江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三10月联考数学(理)试题
南昌市三校联考(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三试卷 月考试题答案
南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高三试卷数 学（理）答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 二、填空题（每小题5分,共25分）11．3 12．2 13． 321,21 14． ①③④ 三、解答题16. (12分) 解：由p ：－2≤1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}， 由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0＜m ≤3. ∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．17. (12分) 解: (1)1cos 2()622xf x x +=⨯3cos 223x x =-+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故()f x 的最大值为3+;此时Z k k x k x ∈-==+,12,262ππππ最小正周期22T π==π(2)由()3f α=-得2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 又由02απ<<得2666απππ<+<π+,故26απ+=π,解得512α=π从而4tan tan 53απ==18. (12分) (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x ，y ∈R )， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数． 解：(2)()23log 3f =＞0，即f(3)＞f(0)，又()x f 在R 上是单调函数，所以()x f 在R 上是增函数又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， ∴ k ·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0 对任意t ＞0恒成立．R 恒成立．19. (12分) 解(1）∵()sin cos cos sin f x x x x x ⎛⎛=⋅+⋅+ ⎝⎭⎝⎭)sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是2π，当()242x k k πππ-=-∈Z ，即()24x k k ππ=-∈Z 时，函数取得最小值-2.（2）02παβ<<≤，02πβα∴>->，0πβα>+>()4cos ,5βα-=()3sin 5βα∴-=.()4cos ,5βα+=-()3sin 5βα∴+=()()sin 2sin βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+--+-344305555⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222sin 24sin 244f ππβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=--⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦21cos 222sin 202πββ⎡⎤⎛⎫=---=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以，结论成立20. (13分) 解∵()sin f x a x x b =-+，∴'()cos 1f x a x =-， 由题意，得'()03f π=，cos103a π-=，解得2a =.（1） 不等式()sin cos f x x x >+等价于cos sin b x x x >+-对于一切[0,]2x π∈恒成立.21. (14分) 解（1）当0a =时，()ln f x x x =-+ 1'()1f x x =-+ '(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1y =-（2）21(1)1(1)(1)'()(1)(0)ax a x ax x f x ax a x x x x-++--=-++==>① 当0a =时， 解1'()0x f x x -=->，得1x <，解1'()0x f x x-=-<，得1x > 所以函数()f x 的递增区间为)1,0(，递减区间为在()1,+∞0a ≠时，令'()0f x =得1x =或1x a=i ）当01a <<时，11a > 函数()f x 的递增区间为)1,0(，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1(1,)a ii ）当0a <时，1a< 在()0,1上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <函数()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为(1,)+∞（3）由（2）知，当14a =时，()f x 在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数， 所以9(1)8M f ==-， 存在[1,2]x ∈，使9()8g x ≥-即存在[1,2]x ∈，使279288x bx -+≥-，方法一：只需函数()g x 在[1，2]上的最大值大于等于98- 所以有9(1)89(2)8g g ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩即791288794488b b ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩解得：32b ≤ 方法二：将279288x bx -+≥- 整理得12x b x ≤+3],[1,2]2x ∈∈从而有max 1322x b x ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以b 的取值范围是3(,]2-∞.。
江西省南昌市2015届高三零模调研测试数学(理)试卷(扫描版)
2014—2015学年度南昌市高三年级调研测试卷数学(理科)参考答案及评分标准又∵03B π<<，∴2333B πππ<+<，∴当32B ππ+=，即6B π=时，ABC ∆的周长l 取得最大值2+………………………12分18. 解：（1）由2423n n n S a a =+-，2111423n n n S a a +++=+-，得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………3分当5n ≥时，0n a >，所以12n n a a +-=，所以当5n ≥时，{}n a 成等差数列.………………………………………………………………6分（2）由2111423a a a =+-，得13a =或11a =-， 又12345.,,,a a a a a 成等比数列，所以10(5)n n a a n ++=≤，1q =-，……………………………………………………………7分 而50a >，所以10a >，从而13a =，……………………………………………………………8分所以13(1),(14)27,(5)n n n a n n -⎧-≤≤=⎨-≥⎩， (10)分所以231-(1),(14)268,(5)nn n S n n n ⎧⎡⎤-≤≤⎪⎣⎦=⎨⎪-+≥⎩.………………………………………………………………12分 19. 解：（1）因为∆PAE ≅∆DAE ⇒PE=DE,又EH PD ⊥⇒H 为PD 中点，又////,,FH CD AB FH PAB AB PAB ⊄⊂面面⇒//FH PAB 平面,………………………2分又//,,//EF PB EF PAB PB PAB EF PAB ⊄⊂⇒面面平面, ………………………………4分EF HF F =,∴//,//EFH PAB EH EFH EH PAB ⊂⇒平面平面平面平面…………6分(2)如图建立空间坐标系E (0,0,2)P,C(0,2,0)D,1,1)2F ,(0,1,1)H PD AEPD AH⊥⎧⇒⎨⊥⎩(0,2,2)PD =-是平面EAH 的法向量…………8分 设平面FAH 的法向量为(,,)n x y z =，31(,,1),(0,1,1)2AF AH ==02000n AF y z y z n AH ⎧⋅=++=⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，设z =，(1,3,n ∴=……………… 10分cos ,||||8PD n PD n PD n ⋅=== ∴平面FAH 与平面EAH ………………………………12分 20.解：（1）抛物线2C 的准线方程是2y =-，所以242pp =⇒=，所以抛物线2C 的方程是：28x y =，……………………………………………………… 2分椭圆椭圆22122:1(0)yx C a b ab+=>>的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，所以2c =，2a ==，所以2a b ==，即椭圆1C 的方程是22184x y +=；…………………………………………………5分（2）设点(,0)P t ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y E x y F x y ，抛物线方程可以化为：218y x =，1'4y x =，所以AP 的方程为：1111()4y y x x x -=-，所以1111224y x t y --=-，即11124y tx =+同理：22124y tx =+，所以直线AB 的方程为：124y tx =+， (7)分将直线AB 方程代入椭圆1C 的方程得到：22(32)16640t x tx ++-=， 则22256256(32)0t t =++>△，且3434221664,3232t x x x x t t --+==++，……………………9分所以223434343422864320(1)()481623232t t t OE OF x x y y x x x x t t -+⋅=+=++++==-++ (11)分 因为232001032t <≤+，所以OE OF ⋅的取值范围是(8,2]-.………………………………12分21. 解：（1）'()1xf x a e =-⋅， (1)分当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 是(,)-∞+∞上的单调递增函数；………………………2分当0a >时，由'()0f x >得ln x a <-，所以函数()f x 是(,ln )a -∞-上的单调递增函数，函数()f x 是(ln ,)a -+∞上的单调递减函数；…………………………………………………………3分（2）2()xx x x f x e a e e ≤⇔≥-，设()xx x g x e e=-，则21'()x xe x g x e --=，………………4分当0x <时，210x e ->，'()0g x >，()g x 在(,0)-∞上单调递增，…………………………5分当0x >时，210x e -<，'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减，…………………………6分所以max ()(0)1g x g ==-，所以1a ≥-；…………………………………………………………7分（3）函数()f x 有两个零点12,x x ，所以1212,x x x ae x ae ==，因此1212()x xx x a e e -=-， 即1212x x x x a e e-=-，……………………………………………………………………………………8分要证明122x x +>，只要证明12()2x x a e e +>，即证：121212()2x x xx e e x x e e +->-………………9分不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1tt e >>，因此只要证明：121t t e t e +⋅>-，即(2)20t t e t -++>，………………………………………10分记()(2)2(0)t h t t e t t =-++>，则'()(1)1t h t t e =-+，记()(1)t m t t e =-，则'()tm t te =，当0t >时，'()0m t >，所以()(0)1m t m >=-，即0t >时(1)1,'()0t t e h t ->->，所以()(0)0h t h >=即(2)20tt e t -++>成立， (11)分所以122x x +>.……………………………………………………………………………………12分22解：（1）当3a =时，42,1()2,1x 324,3x x f x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩……………………………………1分当1x <时，由()4f x ≤得424x -≤，解得01;x ≤< ……………………………………2分 当13x ≤≤时，()4f x ≤恒成立； ……………………………………………………………3分 当3x >时，由()4f x ≤得244x -≤，解得34x <≤．……………………………………4分 所以不等式()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． ………………………………………………5分（2）因为(x)1121f x a x x a x x a =-+-≥-+-=--， 当()()10x x a --≥时，()21f x x a =--；当()()10x x a --<时，()21f x x a >--.…………………………………………………7分 记不等式()()10x x a --<的解集为,A 则()2,1A -⊆，……………………………………8分 故2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-．…………………………………………………10分 23．解：（1）直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ；……………………………… 4分（2）曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x ，则点M参数方程为002cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）0012y +得，0012y +==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+∴0012y +的取值范围是[]4,4-……………………………10分。
江西省南昌市铁路一中2015届高三二轮复习数学(理)试题 Word版含答案
南昌市铁路一中高三新课标第二轮复习测试卷数学（2）南昌市铁路一中 章建荣一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. i 是虚数单位，2i1+i的共轭复数为 A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i -2. 已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=N M A ．}1|{->x x B ．}1|{<x x C ．}11|{<<-x x D ．∅3．等差数列{}n a 的公差为d ，若数列}2{1na a 为递减数列，则 A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >4．已知函数)(x f 满足： ①对任意R y x ∈，，)()()(y f x f y x f +=+，②对任意0>x ，0)(>x f ，则 A ．)(x f 是偶函数且在),0(+∞上单调递减 B ．)(x f 是偶函数且在),0(+∞上单调递增 C ．)(x f 是奇函数且单调递减 D ．)(x f 是奇函数且单调递增5．使奇函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 在]0,4[π-上为减函数的θ值为A.3π-B. 32πC. 65πD. 6π-6．抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线13:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p ＝A. 163B. 83C. 332D. 3347. 已知1x 是方程210--=x x的解, 2x 是方程2lg --=x x 的解,函数()()21)(x x x x x f --=，则 A.)3()2()0(f f f << B.)3()0()2(f f f <= C.)2()0()3(f f f =< D.)2()3()0(f f f <<8. 已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>，则不等式成立A ()()34f ππ-<-B ()()34f ππ<C ．2(0)()3f f π<D ．(0)()4f π> 9.已知21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f ，在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足a c A b 32cos 2-≤,则)(B f 的取值范围A. 1(1,]2- B. ( C. 11(,]22- D. 1(]210.如图，在棱长为1正面体ABC S -，O 是四面体的中心，平面PQR || 平面ABC ，设x SP =，三棱锥PQR O -的体积为)(x f V =，其导函数)('x f y =的图像大致为11.定义在R 上的可导函数3211()232f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，若(1)30t a b t -++->恒成立，则实数t 的取值范围为A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．5(,)4-∞D ．5(,]4-∞12. 设函数()x f x mπ=.若存在)(x f 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是A. ),6()6,(+∞--∞B. ),4()4,(+∞--∞C. ),2()2,(+∞--∞D. ),1()1,(+∞--∞ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. （理科）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种.13.（文科）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为___________. 14．在ABC ∆中, O 为BC 中点,若1=AB ,3AC =,与的夹角为3π，则OA =________.15. 已知一个正三棱锥ABC P -的正视图如图所示，若23==BC AC ， 6=PC ，则此正三棱锥的表面积为________．16. 函数{}()min ,2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅最大值为________.三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （理科）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A C D B ---，乙线路是 A E F G H B -----，其中CD 段、EF 段、GH 段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.（表1）经调查发现，堵车概率x 在2(,1)3上变化，y 在1(0,)2上变化. 在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据. （1）求CD 段平均堵车时间a 的值;（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.17．(文科)为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考体育专业学生的总人数n ；（2）已知a A ,是该校报考体育专业的两名学生，A 的体重小于55千克，a 的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A 不在训练组且a 在训练组的概率．18．设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， 245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．AC19.（ 理科）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=(1)求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）设1C E C C λ=(01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为6π，试求λ的值. 19.（文科）如图，三角形ABC 中，AB BC AC 22==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． （1）求证：GF ∥底面ABC ； （2）求几何体ADEBC 的体积．20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，21,F F 为左右焦点，12||2F F =，椭圆上一动点P ，左顶点为A ,且21cos PF F ∠的最小值为21.（1）椭圆C 的方程；（2）直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于不同的两点N M ,(均不是长轴的的顶点)，MN AH ⊥,垂足为H ，且⋅=2,直线l 是否过定点，如果过定点求出定点坐标，不过说明理由.21．（理科）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（1）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点B A ,满足OB OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（2）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点21,x x ，求)()(21x g x g +的取值范围．21．(文科)已知函数1()ln xf x x ax-=+，其中0a >．（1）若函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增，求a 的取值范围；（2）02a <≤时，求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值； （3）求证：对于任意的,n N n *∈且＞1时，都有ln n ＞11123n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+成立．22.（极坐标与参数方程）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为0cos 2=-θρ，曲线2C 的参数为为参数）t ty tx (3333⎪⎩⎪⎨⎧-==. （1）求曲线1C 的参数方程；（2）射线3:πθ=OM 与曲线1C 的交点为P O ,,与曲线2C 交于点Q ,求线段PQ 的长.23.（不等式选修）设函数|6||4|)(-+-=x x x f . （1）解不等式5)(>x f ；（2）若存在实数x 满足1)(-≥ax x f ,求实数a 的取值范围.高三新课标第二轮复习测试卷数学（2）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B D A A CABC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（理科）36 、（文科）25 ； 14．213； 14．39 ； 15． 1 四、解答题：本大题共6个题，共75分．17.（理科）解: （1）863824240.5 1.5 2.5 3.5 4.53100100100100100a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）设走线路甲所花汽油费为ξ元，则500(1)(50060)50060E x x x ξ=-++=+设走乙路线多花的汽油费为η元，EF 段，GH 段堵车与否的相互独立的1111(0)(1)(1),(20)(1),(40)(1),(60)4444P y P y P y P y ηηηη∴==--==-==-==405E y η∴=+，走乙路线多花的汽油费的期望(545)55040E y η+=+5504050060y x -≥+，6450x y ∴--≤， 故2131026450x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪--≤⎪⎪⎩21151(1)(1)732264(=218(1)32P -⨯-⨯-⨯∴=-⨯走甲路段）. 17.(文科)解：（1）设该校报考体育专业的人数为n ，前三小组的频率分别为321,,P P P ，则由题意可知，⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)0125.00375.0(323211312P P P P P P P 解得375.0,25.0,125.0321===P P P ． 又因为nP 1225.02==，故48=n ． （2）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a ，b ，c ，则从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的结果为：（A ，a ，b ），（A ，a ，c ），（A ，b ，c ），（B ，a ，b ），（B ，a ，c ）， （B ，b ，c ），（C ，a ，b ），（C ，a ，c ），（C ，b ，c ），（D ，a ，b ），（D ，a ，c ）， （D ，b ，c ），（E ，a ，b ），（E ，a ，c ），（E ，b ，c ），（F ，a ，b ），（F ，a ，c ），（F ，b ，c ），共18种；其中A 不在训练组且a 在训练组的结果有：（B ，a ，b ），（B ，a ，c ），（C ，a ，b ），（C ，a ，c ），（D ，a ，b ），（D ，a ，c ），（E ，a ，b ），（E ，a ，c ），（F ，a ，b ），（F ，a ，c ），共10种，∴所求概率951810==P ． 18．解: 解：（1）由245S S =，,0>q 得 12,2-==n n a q又11)1(11212+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==---n n b b b n T b n T n n n n nn （)1>n ， 则得)1(23142132111232211+=⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以)1(2+=n n b n ，当1=n 时也满足．（2）12-=n n S ，所以)12(2λ-+=n C nn ，使数列{}n C 是单调递减数列， 则0)1224(21<-+-+=-+λn n C C nn n 对*∈N n 都成立， 即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ，nn n n n n n 232)2)(1(21224++=++=+-+， 当1=n 或2时，,31)1224(max =+-+n n 所以31>λ． 19.（理科）解：（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥, 在1BCC ∆中, 1111,2,,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥,而1,BCAB B C B =⊥∴平面ABC .（2）由（1）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则1(0,0,0),(0,1,0),(1B A B -，(1,0,0)C,1C .所以1(1CC =-,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则1(1,1,3),(1,1AE AB λλ=--=--.设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则由1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,得100nAE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1-)0x y z x y λ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩（，令3z =，则333333,,(,,3)2222x y n λλλλλλ--==∴=----是平面1AB E 的一个法向量.AB ⊥侧面11BB C C ,(0,1,0)BA =是平面1BEB 的一个法向量，cos ,n BA n BA n BA⋅〈〉===∴两边平方并化简得22-5+3=0λλ， 所以λ=1或32λ=（舍去）.19.（文科）解：（1）解：取BE 的中点H ，连结GH HF ,，因为F G ,分别是EC 和BD 的中点，所以BC HG //，DE HF //， 又因为ADEB 为正方形， 所以AB DE //，从而AB HF //， 所以//HF 平面ABC ，//HG 平面ABC ，H HG HF = ， 所以平面HGF //平面ABC ，所以GF //平面ABC .(2) 取BA 的中点N ,连结CN ，因为BC AC =，所以AB CN ⊥， 又平面ABED ⊥平面ABC ，CN 平面ABC ，所以CN ⊥平面ABED .因为三角形ABC 是等腰直角三角形，所以2121==AB CN ， 因为ABED C -是四棱锥，所以ABED C V -=6131=⋅CN S ABED .20解:(1)2222212121212122121212()4()41cos 11()2222PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF +-+-+-∠==-≥-=+ 4211244222=⇒=--∴a aa ，32=b ，故椭圆C 的方程为13422=+y x . （2）设1122(,),(,)M x y N x y222221(34)8412043x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩2221212228412034,,,3434km m k m x x x x k k --∆>⇒+>+==++⋅=2，MN AH ⊥ AM AN ⇒⊥ 1212221212(2)(2)041670()()x x y y k km m y y kx m kx m +++=⎧⇒⇒-+=⎨=++⎩解得2m k =或27m k =当2m k =直线l 过点A （舍去），当27m k =时，直线2:7l y kx k =+，过定点2(,0)7- 21．（理科）解：（1）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴1(0,)ln 2a ∈． （2）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ．要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，且⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ．∴20<<a ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x x x x q ，)2,0(∈x ，∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减，∴ 442ln 2<+-<a aa ．故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．21.(文科)解：()()21'0ax f x x ax -=>（1）由题设，得()'0f x ≥对[)1,x ∈+∞恒成立，即1a x≥对[)1,x ∈+∞恒成立∵[)1,x ∈+∞时，11x≤，∴1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞（2）当21a ≥≥时，由（I ）知，()'0f x >对()1,2x ∈恒成立，此时()f x 在[]1,2上为增函数，∴()()min 10f x f ==⎡⎤⎣⎦；当102a <≤时，()'0f x <对()1.2x ∈恒成立，此时()f x 在[]1,2上为减函数 ∴()()min12ln 22f x f a==-⎡⎤⎣⎦ 当112a <<时，令()'0f x =，得1x a=()1,2∈ 若1(1,)x a∈，则()'0f x <；若1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0f x >，∴()min 111ln 1f x f a a a ⎛⎫==+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. （3）由（I ）知函数()11ln f x x x =-+在[)1,+∞上为增函数 当1n >时，∵11n n >-，∴()11n f f n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即()1ln ln 1n n n -->对*n N ∈，且1n >恒成立∴()()()[][]ln ln ln 1ln 1ln 2ln 3ln 2ln 2ln1n n n n n =--+---++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 1111132n n >++++-L . 22.解：（1）0cos 2=-θρ ，0cos 22=-∴θρρ,0222=-+∴x y x ,1)1(22=+-∴y x 曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x 为参数）θ( （2）⎪⎩⎪⎨⎧==-+xy x y x 30222 02322=-+∴x x x )2321(P ∴ 为参数）t t y t x (3333⎪⎩⎪⎨⎧-==，333+-=∴x y ，⎪⎩⎪⎨⎧+-==3333x y x y ，)233,23(Q ∴ 2)23233()2123(22=-+-=PQ 23.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-=61026424210)(x x x x x x f )(x f y =与5=y 图像交点的横坐标为21525和，∴}25215|{<>x x x 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-=61026424210)(x x x x x x f 直线1-=ax y 恒过点)1,0(-，如图点)2,6(A ,当且仅当函数)(x f y =与直线1-=ax y 有公共点时满足要求，由图像可得),21[)2,(+∞--∞∈ a。
2015届江西省南昌市三校联考高三试卷数学(理)
2015届江西省南昌市三校联考高三试卷数学（理）（南昌一中、南昌十中、南铁一中）考试时间 ：120分钟 试卷总分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0，N ＝{x ||x |≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．A ．[－1,1]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1) 2. 下列判断正确的是( )．A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“任意的x ∈N ，x 3＞x 2”的否定是“存在x ∈N ，x 3＜x 2”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件3．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( )． A ．－53 B ．－23 C ．－13 D ．±234．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )．A.33B ．－33 C.539D ．－695. 已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、6.已知曲线0)C y x =≤≤：与函数()log ()a f x x =-及函数()(1)x g x a a -=>其中的图像分别交于1122(,),(,)A x y B x y ，则2212x x +的值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．27.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅(),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则, , a b c 大小关系（ ） A ． a b c >> B ． c a b >> C ． a c b >> D ． c b a >> 8.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只要将)(x f 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度9.已知函数)(x f 满足:①定义域为R ; ②R x ∈∀,有)(2)2(x f x f =+;③当]1,1[-∈x 时,x x f 2cos )(π=,则方程||log )(4x x f =在区间[-10,10]内的解个数是（ ）A ．20B ．10C ．11D ．1210.如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质： “对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意)()1()(])1([],1,0[2121x f x f x x f λλλλλ-+≤-+∈恒成立”的只有 （ ）A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知0>a ，若3)22(0=-⎰dx x a，则=a12. ︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝13.已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52xf f x =；③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = . 14. 设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈,0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f .已知当]1,0[∈x 时,有242)(--=x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛62013f 的值为________.15.函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________ ①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ;④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f x a三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．17. （本小题满分12分）设2()6cos 2f x x x =.(1)求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合;(2)若锐角α满足()3f α=-,求4tan 5α的值.18. （本小题满分12分）定义在R 上的单调函数()x f 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+． (1)求证()x f 为奇函数；(2)若()3(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本小题满分12分） 已知函数73()sin cos ,44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02παβ<<≤，求证：[]2()20f β-=.20. （本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x b =-+（,a b 均为正常数），设函数()f x 在3x π=处有极值.（1）若对任意的[0,]2x π∈，不等式()sin cos f x x x >+总成立，求实数b 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间121(,)33m m ππ--上单调递增，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分14分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ , 27()28g x x bx =-+.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当1a <时，求函数()f x 的单调区间； （3）当14a =时，函数()f x 在(0,2]上的最大值为M ，若存在[1,2]x ∈，使得()g x M ≥成立，求实数b 的取值范围.南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高三试卷数 学（理）答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 二、填空题（每小题5分,共25分）11．3 12．2 13． 321,21 14 15． ①③④ 三、解答题16. (12分) 解：由p ：－2≤1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0＜m ≤3. ∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．17. (12分) 解: (1)1cos 2()622xf x x +=⨯3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故()f x 的最大值为3+;此时Z k k x k x ∈-==+,12,262ππππ最小正周期22T π==π(2)由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 又由02απ<<得2666απππ<+<π+,故26απ+=π,解得512α=π从而4tan tan 53απ==18. (12分) (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x ，y ∈R )， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数． 解：(2)()23log 3f =＞0，即f(3)＞f(0)，又()x f 在R 上是单调函数，所以()x f 在R 上是增函数又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， ∴ k ·3＜-3+9+2，32x-(1+k)·3+2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0 对任意t ＞0恒成立．R 恒成立．19. (12分) 解(1）∵()sin cos cos sin f x x x x x ⎛⎛=⋅+⋅+ ⎝⎝)sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是2π，当()242x k k πππ-=-∈Z ，即()24x k k ππ=-∈Z 时，函数取得最小值-2.（2）02παβ<<≤，02πβα∴>->，0πβα>+>()4cos ,5βα-=()3sin 5βα∴-=.()4cos ,5βα+=-()3sin 5βα∴+=()()sin 2sin βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+--+-344305555⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222sin 24sin 244f ππβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=--⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦21cos 222sin 202πββ⎡⎤⎛⎫=---=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以，结论成立20. (13分) 解∵()sin f x a x x b =-+，∴'()cos 1f x a x =-， 由题意，得'()03f π=，cos103a π-=，解得2a =.（1） 不等式()sin cos f x x x >+等价于cos sin b x x x >+-对于一切[0,]2x π∈恒成立.21. (14分) 解（1）当0a =时，()ln f x x x =-+ 1'()1f x x =-+'(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1y =-（2）21(1)1(1)(1)'()(1)(0)ax a x ax x f x ax a x x x x-++--=-++==>① 当0a =时， 解1'()0x f x x -=->，得1x <，解1'()0x f x x-=-<，得1x >所以函数()f x 的递增区间为)1,0(，递减区间为在()1,+∞0a ≠时，令'()0f x =得1x =或1x a=i ）当01a <<时，11a > 函数()f x 的递增区间为)1,0(，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1(1,)a ii ）当0a <时，1a< 在()0,1上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <函数()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为(1,)+∞ （3）由（2）知，当14a =时，()f x 在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数，所以9(1)8M f ==-， 存在[1,2]x ∈，使9()8g x ≥-即存在[1,2]x ∈，使279288x bx -+≥-，方法一：只需函数()g x 在[1，2]上的最大值大于等于98- 所以有9(1)89(2)8g g ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ 即791288794488b b ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩解得：32b ≤ 方法二：将279288x bx -+≥-整理得12x b x ≤+3],[1,2]2x ∈∈从而有max 1322x b x ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以b 的取值范围是3(,]2-∞.。
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三数学10月联考试题 文
南昌市三校联考〔南昌一中、南昌十中、南铁一中〕高三试卷数学〔文科〕命题人：樊太水 学校：铁路一中 考试时间：150分钟 试卷总分：150分 一、选择题〔本大题共10个小题，每题5分，共50分〕 1．设集合{}{}21,log 0A x x B x x =>=>，如此A B 等于A ．{}x x 1>B ．{}x x 0>C ．{}x x 1<-D ．{}x x x 11<->或2．ABC ∆的角A B C ,,所对边分别为a b c ,,，向量p a c b =+(,),q b a c a =--(,),假设p q //,如此角C 的大小为A.π6B.π3C.π2D.π233．O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，如此OC →＝ A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB → C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB → 4． 等比数列{}n a 中，371,4a a ==，如此5a =A ．2-B ．2C ．2±D ．不能确定5．x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，如此实数a 的取值范围为( )A ．(3，2]B ．[3，2]C ．[－3，2]D ．(3，2)6．如果实数x ，y 满足430,35250,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为A ．12-B ．－2C ．15D ．27．等比数列{an}的首项为8，Sn 是其前n 项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，如此该数为 A ．S1 B ．S2 C ．S3 D ．S48．α为ABC ∆的一个内角，且sinα－cosα＝1313，如此tanα的值为：A ．32或23B ．32C ．34或43D ．439．假设f(x)为R 上的偶函数，g(x)＝f(x －1)为R 上的奇函数，且g(1)＝2，如此f(2014)的值为：A ．1B ．2C ．－1D ．－210．函数()2sin2f x xπ=与g(x)＝32x -的图像所有交点的横坐标之和为：A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题〔本大题共5个小题，每题5分，共25分〕11．不等式1x x <的解集是____________.12．点A(7,1)，B(1,4)，假设直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →， 如此实数a ＝__________．13. 化简：sin2x sin2y ＋cos2xcos2y －12cos2xcos2y ＝__________．14．函数f(x)＝12ax x ++在(2,)-+∞上单调递减，如此实数a 的取值范围是________．15．假设不等式1a ->11×2×3＋12×3×4＋…＋1nn ＋1n ＋2对一切n N +∈恒成立，如此实数a 的取值范围是___________．三、解答题〔本大题共6个小题，共75分〕16. (本小题总分为12分) 设不等式|21|1x -<的解集为M .〔I 〕求集合M ；〔II 〕假设a ，b ∈M ，试比拟1ab +与a b +的大小.17. (本小题总分为12分) 函数f(x)＝23sinxcosx ＋2cos2x －1(x ∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期与在区间[0，π2]上的值域；(2)假设f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．18.(本小题总分为12分) 函数f(x)＝ax2＋x －a ，a R ∈． (1)假设函数f(x)有最大值178，求实数a 的值； (2)当0a <时，解不等式f(x)>1．19.(本小题总分为12分) O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t1OA →＋t2AB →. (1)求证：当t1＝1时，A 、B 、M 三点共线；(2)假设t1＝a2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．20．(本小题总分为13分) 公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列．〔1〕求等比数列{}n a 的通项公式；〔2〕对n N +∈，在n a 与1n a+之间插入3n个数，使这32n+个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T．21.(本大题总分为14分) 函数()1(0,)xf x e ax a e 为自然对数的底数=-->. (1)求函数()f x 的最小值；(2)假设()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；(3)证明：+121()()()()(N )1n n n n n n en n n n n e 其中-++⋅⋅⋅++<∈-.一、选择题：ABABC DCBDD二、填空题：11. (1,0)(1,)-+∞； 12. (3,3)； 13. 12； 14. 1(,)2-∞； 15.35(,)(,).44-∞+∞三、解答题： 16. 解：(1){}|21|112110101.x x x M x x -<⇒-<-<⇒<<⇒=<<(2)1()(1)(1)01.ab a b a b ab a b +-+=-->⇒+>+17. 解：(1) f(x)＝23sinxcosx ＋2cos2x －12cos 2x x =+2sin(2).6x π=+(2)f(x0)65=03sin(2)65x π⇒+=，x0∈[π4，π2]022x ππ⇒≤≤0272366x πππ⇒≤+≤ 0sin(2)06x π⇒+>02236x πππ⇒≤+≤04cos(2)65x π⇒+=-00cos 2cos[(2)]66x x ππ⇒=+-001)sin(2)626x x ππ=+++=.18. 解：(1)20411748a a a<⎧⎪⎨--=⎪⎩12.8a ⇒=--或 (2) ax2＋x －a>12110(1)()0a ax x a a x x a +⇒>⇒-+>＋－－1(1)()0a x x a +⇒-+<当11a a +>-即12a <-时，1(,1);a x a +∈- 当11a a +<-即102a -<<时，1(1,);a x a +∈- 当11a a +=-即12a =-时，.x ∈∅19. 解：(1)OM →＝122212212(0,2)(4,4)(4,24)(4,24)t t t t t t M t t t +=+⇒+ 当t1＝1时，22(4,24)M t t +222(4,4),(4,4)AM t t AB AM t AB⇒==⇒=∴A 、B 、M 三点共线．(2) 假设t1＝a2，如此222(4,24)M t a t +222444(24)0OM AB t a t ⇒⋅=⨯++=2222404a t a t ⇒+=⇒=-22(,)M a a ⇒-，直线:20AB x y -+=21d ⇒=-221141122S a ⇒=⋅-=-= 2.a ⇒=±20．解：〔1〕因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，所以等比数列{}na 的通项公式为12n n a =；(2)()1333242n n n n n a a b ++=⋅=，()[()]133393221344212n n n T +-=⋅=--．21. 解：x x f x e ax f x e a =--⇒=-(1)()1'() f x x a f x x a >⇒><⇒<'()0ln ,'()0ln f x a a ⇒-∞↓+∞↑()(,ln ),(ln ,).在 f x f a a a a ⇒==--max ()(ln )ln 1.(2)由(1)知，须使a a a --≥ln 10，令g a a a a =--()ln 1g a a g a g a g g a =-⇒↑+∞↓⇒==⇒≤max '()ln ()(0,1),(1,)()(1)0()0在().g a a ∴=⇒=01(3)由(2)知()kx n kn k ke x e e n n --≥+⇒-<⇒-<111.。
南昌市三校联考(南昌一中、十中、新建二中)高三试卷(数学理)
南昌市三校联考（南昌一中、十中、新建二中）高三试卷数学（理）试卷及参考答案试卷总分：150分 考试时间：2007-11-16一、选择题（每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.）1、已知集合22{|2,},{|21,}M y y x bx x R N y y x bx x R ==++∈==-+∈,则有（D ）A ．M ⊆NB ．N ⊆ MC ．M N =∅D ．M N ≠∅2、已知函数223(1)()431(1)1x ax x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--<⎪-⎩在x =1处连续，则a =（ A ）A ．1B ．4C ．13D ．-123、下列判断错误．．的是（D ） A ．命题“p 且q ”的否命题是“p q ⌝⌝或”B ．命题p ：若M N M = 则N M ⊆，命题:5{2,3}q ∉，则命题“p 且q ”为真命题C ．集合A ＝{a,b,c }，集合B={0,1}，则从集合A 到集B 的不同映射个数有8个D ． 已知点(1,21)(3,23)PA a a PB a a =+-=--,则0<a <1是向量PA PB 与的夹角为钝角的必要非充分条件4、已知向量a b 与的夹角为120°，若向量,c a b c a =⊥ +且，则||||a b＝（ C ）A ．2 BC ．12 D5、设函数f (x )满足f (-x )-f (x )=0且x R ∈时都有f (x +3)=f (-x -2)已知f (1)=2，则f (2007)＝（ B ）A ．1B ．2C ．4D ．20076、同时具有以下性质：“①最小正周期是π，②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是（ C ） A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-7、已知数列{a n }为等差数列，其公差为(0,2)ββπ∈且，数列{sin a n }为等比数列，公比为q ，且1sin 0a ≠，则公差β与公比q 的值分别为（ B ）A ．,1πB ．,1π-C ．,12π- D ．,1π-8、已知数列{x n }满足122x x =，1121122n n n n x x x x ---+=+，n =3，4，5……若lim 2n x x →∞=则x 1=( B )A ．32B ．3C ．4D ．5 9、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，数列{a n }是公差为tanA 的等差数列，{b n }是公比为tanB 的等比数列。
南昌一中、南昌十中高三数学10月联考试题 理(含解析)
2012-2013学年江西省南昌一中、南昌十中高三（上）10月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•辽宁模拟）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．解答：解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．点评：本题考查集合的基本运算和关系，属于基础题．2．（5分）（2009•陕西）若tanα=2，则的值为（）A．0B．C．1D．考点：同角三角函数间的基本关系；弦切互化．分析：根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．解答：解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得，故选B．点评：本题主要考查tanα=，这种题型经常在考试中遇到．3．（5分）（2005•陕西）设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（）A．0≤x≤πB．≤x≤C．≤x≤D．≤x≤考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．分析：先对进行化简，即=|sinx﹣cosx|，再由=sinx ﹣cosx确定sinx＞cosx，从而确定x的范围，得到答案．解答：解：∵，∴sinx≥c osx．∵x∈[0，2π），∴．故选B．点评：本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系．属基础题．三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆．4．（5分）（2013•河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．x=π考点：二倍角的正弦；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数解析式最后一个因式中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的图象与性质即可得出函数y的对称轴方程，进而确定出正确的选项．解答：解：y=2sin（x+）cos（﹣x）=2sin（x+）cos[﹣（x+）]=2sin2（x+）=1﹣cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则k=1时，x=为函数的一个对称轴方程．故选A点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）（2010•天津）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象经怎样平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左移B．向左移C．向右移D．向右移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．解答：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+当k=0时，ρ=﹣故选C．点评：本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质﹣﹣对称性．7．（5分）已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣4考点：导数的运算．专题：计算题．分析：首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．解答：解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选D．点评：考查学生对于导数的运用，这里将f′（1）看成常数是很关键的一步．8．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．C．D．考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；综合题．分析：先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．解答：解：y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+﹣=（x﹣）2﹣定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大即y最大=（0﹣）2﹣=﹣=﹣4又值域为〔﹣，﹣4〕即当x=m时，函数最小且y最小=﹣即﹣≤（m﹣）2﹣≤﹣40≤（m﹣）2≤即m≥（1）即（m﹣）2≤m﹣≥﹣3且m﹣≤0≤m≤3 （2）所以：≤m≤3故选C．点评：本题考查函数的定义域值域的求法，是中档题．9．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012考点：函数的周期性；函数的值．专题：计算题．分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．解答：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选B．点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f （x）=log2（x+1），甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上所有根之和为﹣8．其中正确的是（）A．甲，乙，丁B．乙，丙C．甲，乙，丙D．甲，丁考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题；操作型；函数的性质及应用．分析：取x=1，得f（3）=﹣f（﹣3）=1；f（x﹣4）=f（﹣x），则f（x﹣2）=f（﹣x﹣2）；奇函数f（x），x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；若m∈（0，1），则关于x的方程f （x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣=﹣1，所以f（3）=﹣f（﹣3）=1，故甲的结论正确；定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f （x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故丙不正确；奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故丁正确故选D点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2011•陕西）设f（x）=，则f（f（﹣2））= ﹣2 ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题设条件先求出f（﹣2），再求f（f（﹣2））的值．解答：解：∵，∴f（f（﹣2））=f（）==﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．12．（5分）函数的单调减区间是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：已知函数，对f（x）进行求导，利用f′（x）＜0，求出函数的单调区间；解答：解：∵函数，∴f′（x）=3x2+3x，∴f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）；点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较单一，是一道基础题；13．（5分）（2012•绍兴一模）已知tanα，tanβ是方程的两根，α，β∈（﹣，）则α+β= ．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围解答：解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方14．（5分）已知函数f（x）=|a x﹣1|﹣2a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则a的取值范围是（0，）．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：由题意可得f（x）=|a x﹣1|﹣2a=0，即|a x﹣1|=2a．函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）与函数y=2a的图象有两个交点，无论当0＜a＜1时还是当a＞1时，而直线y=2a所过的点（0，2a）一定在点（0，1）的之间，由此求得实数a的取值范围．解答：解：设函数f（x）=|a x﹣1|﹣2a=0即|a x﹣1|=2a．函数f（x）=|a x﹣1|﹣2a（a＞0，且a≠1）有两个零点，即函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）与函数y=2a的图象有两个交点，由图象可知当0＜2a＜1时两函数时，一定有两个交点．所以实数a的取值范围是{a|0＜a＜}．故答案为：（0，）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．（5分）已知函数f （x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），如果f （1﹣a）+f （1﹣a2）＜0，则a的取值范围是1＜a＜．考点： 正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 专题：计算题． 分析：判定函数的单调性，奇偶性，然后通过f （1﹣a ）+f （1﹣a 2）＜0，推出a 的不等式，求解即可． 解答： 解：函数f （x ）=sinx+5x ，x ∈（﹣1，1），所以函数是增函数，奇函数，所以f （1﹣a ）+f （1﹣a 2）＜0，可得1﹣a 2＜a ﹣1， 解得1＜a ＜，故答案为：1＜a ＜． 点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质以及隐函数的基本性质，函数的单调性、奇偶性，以及不等式的解法，是易错题．三、解答题16．（12分）（2012•辽宁模拟）已知向量，，设函数，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）若，求函数f （x ）值域．考点： 正弦函数的定义域和值域；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法． 专题：计算题． 分析： （Ⅰ）利用向量的数量积公式，确定函数解析式，利用辅助角公式化简函数，从而可得函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据，确定，从而可得，进而可得函数f （x ）的值域． 解答：解：（Ⅰ）∵向量，，∴=．（4分）所以其最小正周期为．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，∴．（10分）所以函数f （x ）的值域为．（12分）点评： 本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，利用辅助角公式化简函数是解题的关键．17．（12分）（2011•惠州模拟）已知函数f （x ）=Asin （wx+φ），（A ＞0，w ＞0，|φ|＜，x ∈R ）的图象的一部分如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣6，]时，求函数y=f （x ）+f （x+2）的最大值与最小值及相应的x 的值．考点： 由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值． 专题： 计算题；综合题． 分析：（1）由图象直接求出A 和T ，可求w ，根据特殊点（﹣1，0）求出φ，即可求函数f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣6，]时，化简函数y=f （x ）+f （x+2）的表达式，化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）的形式，根据x 的范围求其最大值与最小值及相应的x 的值． 解答： 解：（1）由图象知A=2，T=8，∵T==8，∴w=．又∵图象经过点（﹣1，0）， ∴2sin（﹣+φ）=0． ∵|φ|＜，∴φ=， ∴f（x ）=2sin （x+）．（2）y=f （x ）+f （x+2）=2sin （x+）+2sin （x++）=2sin（x+）=2cos x，∵x∈[﹣6，]，∴﹣≤x≤．∴当x=0，即x=0时，y=f（x）+f（x+2）的最大值为2，当x=﹣π，即x=﹣4时，最小值为﹣2．点评：本题考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其解析式，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C满足（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将已知等式左边第一项第二个因式利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用诱导公式变形，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数即可；（Ⅱ）由B的度数，利用三角形的内角和定理求出A+C的度数，用A表示出C，代入sinA+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由这个角的范围求出正弦函数的值域，即可得出所求式子的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知2cosB[1+2cos（A+C）]+2cos2B﹣1=0，可化为：2cosB（1﹣cosB）+2cos2B﹣1=0，即2cosB﹣1=0，解得：cosB=，又B为三角形的内角，则B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）B=，得到A+C=，即C=﹣A，且0＜A＜，∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，则sinA+sinC的取值范围为（，]．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练公式是解本题的关键．19．（12分）（2005•安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x 的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣由于a＜0，舍去a=1．将a=﹣代入①得f（x）的解析式（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是点评：考查学生函数与方程的综合运用能力．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a=4时，若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数f′（x），当a＞2时在函数定义域内解不等式f′（x）＞0即可．（2）数形结合：当a=4时，用导数求出函数y=f（x）的极大值与极小值，画出草图，借助图象即可求得m的取值范围．解答：解：（1）由f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx可知，函数的定义域为{x|x＞0}，且因为a＞2，所以．当0＜x＜1或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为．（2）当a=4时，．所以，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增f（x）取极大值单调递减f（x）取极小值单调递增所以，．函数f（x）的图象大致如下：所以若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点，则m∈（4ln2﹣8，﹣5）．点评：本题考查了导数的综合应用，用导数求函数单调区间、求函数极值以及作图能力，数形结合思想在解决本题中提供了有力保障．21．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有．（1）解不等式；（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题．分析： （1）由f （x ）是奇函数和单调性的定义，可得f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，再利用定义的逆用求解；（2）先由（1）求得f （x ）的最大值，再转化为关于a 的不等式恒成立问题求解． 解答：解：（1）任取x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2，则∴f（x 2）＞f （x 1），∴f（x ）为增函数 ∵ ∴ ∴， 即不等式的解集为．（2）由于f （x ）为增函数，∴f（x ）的最大值为f （1）=1，∴f（x ）≤t 2﹣2at+1对x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，等价于t 2﹣2at+1≥1对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立，即t 2﹣2at≥0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立．把y=t 2﹣2at 看作a 的函数，由于a ∈[﹣1，1]知其图象是一条线段．∵t 2﹣2at≥0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立 ∴ ∴解得t≤﹣2或t=0或t≥2．点评：本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．。
江西省南昌市铁路一中2015届高三二轮复习数学(理)试题(解析版)
2015年江西省南昌市铁路一中高三二轮复习数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2015•南昌校级模拟）i是虚数单位，的共轭复数为（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：==i+1的共轭复数为1﹣i．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解析】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．【解析】：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．4．（5分）（2011•门头沟区一模）已知函数f（x）满足：①∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②∀x＞0，f（x）＞0，则（）A．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减B．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．f（x）是奇函数且单调递减D．f（x）是奇函数且单调递增【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：①先判断f（x）奇偶性，即找出f（﹣x）与f（x）之间的关系，令y=﹣x，有f （0）=f（x）+f（﹣x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；②再依据函数单调性的定义判断函数的单调性，任取x1＜x2，充分利用条件当x＞0时，有f （x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定f（x2）＞f（x1）从而得出其单调性．【解析】：解：显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．再令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．任取x1＜x2，x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞0∴f（x2）+f（﹣x1）＞0；对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，再取y=﹣x得f（x）+f（﹣x）=0即f（﹣x）=﹣f（x），∴有f（x2）﹣f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在R上递增．故选D．【点评】：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．5．（5分）（2009•临沂一模）使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣，0]上为减函数的θ值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】：计算题．【分析】：首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．【解析】：解：由已知得：f（x）=2sin（2x+θ+），由于函数为奇函数，故有θ+=kπ即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ=时，f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选D、故答案为：D【点评】：本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．6．（5分）（2015•贵阳一模）已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．【解析】：解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．7．（5分）（2015•南昌校级模拟）已知x1是方程10x=﹣x﹣2的解，x2是方程lgx=﹣x﹣2的解，函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（2）=f（0）＜f（3）C．f（3）＜f（0）=f（2）D．f（0）＜f（3）＜f（2）【考点】：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【分析】：设l：y=﹣x﹣2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，利用y=10x与y=lgx 互为反函数可得AB的中点在y=x上，从而可求得x1+x2的值，从而可知f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）的对称轴，再利用其单调性即可得到答案．【解析】：解：设直线l的方程为：y=﹣x﹣2，设l与y=10x，y=lgx分别相交于A，B两点，∵y=10x与y=lgx互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称，由题意得：点A（x1，﹣x1﹣2）与点B（x2，﹣x2﹣2）关于直线y=x对称，∴AB的中点在直线y=x上，∴=，即﹣x1﹣2﹣x2﹣2=x1+x2，∴x1+x2=﹣2，∴f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）=x2﹣（x1+x2）x+x1x2=x2+2x+x1x2，其对称轴方程为：x=﹣1，∴f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴f（0）＜f（2）＜f（3），故选A．【点评】：本题考查对数函数与指数函数的图象与性质，考查反函数的应用，考查二次函数的性质，属于难题．8．（5分）（2014•分宜县校级二模）已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解析】：解：构造函数g（x）=，则g′（x）==∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴f（﹣）＜f（﹣），故A正确．∵g（）＞g（），即＞，∴f（）＞f（），故B错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故C错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（）．故D错误．故选：A．【点评】：本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．9．（5分）（2015•南昌校级模拟）已知f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，则f（B）的取值范围（）A．（﹣1，] B．（﹣，] C．（﹣，1] D．（﹣，]【考点】：余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由已知及正弦定理可解得cosB，可得0＜B≤，即有﹣＜2B﹣，由三角函数的恒等变化化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（B）的值．【解析】：解：∵由于f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），又2bcosA≤2c﹣a，则由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB ﹣sinA，则可解得：cosB，由B为三角形的内角，则解得：0＜B≤，可得：﹣＜2B﹣，故f（B）=sin（2B﹣）∈（﹣，1]．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的周期性和单调性，考查解三角形的正弦定理，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•南昌校级模拟）如图，在棱长为1正四面体S﹣ABC，O是四面体的中心，平面PQR∥平面ABC，设SP=x（0≤x≤1），三棱锥O﹣PQR的体积为V=f（x），其导函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据棱锥的体积公式，分别设底面PQR距点0的高为h，底面PQR的面积为s，分别观察s，h的变化，得到体积的变化．【解析】：解：设O点到底面PQR距点0的高为h，底面PQR的面积为s，∴三棱锥O﹣PQR的体积为V=f（x）=sh，当点P从S到A的过程为底面积S一直再增大，高先减少再增大，当底面经过点O时，高为0，∴体积先增大，后减少，再增大，故选：C【点评】：本题考查了函数的图象和识别，关键掌握各变量的变化趋势，属于基础题．11．（5分）（2015•南昌校级模拟）定义在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时，取得极小值，若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】：利用导数研究函数的极值；简单线性规划的应用．【专题】：导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解析】：解∵f（x）=x3+ax2+2bx+c，∴f′（x）=x2+ax+2b，∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在aOb坐标系中画出其表示的区域（不包括边界），如图：若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，可知a+b﹣3＞t（a﹣1）恒成立，由可行域可知a＜0，可得t＞=1+它的几何意义是表示点P（1，2）与可行域内的点A连线的斜率加1，当A（x，y）位于M（﹣1，0）时，最小，最小值为1；则最小值为1+1=2，∴的取值范围[2，+∞），故选：B．【点评】：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．12．（5分）（2015•黑龙江模拟）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】：正弦函数的定义域和值域．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解析】：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【考点】：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．【专题】：排列组合．【分析】：分3步进行【分析】：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．【解析】：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．【点评】：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（2015•南昌校级模拟）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：利用系统抽样的性质求解．【解析】：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．【点评】：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．15．（5分）（2015•南昌校级模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，＜，＞=60°，则=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，利用向量的中点坐标公式表示出向量，求模长即可．【解析】：解：如图所示，根据题意，O为BC中点，∴=（+），=（+2•+）=（12+2×1×3×cos60°+32）=；∴||=．故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用中点表示出向量，是基础题．16．（5分）（2015•南昌校级模拟）已知一个正三棱锥P﹣ABC的正视图如图所示，若AC=BC=，PC=，则此正三棱锥的表面积为9．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：求正三棱锥的表面积即求三个侧面面积与底面面积的和，故求解本题需要求出底面三角形的边长，侧面上的斜高，然后求解表面积．【解析】：解：由题设条件及主视图知底面三角形的边长是3，顶点到底面的距离是，故底面三角形各边上的高为3×=，令顶点P在底面上的投影为M，由正三棱锥的结构特征知M到三角形各边中点的距离是底面三角形高的，计算得其值为，故斜高为=，故此正三棱锥的表面积为：=9．故答案为：9．【点评】：本题考查由三视图求面积与体积，三视图的作图规则是主视图与俯视图长对正，主视图与侧视图高平齐，侧视图与俯视图是宽相等，本题是考查利用三视图的作图规则把三视图中的数据还原到原始图形中来，求面积与体积，做题时要注意正确利用三视图中所提供的信息．17．（5分）（2015•南昌校级模拟）函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1•x2•x3最大值为1．【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，通过解方程可用m把x1，x2，x3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x1•x2•x3的最大值．【解析】：解：作出函数f（x）的图象如图所示：由，解得A（4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2．不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x 1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，且2﹣m＞0，m+2＞0，∴x1•x2•x3=•（2﹣m）•（2+m）=•m2•（4﹣m2）≤==1，当且仅当m2=4﹣m2．即m=时取得等号，∴x1•x2•x3存在最大值为1．故答案为：1．【点评】：本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D ﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段EF段GH段堵车概率x y平均堵车时间（单位：小时）a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．【考点】：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．【解析】：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=【点评】：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．19．（2013•太原一模）为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1，建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于频数÷频率进行求解即可；（II）根据古典概型的计算公式，先求从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的所有可能情形，再求符合要求的可能情形，根据公式计算即可．【解析】：解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因为p2=0.25=，故n=48．（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a，b，c，则从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的结果为：（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（C，a，b），（C，a，c），（C，b，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（F，a，b），（F，a，c），（F，b，c），共18种；其中A不在训练组且a在训练组的结果有：（B，a，b），（B，a，c），（C，a，b），（C，a，c），（D，a，b），（D，a，c），（E，a，b），（E，a，c），（F，a，b），（F，a，c），共10种，∴所求概率P==．【点评】：本题主要考查了频率分布直方图，以及列举法计算基本事件数及事件发生的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．20．（12分）（2013•宁波二模）设公比大于零的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S4=5S2，数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设C n=（S n+1）（nb n﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】：等差数列与等比数列的综合．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）利用a1=1，S4=5S2，求出数列的公比，即可求数列{a n}的通项公式；通过，推出，利用累积法求解{b n}的通项公式．（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，化简C n=（S n+1）（nb n﹣λ），推出C n+1﹣C n，利于基本不等式求出数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解析】：（本题满分14分）解：（Ⅰ）由S4=5S2，q＞0，得…（3分）又（n＞1），则得所以，当n=1时也满足．…（7分）（Ⅱ）因为，所以，使数列{C n}是单调递减数列，则对n∈N*都成立，…（10分）即，…（12分），当n=1或2时，，所以．…（14分）【点评】：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，累积法的应用以及数列的函数的特征的应用，考查计算能力．21．（12分）（2014•保定一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间角．【分析】：（1）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．【解析】：（1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：B=BC2+C﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，…3 分∴BC2+B=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（5分）（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则，．…（7分）∴，∴，∴，则．设平面AB1E的法向量为，则，∴，令，则，∴．…（10分）∵AB⊥侧面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，∴|cos＜＞|=||=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，∴λ=1或（舍去）．…（12分）∴λ的值是1．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（2014•嘉峪关校级一模）如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【考点】：直线与平面平行的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（1）证法一：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如取BE的中点H，连接HF、GH，根据中位线定理易证得：平面HGF∥平面ABC，进一步可得：GF∥平面ABC．证法二：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现．证法三：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法．（2）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下．由第一问可知：GF∥平面ABC，而平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC；又由勾股定理可以证明：AC⊥BC．（3）解决棱锥、棱柱求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解；根据平面与平面垂直的性质定理可知：CN⊥平面ABED，而ABED是边长为1的正方形，进一步即可以求得体积．【解析】：解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C﹣ABED==（14分）【点评】：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．23．（12分）（2015•南昌校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2为左右焦点，|F1F2|=2，椭圆上一动点P，左顶点为A，且cos∠F1PF2的最小值为．（1）椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN，垂足为H，且=•，直线l是否过定点，如果过定点求出定点坐标，不过说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）利用余弦定理结合基本不等式求出cos∠F1PF2的最小值．通过椭圆的定义求出a，b，然后求解椭圆的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合=•，推出AH⊥MN，然后求出m与k的关系，利用直线系求出直线恒过的定点．【解析】：解：（1）因为P是椭圆上的点，所以|PF1|+|PF2|=2a，在△F1PF2中，有余弦定理可得：，当且仅当PF1=PF2时取等号，∴，|F1F2|=2，可得c=2，∴b2=3，故椭圆C的方程为．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，即，∴∵直线与椭圆有两个交点∴△＞0⇒3+4k2＞m2，∵，∴AH⊥MN⇒AM⊥AN解得m=2k或当m=2k直线l过点A（舍去），当时，直线，过定点．【点评】：本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．24．（12分）（2014•嘉兴二模）已知a∈R，函数m（x）=x2，n（x）=aln（x+2）．（Ⅰ）令f（x）=，若函数f（x）的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求a的取值集合；（Ⅱ）若函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2，求g（x1）+g（x2）的取值范围．【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系；利用导数研究函数的极值．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）不妨设A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2），利用OA⊥OB，再分离参数，即可求a的取值集合；（Ⅱ）函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2，g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在两个不等的实根，可得0＜a＜2，x1+x2=﹣2，x1x2=，表示出g（x1）+g（x2），确定其单调性，即可求g（x1）+g（x2）的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2）（t＞0）∴OA⊥OB，∴﹣t2+at2ln（t+2）=0，∴a=，∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），∴a的取值集合为（0，）；（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x2+aln（x+2），∴g′（x）=，∵函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x1、x2，∴g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在两个不等的实根，令p（x）=2x2+4x+a，∴△=16﹣8a＞0且p（﹣2）＞0，∴0＜a＜2，∵x1+x2=﹣2，x1x2=，∴g（x1）+g（x2）=x12+aln（x1+2）+x22+aln（x2+2）=（x1+x2）2﹣2x1x2+aln[x1x2+2（x1+x2）+4]=aln﹣a+4令q（x）=xln﹣x+4，x∈（0，2），∴q′（x）=ln＜0，∴q（x）在（0，2）上单调递减，∴2＜aln﹣a+4＜4∴g（x1）+g（x2）的取值范围是（2，4）．【点评】：本题考查导数知识的运用，考查韦达定理，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题．25．（2015•南昌校级模拟）已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（2）0＜a≤2时，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）求证：对于任意的n∈N*时，都有lnn＞++…+成立．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】：求导，（1）由题意得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，再转化为最值问题即可，（2）结合（1）及导数，根据导数的正负性分2≥a≥1，，三种情况讨论函数的单调性，从而求函数的最小值；（3）由函数可证明对n∈N*，且n＞1恒成立，再写lnn=[lnn﹣ln（n ﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]，从而证明．【解析】：解：，（1）由题意得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即对x∈[1，+∞）恒成立；∵x∈[1，+∞）时，，∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；（2）当2≥a≥1时，由（1）知，f′（x）＞0对x∈（1，2）恒成立，此时f（x）在[1，2]上为增函数，∴[f（x）]min=f（1）=0；当时，f′（x）＜0对x∈（1.2）恒成立，此时f（x）在[1，2]上为减函数，∴；当时，令f′（x）=0，得∈（1，2），若，则f′（x）＜0；若，则f′（x）＞0，∴．（3）由（1）知函数在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，∵，∴，即对n∈N*，且n＞1恒成立，∴lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想及数学证明，属于难题．【极坐标与参数方程】26．（10分）（2015•南昌校级模拟）以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0，曲线C2的参数为（t为参数）．（1）求曲线C1的参数方程；（2）射线OM：θ=与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2交于点Q，求线段PQ的长．【考点】：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（1）利用极坐标方程求出普通方程，然后利用三角代换求出曲线C1的参数方程．（2）求出射线OM的方程，通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解析】：解：（1）∵ρ﹣2cosθ=0，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，∴x2+y2﹣2x=0，∴（x﹣1）2+y2=1 曲线C1的参数方程为（θ为参数）（2）射线OM：θ=可得普通方程为：y=（x≥0）．，∴3x2+x2﹣2x=0∴，由，∴，，∴，．。
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江西省南昌市三校（南昌一中，南昌十中，南铁一中）2015届高三10月联考数学（理）试题试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：南铁一中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确选项的代号填入答题卷的相应表格内。
1.已知函数y A ，集合B ＝{x ||x －3|＜a , a ＞0}，若A ∩B 中的最小元素为2，则实数a 的取值范围是：A ．(0, 4]B ．(0, 4)C ．(1, 4]D ．(1, 4)2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (ac ≠0)，若f (x )＜0的解集为(－1, m )，则下列说法正确的是：A . f (m －1)＜0B . f (m －1)＞0C .f (m －1)必与m 同号D . f (m －1)必与m 异号3.函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为：A ．4πB . 2πC ．πD ．2π4. 若将函数y ＝2sin(x ＋4π)的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移4π个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：A ．x ＝－8πB ．x ＝－4πC ．x ＝8πD ．x ＝4π5.已知sin(α－2π)＝2sin(32π＋α)，且α≠kπ＋π(k ∈Z )，则23sin sin23cos2ααα-+的值为 A ．23 B ．32 C ．34 D ．436.已知a ＝，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120º得到向量b ，则b 的坐标为：A ．(0, 4)B ．(2－2) C ．(－ D ．(2, －23)7.已知a ,b 是不共线的向量，若AB ＝λa ＋b ,AC ＝a ＋μb (λ,μ∈R )，则A , B , C 三点共线的充要条件是：A ．λ＋μ＝1B ．λ－μ＝1C ．λμ＝1D ．λμ＝－18.已知△ABC 的三内角A , B , C 所对边的长依次为a ,b ,c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若a MA ＋b MB ＋c MC ＝0，则M 是△ABC 的A ．内心B ．重心C ．垂心D ．外心9. 若函数F (x )= f (x )＋x 2为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，若 f (1) =1，则g (－1)的值为：A ．1B ．－1C ．2D ．－210.若函数f (x )＝1(e λx ＋e －λx ) (λ∈R )，当参数λ的取值分别为λ1与λ2时，其在区间[0,＋∞)上的图像分别为图中曲线C 1与C 2，则下列关系式正确的是：A ． λ1＜λ2B ． λ1＞λ2C ．|λ1|＜|λ2|D ．|λ1|＞|λ2|二、填空题：每小题5分,共25分。
11.若α的终边不与坐标轴重合,且tan α ≠ ±1，则[]225722sin (2)cos (2015)tan(2)()sin()cos()k k k Z πππαπααπαα--+-∈-+-+＝_____。
12.设向量a (x )＝(cos x ，sin x )，0≤x ≤π，则函数f (x )＝2a (2x )·a (6π)的值域为__________。
13.若函数f (x )＝3|cos x |－cos x ＋m , x ∈(0, 2π)，有两个互异零点，则实数m 的取值范围是_________。
14. 若等腰△ABC 底边BC 上的中线长为1，底角B ＞60º，则BA ·AC 的取值范围是______。
15.已知△ABC 内部的一点O ，恰使OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积之比为________________。
(结果须化为最简)三、解答题：共6小题，共 75分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）（Ⅰ）求sin 4020cos10οοο的值。
（Ⅱ）已知6 sin 2x ＋sin x cos x －2cos 2x ＝0，π＜x ＜3π，试求sin2x －cos2x ＋tan2x 的值。
17.（12分）若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜2π)，满足f (x ＋3π)＝f (x －3π)，且部分图像如右图所示。
（Ⅰ）求f (x )解析式； （Ⅱ）若α∈(π, 2π)，且f (312απ+)＋f (312απ-)＝－1，求cos α的值。
18. （12分）已知△ABC 的三内角A , B , C 所对边的长依次为a ,b ,c ，若cos A ＝34,cos C ＝18。
（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若|AC ＋BC |BC 边上中线的长。
19.（12分）若1e ,2e ,3e 为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足1e ＋2e ＋3e ＝0，且向量a ＝x 1e ＋2n x e ＋(x ＋n x )3e (x ∈R ，x ≠0，n ∈N ＋)。
（Ⅰ）求1e 与2e 所成角的大小； （Ⅱ）记f (x )＝|a |，试求f (x )的单调区间及最小值。
20.（13分）已知函数f (x )＝x 2·ln |x | (x ≠0)。
(Ⅰ)求f (x )的最值； (Ⅱ)若关于x 的方程f (x )＝kx －1无实数解，求实数k 的取值范围。
21.（14分）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60º, M 为AB 边上不与端点重合的动点，且CM 与DA 分别延长后交于点N ,若以菱形的对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并设BM ＝2t (0＜t ＜1)。
（Ⅰ）试用t 表示DM 与BN ,并求它们所成角的大小； （Ⅱ）设f (t )＝DM ·BN ，g (t )＝at ＋4－2a (a ＞0)，分别 根据以下条件，求出实数a 的取值范围：① 存在t 1,t 2∈(0,1)，使得12()f t ＝g (t 2)；② 对任意t 1∈(0,1)，恒存在t 2∈(0,1)，使得12()f t ＝g (t 2)。
南昌一中、南昌十中、南铁一中三校高三联考·理科数学参考答案一、选择题：CDBAD BCABD 。
二、填空题：11．－2； 12．[1, 2]； 13．－4＜m ≤－2或m ＝0； 14．(－1,－23)； 15．3∶2∶1。
三、解答题：16. 【解】( I )∵sin40ºº＝sin(30º＋º－10º)＝＝ (12cos10sin10º)cos10º＋12sin10º)＝－cos10º。
∴原式＝－1。
( II ) 依题设：6tan 2x ＋tan x －2＝0 ⇒ (3tan x ＋2)(2tan x －1)＝0，又π＜x ＜32π⇒tan x ＝12。
不妨设x 的终边过点(－2,－1) ⇒ sin x，cos x ，⇒ sin2x ＝45，cos2x ＝35，tan2x ＝43。
故原式＝45－35＋43＝2315。
17. 【解】( I )依题设知：f (x ＋23π)＝f (x )，⇒ f (x )的周期T ＝23π，⇒ω＝3。
故f (x )＝sin(3x ＋φ)－cos(3x ＋φ)x ＋φ－4π)。
又点(π,0)在其图像上，⇒sin φ＝0，又0＜φ＜2π，⇒φ＝π，⇒ f (x )x －π)为所求。
( II )依题设及( I )知：f (312απ+)＋f (312απ-)αα－2π)＝－1。
整理得：αα＝1 ⇒ sin(α－π)＝1。
又依题设：α∈(π, 2π)，⇒α－4π＝56π⇒α＝56π＋4π。
故cos α＝cos(56π＋4π)为所求。
18.【解】( I )依题设：sin A ，sin C ，故cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos (A ＋C )＝－(cos A cos C ＋sin A sin C )＝－(332－2132)＝916。
( II ) 由( I )知：sin B 4a ＝5b ＝6c ，不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0。
故知：|AC |＝b ＝5k ，|BC |＝a ＝4k 。
依题设知：|AC |2＋|BC |2＋2|AC ||BC |cos C ＝46 ⇒ 46k 2＝46，又k ＞0⇒k ＝1。
故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6。
若设BC 的中点为D ，由余弦定理得：AD 2＝62＋22－2×6×2cos B ＝40－2×6×2×916＝532。
故BC 边上的中线长为：。
【注】本小题还可通过求|AB ＋AC |来解答。
19.【解】( I ) 依题设：|1e |＝|2e |＝|3e |＝1，且1e ＋2e ＝－3e ⇒ (1e ＋2e )2＝(－3e )2,化简得： 1e ·2e ＝－12 ⇒ cos<1e ,2e >＝－12，又<1e ,2e >∈[0, π] ⇒ <e ,e >＝2π。
( II )由 ( I )易知：2e ·3e ＝3e ·1e ＝1e ·2e ＝－12，故由f (x )＝|a |＝2)](n n x x xe e x e +++，将其展开整理得： f (x )(x ∈R ，x ≠0，n ∈N ＋)。
①x ＞0时，对u (x )＝x 2＋(n x )2－n ，求导并整理得：u '(x )＝2232()()n n x x x +-。
则由u '(x )＞0⇒x且由u '(x )＜0⇒0＜x f (x )的增区间为＋∞)，减区间为(0, 。
②x ＜0时，因f (x )为偶函数，由图像的对称性知：f (x )的增区间为(，减区间为(－∞,。
综上：f (x )的增区间为 (0) 与 ＋∞)，f (x )的减区间为(－∞, 和 (0, 。
20. 【解】( I )∵f (x )为偶函数，∴我们先求其在(0,＋∞)内的最值。
求导得：f '(x )＝x (2ln x ＋1), 令f '(x )＝0 ⇒ 2ln x ＋1＝0 ⇒ x ＝e 12-，由此易知：x ∈(0, e 12-)时，f '(x )＜0 ⇒ f (x )单调递减；x ∈(e 12-,＋∞)时，f '(x )＞0 ⇒f (x )单调递增。
故f (x )在[0,＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (e 12-)＝－12e。