ()111=B ，则A B T ＝。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛734734734 2．设21,αα是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321,,βββ的线性相关性是。

答案线性相关3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为答案 <<-λ315315 4. 设3351110243152113------=D ，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，则3231A A += 答案 245．设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式48|2|-=A ,则λ= . 答案λ=-1.6．已知()1,1,1,2，()a a ,,1,2，()a ,1,2,3，()1,2,3,4线性相关，并且1≠a ，a = ．--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 5 页答案 1/27．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，则_________,==y x 。

答案 1,0==y x8．要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=43211211t A 的秩最小，则__________=t 。

09年10月线性代数(经管类)试题答案

全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解．（2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ．由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101，先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101．再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1．对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--．四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。

初中数学代数式求值综合测试卷(含答案)

初中数学代数式求值综合测试卷
一、单选题(共7道，每道10分)
1.化简的结果为( )
A. B.
C.9m-2
D.-9m-2
答案：D
试题难度：三颗星知识点：整式的加减
2.若关于x的多项式的值与x无关,则m2-2m2-2(2m-4)+4m的值为( )
A.-28
B.28
C.-32
D.44
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整式的加减;化简求值
3.已知a-b=1,则代数式2a-2b-3的值是()
A.-1
B.1
C.-5
D.5
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整体代入
4.已知代数式的值是8,那么代数式的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
试题难度：三颗星知识点：整体代入
5.当x=2时,代数式ax3+bx+1的值为6,那么当x=-2时这个式子的值为()
A.-4
B.1
C.5
D.6
答案：A
试题难度：三颗星知识点：整体代入
6.一个三位数,中间的数字为a,个位上的数字比十位上的数字大2,百位上的数字比个位上的数字小3,用代数式表示这个三位数为()
A.3a+1
B.111a-98
C.111a+199
D.111a-298
答案：B
试题难度：三颗星知识点：数位表示
7.若a表示一个两位数,b也表示一个两位数,要把b放在a的右边,那么所组成的四位数应表示为()
A.100a+b
B.100a+10b
C.100b+a
D.1000b+10a
答案：A
试题难度：三颗星知识点：数位表示。

西南科技大学2009年线性代数(B)期末试题A

证: 设有 k1α + k2 Aα + k3 A2α = 0 ，
则 k1 Aα + k 2 A2α + k3 A3α = 0 ，因 A3α = 0 ，故 k1 Aα + k 2 A2α = 0 -----(3 分)
ww w. zh
A2α ≠ 0 ，求证向量组 α , Aα , A2α 是线性无关的。
in
命题共 5 页第 4 页
an ch e
1 x = −(λ − 1)2 (λ + 1) −λ
.c
⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 6.（10 分）设矩阵A = ⎜ 1 1 x ⎟ ，问 x 为何值时，矩阵 A 可对角化？ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠
om
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 3 ⎜ ,η 2 + η3 = ⎜ ⎟ η1 = ⎜ 3⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ 求该方程组的通解。解 : 此方程组的导出组的基础解系含有 4−3 =1 个解向量（ 3 分），而 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 1 ξ = 2η1 − (η2 + η3 ) = ⎜ ⎟ 是导出组的一个非零解，故 ξ 就是基础解系（4 分）。所 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 以，方程组的通解为η = kξ + η1 （ k 为任意常数）（3 分）
（3） λ = −
5. （10 分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知η1 ,η2 ,η3 是它的三个解向量且
命题共 5 页第 3 页
ww w. zh
4 ，方程无解---------------------------(2 分) 5
in
⎛ 1 1 λ⎞ ⎜ ⎟ 解: 设方程组的系数矩阵为 A，则 A = ⎜ −1 λ 1 ⎟ --------(2 分) ⎜ 1 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠

上海立信会计学院 09级本科《线性代数》试题(B)

09级本科《线性代数》试题（B）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器，考试时间120分钟）共3页答案请务必写在答题纸上！一．单项选择题（每小题2分，共20分）1．设方阵的行列式，则（）。

（A）（B）（C）（D）都不对2．设，则（）。

（A）－4（B）－2（C）2（D）43．设行列式，，则＝（）（A）（B）（C）（D）4．设为3阶方阵，且已知，则＝（）（A）（B）（C）（D）5．设矩阵，，为同阶方阵，则＝（）（A）（B）（C）（D）6．设为2阶可逆矩阵，且已知，则＝（）（A）（B）（C）（D）7．设是阶矩阵，的充要条件是（）（A）的任一阶子式都不等于0（B）的任一＋1阶子式都等于0（C）的任意个列向量线性无关（D）的任意＋1个列向量线性相关，而有个列向量线性无关8．设，，均为阶方阵且则（）（A）3（B）2（C）（D）9．设齐次线性方程组的一个基础解系是，则此方程组的另一个基础解系是（）（A）（B）（C）与等价的向量组（D）与等秩的向量组10．设为阶方阵，以下结论中（）成立。

（A）与有相同的特征向量。

（B）的特征向量即为方程的全部解。

（C）的特征向量的线性组合仍为其特征向量。

（D）若可逆，则矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量。

二．填空题（每小题2分，共10分）1．设为5阶方阵，且，为的伴随矩阵，则。

2．若向量组，，线性相关，则＝。

3．设3阶矩阵，则。

4．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为。

5．设为阶可逆矩阵，已知有一个特征值为2，则必有一个特征值为。

三．是非题（每题2分，共10分）1．用初等矩阵右乘矩阵，相当于对施行一次行初等变换。

（）2．设均为齐次线性方程组的解，则也是的解。

（）3．若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆。

（）4．向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数。

（）5．如果，则向量组可由线性表示。

（）四．证明题（10分）1．设是阶方阵，且，证明：可逆。

2．设是阶矩阵的秩（），是其伴随矩阵的秩，请给出与之间的关系并证明之。

08-09年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B答案

2008─2009学年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -；（B ）221222y y +；（C ）2212y y -；（D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………。

上海工程技术大学线性代数B(B卷)标准答案(2009.6)

（勤奋、求是、创新、奉献）2008～ 2009 学年第二学期考查试卷主考教师：李娜学院 _________________ 班级 __________ 姓名 __________ 学号 ___________《线性代数B 》课程试卷(B 卷)标准答案（本卷考试时间90分钟）一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1．已知4阶行列式D 中第三列元素依次为1,0,2,1- ，它们的余子式依次分别为4,7,3,5-，则D = -15 .2．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=62111402a A ,其秩2)(=A R ，则=a 0 ．3．设3阶方阵A 的特征值为1-，1，0，则=+-|44|23E A A -4 .4．设向量组321,,ααα线性无关，则1332212,2,2αααααα+++线性无关 .5. 设A 为74⨯矩阵，2)(=A R ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中包含解向量的个数为 5个 .6．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=-1001,1101,1P AP P ，则=5A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1201二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 设A 为3阶方阵，且4-=A ，则=-12)2(A A A T ( B ) ．)A ( 2- ； )B ( 2 ； )C ( 8 ； )D ( 8-.2. 设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当( C )时，可推出C B =.)A (⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101A ； )B ( A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011； (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ； (D)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A .3.设B A ,是两个相似的n 阶矩阵，则 ( A )． (A) 存在非奇异矩阵P ，使得B AP P=-1；(B) 存在对角矩阵D ，使得A 与B 都相似于D ； (C)||||B A =； (D)B E A E -=-λλ.4.已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是其对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，21,c c 是任意常数，则b Ax =的通解必为 ( B )．(A) )(21)(2121211ββααα-+++c c ； (B) )(21)(2121211ββααα++-+c c ； (C) )(21)(2121211ββββα-+++c c ； (D) )(21)(2121211ββββα++-+c c .5. n 阶矩阵A 具有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的( B )． (A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件； (C) 必要但非充分条件； (D) 既非充分也非必要条件.三、计算下列行列式：（10分）1222111)1(b a a c c b b a ca c bc b aD +++= 27181914131211111)2(--=D 1221111111)1(b a a c b a a c c b c b a +++++= ))1(3)(23()21)(13)(11)(12(---⋅------= =0 分5 =1×(-2)×2×(-3)×1×4=48 分5四、解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，求矩阵X .（10分）解 A X E A =-)(, A E A X 1)(--= 分3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)( A E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−010110332340022021 分5⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−312100010110022021 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−312100010110002201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−312100302010622001 分9 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=∴312302622X 分10(分或8412312623)(1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--E A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=∴-312302622010312022412312623)(1A E A X 分10 )五、t 为何值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+=+-+=+-+tx x x x x x x x x x x x x x x x 432143214321432122,133,24224,1有解，并在有解时求通解.(14分)解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t A2112131132422411111分2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−→−20110202202022011111t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−→−00000100001011011111 t 可见,42)()(1<===A R A R t 时，所以有依赖于2个独立参数的无穷多解．分5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−00000000001011001001A 分7 同解方程组为,144333241⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-=x x x x x x x x 分11).,(0010100101102121R k k k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∴ 分14六、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ， (1) 求出A 的特征值和特征向量，并判断能否对角化？（2）若A 能对角化,求出可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P1.(16分)解（1）163053064-+--=-λλλλA E )2()1()1](18)5)(4[(2+-=-++-=λλλλλ所以特征值为2,1321-===λλλ 分5当121==λλ时，,00000002146306306-3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴0121p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴1002p 分9当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--0001-101010001-100113-6303306-6-2A E同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=333231x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴1113p 分11（2）因为A 有三个线性无关的特征向量，所以可以对角化。

2008-2009 线性代数B题及参考答案

D、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 都不是零向量
二、填空题，每空 3 分，共 10 空，30 分。
2 1 ,则 | A |= ( 3 2
(1)、设 A =
), A 的逆矩阵为（
）。
(2)、设 A, B 是已知的 n 阶方阵，且 | A |≠ 0 ,则矩阵方程 AX = B 中的未知矩阵 X 为（）。）;二维向量 a1 = (1,1)T , a2 = (1, 0)T 将 b = (2,3) T
(3)写出二维单位向量 e1 , e2 （
表示为 a1 , a2 的线性组合（
）。
(4)、m × n 阶线性方程组 Ax = b , R( A), R( A, b) 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（
r
）无解，当（
r
）有唯一解，当（
r r
）有无穷多解
(5)、已知 α = (1,−1,2,0) T , β = (2,1,−2,−1) T ，则 α T β = （ 1 1 (6)、三阶方阵 A 的特征值为 1, , ，则 A −1 为（ 2 3 三、计算题（每题 10 分，共 40 分）
α 3 = (2,1,2 )T
2 1 ，单位化后得 p 1 = 3 1 2
则所求正交阵为 P = ( p1 , p 2 , p 3 ) 。
50
)
(6)、向量组 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 线性相关的充分必要条件是(
46
《线性代数》作业答题纸
专业及班级姓名学号成绩
A、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有一个零向量 B、其中至少有一个向量是其余 s − 1 个向量的线性组合 C、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有两个向量成比例

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代数综合测试题（B ）
一、选择题：（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
【本题每小题列出的四个答案中，只有一个是正确的，把正确答案的代号填入括号内】 1.下列实数中，无理数是（）．（A ）
7
22 （B ）1.41414 （C ）9 （D ）
2
2
2．b a +的一个有理化因式是（）（A ）b a - （B ）b a +（C ）b a -
（D ）b a + 3.如果用换元法解方程
041
312
2
=-++
+x
x x
x
，设x
x
y 12
+=，那么原方程可化为（）
（A ）0432
=++y y （B ）0432
=-+y y （C ）0342
=+-y y （D ）0342
=--y y 。

4．一元二次方程022=-+a x x 的根的情况是（）（A ）有两个不相等的实数根；（B ）有两个相等的实数根；（C ）没有实数根；（D ）无法判断．
5．在直角坐标坐标系中，如果抛物线2)1(2
++=x y 经过平移可以与抛物线22
+=x y 互相重合，那么平移的要求是（）
（A ）向上平移1个单位；（B ）向下平移1个单位；（C ）向右平移1个单位；（D ）向左平移1个单位．
6．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数既是奇数又是素数的概率为（）（A ）
6
1 （B ）
3
1 （C ）
2
1 （D ）
3
2
二、填空题（本题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．求值：=9 ．
8．“x 的平方与y 的差”用代数式表示为． 9．分解因式：y xy x -+-1= ．
10．不等式组⎩⎨
⎧<--≥3
12,22x x 的解集为．
11．如果等式2)2(2
-=-x x 成立，那么x 应满足的条件是．
12．如果2=x 是方程062
=--ax x 的根，那么=a ． 13．方程x x -=+6的解是．
14．函数x
x y --=31的定义域是．
15．如果直线x y 21-=与直线kx y =互相平行，那么=k ． 16．抛物线432
--=x x y 与y 轴的交点坐标是． 17．数据2，3，4，2，4，2，5，6中的众数为．
18．四张完全相同的卡片上，分别画有角、等边三角形、平行四边形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为 .
三、（本大题共7题，第21、22、23、24题每题10分，第25、26题每题12分，第27题14分，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：0
1
23)
12(821）（++++---．
20．（本题满分10分）
先化简，再求值：
x x x
x
x
x x
÷---
-+-3
31
122
2
2
，其中3=x ．
21．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨
⎧=+-=-.
92,422
2
y
xy x
y x
22．（本题满分10分）解方程：5
146=++-x x ．
23. （本题满分12分）
某市电信局对计算机拨号上网用户提供三种付费方式供用户选择( 每个用户只能选择其中一种付费方式 ) ; 甲种方式是按实际用时付费,每小时付信息费4元, 另加付电话费每小时1元2角 ; 乙种方式是月包制, 每月付信息费100元 , 同样加付电话费每小时1元2角；丙种方式也是月包制 , 每月付信息费250元,但不必再另付电话话费。

（1）设某户某月上网时间为t 小时，试用t 的代数式表示三种付费公式y ；（2）试判断哪种付费方式优惠；
24．（本题满分12分）
已知：一次函数4+=x y 的图像与二次函数c bx x y +-=2
的图像都经过点)3,(m A 和点)0,(n B ，二次函数图像的顶点为C ．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）试判断△OAC 是什么三角形？并证明你的结论．
25. （本题满分14分）
已知一次函数b x y +=
3
3的图像与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数x
k y =
的
图象在第一象限交于点C )32,3(，点D 、E 分别在线段OA 、AB 上， DE=DA ．（1）求b 、k 的值；
（2）求∠sin ODE 的值；
（3）若△ODE 是直角三角形，求点D
参考答案
一、1.D ；2. B ；3. C ；4. A ；5. C ；6. B.
二、7.3；8.y x -2
；9.)1)(1(--y x ；10.21<≤-x ；11.2≥x ；12.1-；13.2-=x ； 14.1≥x 且3≠x ； 15.2-；16.)4,0(-；17.2；18.4
3．
三、（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19．1-； 20.1
2+-
x ，13+-
；21. ⎩⎨⎧-=-=,7,1011y x ⎩⎨⎧-==.1,
22
2y x ；22.21=x ，62=x ；
23.（1）y (甲)=5.2t y (乙)=100+1.2t y (丙)=250
（2）当每月上网低于25小时时，选择甲种付费方式优惠；当t=25小时时，甲乙付费一样，
当25＜t ＜125小时时，选择乙种付费方式适宜；当t=125小时时，乙、丙两种付费方式相同；当t ＞125小时时，选择丙种付费方式合算.
（3）小王应选择乙种方式付费较为合算.
24.（1）862
++=x x y ；（2）等腰直角三角形.
25.（1）3=b ，36=k ；（2）2
3；（3）)0,1(-或)0,2(-.。