高等数学B综合练习1
高数b1复习题
高数b1复习题高数B1复习题一、极限与连续性1. 求下列函数的极限：a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)b) \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 4)\)c) \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}\)2. 判断下列函数在x=0处是否连续，并说明理由：a) \( f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\1 & \text{if } x = 0\end{cases} \)b) \( g(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases} \)二、导数与微分1. 计算下列函数的导数：a) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x \)b) \( g(x) = \sin x + \ln x \)c) \( h(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)2. 利用导数研究下列函数的单调性与极值：a) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)b) \( g(x) = x^2 - 4x + 4 \)三、积分学1. 计算下列定积分的值：a) \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)b) \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \)2. 利用定积分求解面积问题：a) 求由曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4 \) 及x轴围成的面积。
b) 求由曲线 \( y = \sqrt{x} \) 与x轴围成的面积。
四、级数1. 判断下列级数的收敛性：a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \)2. 求下列级数的和：a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)五、多元函数微分学1. 计算下列多元函数的偏导数：a) \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \)b) \( g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)2. 利用多元函数的偏导数研究下列函数的极值：a) \( f(x, y) = x^2 - xy + y^2 \)b) \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y \)六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：a) \( \frac{dy}{dx} = x - y \)b) \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y} \)2. 解下列二阶常系数线性微分方程：a) \( y'' - 2y' + y = 0 \)b) \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)本复习题涵盖了高等数学B1课程的主要知识点，包括极限、连续性、导数、微分、积分、级数和微分方程等。
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
高数B（上）试题及答案1
高数B（上）试题及答案1第一篇：高数B(上)试题及答案1高等数学B（上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（×）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.（×）2.闭区间上的间断函数必无界.（√）3.若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限.（×）4.单调函数的导函数也是单调函数.（√）5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（×）6.y=f(x)在点x0连续，则y=f(x)在点x0必定可导.（×）7.若x0点为y=f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0.（×）8.若f'(x)≡g'(x)，则f(x)≡g(x).二、填空题（每题3分，共24分）1.设f(x-1)=x，则f(3)=16.2．limxsinx→∞21＝x1。
x⎡11⎛2+x⎫⎤3.lim⎢xsin+sinx+⎪⎥=x→∞xx⎝x⎭⎦⎢⎥⎣1+e2.4.曲线x=6y-y在(-2,2)点切线的斜率为2323.5．设f'(x0)=A，则limh→0f(x0+2h)-f(x0-3h)＝h05A.6.设f(x)=sinxcos31,(x≠0)，当f(0)=x-1处有极大值.时，f(x)在x=0点连续.7.函数y=x-3x在x=8.设f(x)为可导函数,f'(1)=1，F(x)=f三、计算题（每题6分，共42分）⎛1⎫2+f(x)，则F'(1)=⎪⎝x⎭1.(n+2)(n+3)(n+4).3n→+∞5n(n+2)(n+3)(n+4)解： lim n→+∞5n31．求极限 lim⎛2⎫⎛3⎫⎛4⎫=lim 1+⎪1+⎪1+⎪（3分）n→+∞⎝n⎭⎝n⎭⎝n⎭=1（3分）x-xcosx2.求极限 lim.x→0x-sinxx-xcosx解：limx→0x-sinx1-cosx+xsinx（2分）=limx→01-cosx2sinx+xcosx（2分）=limx→0sinx=33.求y=(x+1)(x+2)2(x+3)3在(0,+∞)内的导数.解：lny=ln(x+1)+2ln(x+2)+3ln(x+3)，y'123y=x+1+x+2+x+3，故y'=(x+1)(x+2)2(x+3)3 ⎛123⎫⎝x+1+x+2+x+3⎪⎭4.求不定积分⎰2x+11+x2dx.解：⎰2x+11+x2dx=⎰11+x2d(1+x2)+⎰11+x2dx=ln(1+x2)+arctanx+C5.求不定积分⎰xsinx2dx.解：⎰xsinx2dx=12⎰sinx2d(x2)=-12cosx2+C6．求不定积分⎰xsin2xdx.解：⎰xsin2xdx=12⎰xsin2xd(2x)=-12⎰xdcos2x=-12(xcos2x-⎰cos2xdx)2分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）（11=-xcos2x+sin2x+C（2分）247.求函数y=(sinx)cosx的导数.解：lny=cosxlnsinx（3分）y'=(sinx)cosx+1(cot2x-lnsinx)（3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20-2x，所以，面积为S=x(20-2x)=-2x+20x，（3分）由S'=-4x+20=0，知（3分）当宽x=5时，长y=20-2x=10，（3分）面积最大S=5⨯10=50（平方米）。
高等数学B(1)练习题
第一章 函数、极限与连续作 业 题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 21lim1x x →-5 30tan sin lim x x xx→- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 0x →9．()2sinlim 13xx x →+ 10.22x →11．()120lim ex xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlimx x 14.e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim 22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性;若不连续;指出该间断点的类型.2. 设()f x 在[,]a b 上连续;且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈;使()f ξξ=.练 习 题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>;在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<;且lim n n y A →∞=;则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在; 则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值 B. ()f x 在点0x 的函数值必存在;但不一定等于该点极限值 C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在;必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是绝对值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量一定是无穷大量 5.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-6.变量11sin x x. A. 是0x →时的无穷小 B. 是0x →时的无穷大 C. 有界但不是0x →时的无穷小 D. 无界但不是0x →时的无穷大7.0x =是1()sinf x x x=的 . A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续;1x =处间断D. 在0x =处间断;1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续;则k = . A. 4 B.14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 . A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二 、填空题 1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x →∞= . 2.0sin lim sin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时;sin3x 是2x 的 无穷小；2sin x x +是x 的 无穷小；1cos sin x x -+是2x 的 无穷小；23e 1xx --是2arcsin x 的 无穷小；1(1)1nx +-是x n的 无穷小；32x x -是22x x -的 无穷小. 5.已知0x →时;()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小;则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续;则常数,a b 应满足的关系为 .7.()sin xf x x=的可去间断点为 ；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是 ．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.201lim x x x →- 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.第二章 导数与微分作 业 题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.讨论函数1arctan ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数3-7小题 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-;求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ;求'y5.sin 3cos xy x=-;求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭;求'y7设()f x 可导;计算函数(e )xy f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数8-10小题8. (ln y x =;求''y9 2e cos xy x =⋅;求''y10.设2(sin )y f x =;其中()f x 二阶可导;求22d d yx.11.已知arctan y x =求d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩;所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.14-15小题14.sin xy x=;求'y 15.y =;求'y求下列函数的微分16-19小题16.2ln sin y x x x =+;求dy 17.21cot e xy =;求dy18.42ln x y y =+;求dy 19.yxx y =;求dy练 习 题一、单项选择题1.已知(3)2f '=;则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.12.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++;则(0)f '= . A.(1)!n - B.n C.!n D.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的 条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定;则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y -6.设22()f x y y +=;其中22()f x y +是可导函数;则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc b t a -B.32csc b t a -C.2csc b t aD.32csc bt a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定;则0d d t y x == .A.0B.12C.1e sin 2x yD.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩;则(0)f '= . 2.设(0)0f =;(0)f '存在;则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩;则(0)f +'= ;(0)f -'= ;(0)f ' .4.设2111f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;则()f x '= . 5.设2()y f x =;且()f x 可导;则d d yx= . 6.设()sincos 22xf x x =+;则(100)()f π= . 7.设(ln )y f x =;其中()f x ''存在;则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数;且2(4)5,(4)3f f '==;则(5)g '= . 9.d ＝x;d ＝1d x x .10.由方程e 0x yxy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =;求'y3.)11y⎫=-⎪⎭;求'y4.aa xa x a y x a a =++;求'y5.cos (sin )xy x =;求'y6.设2()1n f x x x x =++++;计算()(0)n f .7. y=求dyarctaneyx=;求dy9. .求参数方程esin costx ty t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x=的微分d y.10. .证明：当||x很小时1xn≈+.第三章 微分中值定理与导数的应用作 业 题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导;且()0f x '=;则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时;sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos )xx x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时;xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线1 12+-=x x y ；2 xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练 习 题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续;(0,1)内可导;且(1)0f =;证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时;ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续;在),(b a 内可导;且0)(>'x f ;则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ;证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )x x x → 6.21arcsin lim x x x x →⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.182y x x=+ 223(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.3.证明方程sin x x =只有一个实根.4.求函数()(1)e xf x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值;最大值及最小值.6. 设324x y x+=;求： ⑴ 函数的增减区间及其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间及其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章 不定积分作 业 题一、求下列不定积分： 1 ⎰-dx x x )1(2； 2 ⎰++dx x x 1124；3 dx xx e e x xx⎰--) 2(3； 4dx x x ⎰ sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分1 ⎰xdx x 54cos sin ； 2)0( 22>-⎰a xa dx ；3dx x x x )1(arctan ⎰+； 4)0(22≠+⎰a x a dx；三、用第二换元法求下列不定积分 1dx x x xln ln 1⎰+； 2 dx x x x x ln 12⎰++；3⎰-24xxdx ． 4)0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分 1 ⎰xdx x ln ； 2 ⎰dx e x x2；3 ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax 4⎰dx xe x ．五、求下列不定积分三角函数、有理式、无理式1 ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； 2 ⎰+)1(24x x dx；3dx xx ⎰ cos sin 32． 4dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．5⎰-+342)1()1(x x dx； 6dx xx 14⎰+；练 习 题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰;则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数;则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x=+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x;且过点2(,3)e ;则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+ 3. 设()f x 的一个原函数是2e x -;则()d xf x x '=⎰ .A ．222e x x C --+ B ．222e x x --C ．22(21)ex x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰ 6. 3tan d x x ⎰7.x 8. d x 9.2(1)d xx x -⎰ 10.d x11.x 12. 2sin e d x x x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章 定积分作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰ 5.221x ⎰ 6.401cos 2d xx x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题1. 把极限)221lim n n n →∞+表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xx x t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩;求20()d f x x ⎰及0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续;且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰;证明：若()f x 单调不增;则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线;求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆;而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.练 习 题一、填空题1.根据定积分的几何意义;20d x x =⎰ ;1x -=⎰ ;sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d tx u u =⎰;0cos d ty u u =⎰;则d d yx= . 3．31d d d xx ⎰= .4．设e xx -为()f x 的一个原函数;则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数;且2-1()0d x f t t x =⎰;则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d ba f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数 2．设()f x 在[],a b 上连续;()()d xa x f t t φ=⎰;则 ．A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数3.arctan bd d d ax x x =⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．04．下列反常积分收敛的是 ．A ．+0e d xx ∞⎰ B ．1ln e d x x x +∞⎰ C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ． A ．0 B ．2 C ．－2 D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．22x ππ-⎰ 4．20sin cos sin cos d x xx x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩;求0()()d xF x f t t =⎰．四、求下列定积分及反常积分1．求1ln e ed x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰ed 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰ 6．0d e ex xx+∞-+⎰ 7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数;证明()()d d bba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ;大块面积为B ;求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。
高等数学B2综合检测1答案
2
8. 计算 ∫∫ x 2 + y 2 dσ , 其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x}.
D
解：
∫∫
D
2
x 2 + y 2 dσ = ∫
π /2
−π /2
dθ ∫ r × rdr =
0
1
π
3
.
9. 计算
x + y ≤2 x
∫∫
2
( x + 2 y )dσ .
0 y 0 0
1
1
5. 设级数 ∑ (1 − un ) 收敛，则 lim un =
n =1 n →∞ > 1 时， ∫
+∞
1
dx 1 1− p 1 = = x . p − x 1− p p 1 1
+∞
7. 下列级数中绝对收敛的是【 C 】 ∞ ∞ ∞ (−1) n 1 A. ∑ (−1) n B. ∑ C. ∑ (1 − cos ) n n n =1 n =1 n =1
原方程的特解形式为 y* = ax 2 e3 x , 记 y* = Q( x)e3 x , 则代入原方程得， Q ′′ = 1 ，取
x2 x2 3x x2 3x * 3x Q′( x) = x, Q( x) = ，即 y = e , 原方程的通解为： y = (C1 + C2 x)e + e . 2 2 2 * 2 3x 注：也可将 y = ax e 代入原方程，确定 a . 1 1 11. 将 f ( x) = 及 g ( x) = 展开为 ( x − 1) 的幂级数. (3 − x) 2 3− x
+ c2 e x . 【特征根： r = −2,1 】
高等数学(B)模拟练习题(含答案)
高等数学（B ）（1）模拟练习题一、选择题1.下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 2. 下列极限存在的为（ ） A. x x e 10lim → B. 121lim 0-→x x C. x x 1sin lim 0→ D.2)1(lim x x x x +∞→ 3. 在同一变化过程中，下列结论正确的是（ ）A. 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量B. 有界变量与无穷大量的乘积是无穷大量C. 无穷小量与无穷大量的乘积是有界变量D. 无穷大量与无穷大量的和为 无穷大量4. 在下列各式中，=)(0/x f ( ) A. x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 B.xx x f x f x ∆∆+-→∆)()(lim 000 C.x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000 D.xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim 000 5．根据定积分的几何意义计算，则dx x ⎰-1021 =（ ） A.π B.2π C. π2 D. 4π 二、填空题1.函数的表达形式有_________，____________ ，____________ .2.函数42sin 2-+=x x y 的定义域______________ .3.可导的函数是连续的，但连续函数__________________________.4.若连续函数y=f(x)的自变量x 从x 0的左邻域变到x 0的右邻域时，()f x '的符号由负变为正，则x=x 0是函数y=f(x)的____________点.5 .=-⎰-dx x x x 332)sin 4(_________.三、判断题1.函数)1sin()(2x x f +=是偶函数 （ ）2．1sin lim =∞→xx x （ ） 3．函数)(x f 在0x 有定义，则函数在0x 点一定可导。
高数B分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、 12、 13、 14、15、 16、 17、18、 19、 20、21、 22、23、24、 25、26、 27、 28、 29、30、 31、32、 33、 34、 35、36、 二、填空题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 三、计算定积分1、求定积分 解:2、求定积分解:3、求定积分4、求定积分 解: 解:5、求定积分解:0022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解:令,则,且当时,;时,。
于就是7求定积分解:令8、求定积分解:9、求定积分解:111211002220001111ln(1)|arctan |ln 2111224x x dx dx dx x x x x x π+=+=++=++++⎰⎰⎰ 10、求定积分解:由定积分得几何意义可知,积分值为区域 落在第一象限得部分得面积,即, 解法二,令,则,且当时,,当时,,则2222000014cos 2(1cos 2)2(sin 2)|2tdt t dt t t ππππ==+=-=⎰⎰⎰11、求定积分解: 令 ,则,且当时,;时,。
于就是2333221444sec cos 1|tan sec sin sin 3tdt t dt t t tt ππππππ===-=⎰⎰⎰12、求定积分 解:令111111000222|222|2ttt t t te dt tde te e dt e e ===-=-=⎰⎰⎰⎰四、计算偏导数、全微分 1、设其中,求。
高数B(上)试题及答案
高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。
3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
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高等数学B2综合练习一
一、单顶选择题
1、设()f x 在[0,4]上连续，则232
()x f x dx =⎰
40
()
()A f x d x ⎰
401()
()2B x f x d x ⎰ 2
1()()2C xf x dx ⎰ 20()()D x f x d x
⎰ 2、下列广义积分收敛的是 ln ()
e
x A dx x +∞⎰
1()ln e B dx x x +∞⎰ 21()(ln )e C dx x x +∞⎰
()e D +∞⎰ 3、 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可导(偏导数存在)与可微的关系是
()A 可导必可微 ()B 可导一定不可微 ()C 可微必可导 ()D 可微不一定可导 4、函数32(,)3,f x y x x y =-+则它在点(1,0)处
()A 取得极小值 ()B 无极值 ()C 取得极大值 ()D 无法判定是否有极值 5、设(,)f x y 为连续函数，则ln 1
(,)e x dx f x y dy =⎰
⎰
21
0()(,)e e A d y f x y d x ⎰
⎰
1
()(,)y e
e B dy
f x y dx ⎰
⎰
2
1
1
()
(,)y e C dy f x y dx ⎰
⎰ 2
1
1
()
(,)y e
D dy f x y dx ⎰
⎰
6、下列级数绝对收敛的是
11(1)()1n n A n +∞
=-+∑ 1
1()(1)21n n n B n ∞
+=--∑ 11(1)()3n n
n C +∞=-∑
1
()n n D ∞= 7、下列函数中是微分方程7120y y y '''-+=的解的是
3
()A y x = 2
()B y x = 2()x
C y e = 3()x
D y e = 二、填空题 1
、z =_____________。
2、若
()2()()b a
f x dx f x
g x =+⎰
，则()
()()
b a g x dx f x g x =+⎰_____________。
3、21
2
1
(1)lim
ln x x t dt x
→-=⎰
_______________。
4、幂级数
1
1(1)
3
n
n n n x ∞
-=-∑的收敛半径R =______________。
5、若级数
1
n n a
∞
=∑收敛，则1
lim
1n n
a →∞=+_____________。
6、微分方程dy ydx =满足初始条件0|2x y ==的特解是___________。
三、计算题 1、求定积分120
11x dx x ++⎰
2、求定积分⎰+21ln 11
e dx x
x
3、设l n ()(0,0),x z y x y x y =+>>求dz 。
4、设22
(),z f x y f =+是可微函数，求z z
y x x y
∂∂-∂∂。
5、设(,)z f x y =是由方程2
1z xyz =+所确定的隐函数，求,z z
x y
∂∂∂∂。
6、计算x y
D
e
dxdy ⎰⎰，其中D 是由2,0,1x y x y ===所围成的闭区域。
四、解答题 1、判绽级数3
1
1
1
(1)3
n n
n n ∞
+=+-∑的敛散性。
2、求曲线2
y x =与直线2y x =所围成的图形面积，并求此图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
3、将ln(4)x
+展开成x 的级数，并指出收敛域。
4、求微分方程x xy y xe '+=的通解。
5、求微分方程4120y y y '''--=在初始条件00|,|3x x y y =='=下的特解。
五、(应用题)设工厂生产A 和B 两种产品，主量分别为x 和y (单位：千件)。
利润函数为 22(,)61642L x y x x y y =-+--(单位：万元)
已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤， 现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？ 六、(证明题)
设()f x 连续，且0
(2),(1)1x x
uf x u du e f -==⎰
，试证：2
11
()2
e f x dx +=
⎰。