2017-2018学年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年江西省南昌市高考一模试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，3）C ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）2．各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．53．若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．04．半径为1的球被一平面截去部分得一个几何体，其三视图和尺寸如图所示，则球心到该截面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知区域D ：{（x ，y ）||y|≤|x|}，则（ ）A ．∀x 0＞0，（x 0，）∈DB ．∀x 0＞0，（x 0， x 0）∉DC ．∃x 0＞0，（x 0，）∈D D ．∃x 0＞0，（x 0， x 0）∉D6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.87．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=08．展开式中的常数项为（）A．20 B．10 C．5 D．19．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=（）A．B．C．1 D．210．我国古代数学名著《九章算术》中有：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除即三个面是等腰梯形、两侧面是三角形的五面梯形ABCDEF隧道（如图），其中，等腰梯形ABCD的下、上底边长分别为6尺和1丈，高为3尺，平面ABCD⊥平面ABFE，等腰梯形ABFE的上底边长为8尺，高为7尺，则得到此“羡除”的容积（）A．约84立方尺B．约为105立方尺C．恰为84立方尺D．恰为105立方尺11．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X～N（100，1）．现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm ）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X ～N （μ，σ2）有P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）=0.954，P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）=0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=，若存在k 使得函数f （x ）的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[1，]C ．（﹣1，] D ．（﹣1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设复数z=1+i ，则复数z+的虚部是 ．14．已知tan α=﹣，cos β=，β∈（0，），则tan （α+β）= ．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点A （，），且点A 到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率e= ．16．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=（n ∈N *），若b n+1=（n ﹣2λ）（+1）（n ∈N *），b 1=﹣λ且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．18．（12分）边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，M为AD上的点，AE=1，AM=．（Ⅰ）求证：EM⊥BD；（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值为，试确定点F在BC上的位置．19．（12分）经统计，2015年，某公路在部分界桩附近发生的交通事故次数如下表：把界桩公里数1001记为x=1，公里数1005记为x=5，…，数据绘成的散点图如图所示，以x 为解释变量、交通事故数y为预报变量，建立了两个不同的回归方程y（1）=29.9+50.2×和y （2）=33.9+125.9e﹣x表述x，y二者之间的关系．（Ⅰ）计算R2的值，判断这两个回归方程中哪个拟合效果更好？并解释更好的这个拟合所对R2的意义；（Ⅱ）若保险公司在每次交通事故中理赔60万元的概率为0.01，理赔2万元的概率为0.19，理赔0.2万元的概率为0.8，利用你得到的拟合效果更好的这一个回归方程，试预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费（理赔费精确到0.1万元）．附：对回归直线y=+x，有R2=1﹣．一些量的计算值：表中： =29.9+50.2×， =33.9+125.9e， =0.025，e﹣40≈0．20．（12分）如图，点A（2，0），直线l垂直y轴，垂足为点B，线段AB的垂直平分线与l 相交于点C，（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）若P为点C的轨迹上的一动点，Q为抛物线x2=y﹣4上的一动点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．21．（12分）设a 为实数，函数f （x ）=（x 2﹣a ）e 1﹣x ．（Ⅰ）当x ≥1时y=f （x ）存在斜率为2的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）时，是否存在实数λ，使x 2f （x 1）+a λ（e +1）≤0？请说明你的理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x+y=1+，圆C 2的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设直线C 1与圆C 2的交点为A ，B ，且A 为OM 的中点，求△OBM 的面积．【选修4-5：不等式选讲】 23．设f （x ）=|x+a|﹣|x+1|． （Ⅰ）求不等式f （a ）＞1的解集；（Ⅱ）当x ∈R 时，f （x ）≤2a （a ∈R ），求实数a 的取值范围．2017-2018学年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，3） C ．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D ．（﹣1，3）【考点】1E ：交集及其运算．【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+1）＜0， 解得：﹣1＜x ＜3，即B=（﹣1，3）， ∵A=（0，+∞）， ∴A ∩B=（0，3）， 故选：B ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．5【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解． 【解答】解：各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，===5．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的公差和通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3．若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（ ）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D【点评】本题考查向量垂直的充要条件|考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律．4．半径为1的球被一平面截去部分得一个几何体，其三视图和尺寸如图所示，则球心到该截面的距离为（）A．B．C． D．1【考点】LR：球内接多面体．【分析】由已知三视图可得，截面的直径为，进而可得球心到该截面的距离．【解答】解：由已知三视图可得，截面的直径为=，故截面半径r=，又由球半径R=1，故球心到该截面的距离d==，故选：C【点评】本题考查的知识点是球的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．5．已知区域D ：{（x ，y ）||y|≤|x|}，则（ ）A ．∀x 0＞0，（x 0，）∈DB ．∀x 0＞0，（x 0， x 0）∉DC ．∃x 0＞0，（x 0，）∈D D ．∃x 0＞0，（x 0， x 0）∉D 【考点】7B ：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】首先画出不等式表示的区域，关键区域特征，对选项选择． 【解答】解：由已知不等式表示的区域（x ＞0）如图：由题意，∃x 0＞0，（x 0，）∈D 正确； 故选C【点评】本题考查了平面区域的画法以及特称命题与全称命题；属于基础题．6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算并输出A值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 A n循环前 0.2 1第一圈是 0.4 2第二圈是 0.8 3第三圈是 0.6 4第四圈是 0.2 5第五圈是 0.4 6第六圈否故最终的输出结果为：0.4故选：B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可用筛选，由4x±3y=0得y=±x，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线y=±x距离为d==b，所以有：a+c=2b，取a=3，b=4，得4x±3y=0，整理得y=±x，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．展开式中的常数项为（）A．20 B．10 C．5 D．1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】变形（1+x+y）5=[1+（x+y）]5，按二项展开式求出xy项的系数，即可得出展开式中的常数项．【解答】解： ====…+2+…，∴展开式中的常数项为2=20．故选：A．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式与应用问题，是基础题．9．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=（）A．B．C．1 D．2【考点】67：定积分．【分析】由f（x）=x﹣f（x）dx，利用定积分的运算，求得f（x）dx=﹣f（x）dx，即可求得答案．【解答】解：由f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x﹣f（x）dx，则f（x）dx=（x﹣f（x）dx）dx=xdx﹣ [f（x）dx]dx=﹣f（x）dx，∴f（x）dx=﹣f（x）dx，则f（x）dx=，故选A．【点评】本题考查定积分的运算，考查定积分的运算性质，属于基础题．10．我国古代数学名著《九章算术》中有：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除即三个面是等腰梯形、两侧面是三角形的五面梯形ABCDEF隧道（如图），其中，等腰梯形ABCD的下、上底边长分别为6尺和1丈，高为3尺，平面ABCD⊥平面ABFE，等腰梯形ABFE的上底边长为8尺，高为7尺，则得到此“羡除”的容积（）A．约84立方尺B．约为105立方尺C．恰为84立方尺D．恰为105立方尺【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】五面体EF ﹣ABCD 中，四边形ADEF ，ABCD ，EFBC 均为等腰梯形，EF ∥AD ∥BC ，△ABF ，△CDE 均为直角三角形，连接BE ，BD ，AE ，得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF 的体积为V 1，三棱锥BAED 的体积为V 2，三棱锥BDEC 的体积为V 3，由此能求出五面体的体积． 【解答】解：本题是求规则形状的五面体的体积，如图，五面体EF ﹣ABCD 中，四边形ADEF ，ABCD ，EFBC 均为等腰梯形， EF ∥AD ∥BC ，△ABF ，△CDE 均为直角三角形，AB ⊥AF ，CD ⊥DE ，设下广EF=a ，上广AD=b ，末广BC=c ， 高EF 到平面ABCD 的距离为h ，AD 与BC 的距离为l ， 连接BE ，BD ，AE ，如图2，得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF 的体积为V 1，三棱锥BAED 的体积为V 2，三棱锥BDEC 的体积为V 3，则，，=，，∴=，∴五面体的体积：V=V 1+V 2+V 3=（a+b+c ）×h ×l=（6+10+8）×3×7=84（立方尺）． 故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题．11．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X～N（100，1）．现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X～N（μ，σ2）有P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.954，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（）A．B．C．D．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】10个螺栓的尺寸，只有103.2＞103，即可求出工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率．【解答】解：10个螺栓的尺寸，只有103.2＞103，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为=，故选B．【点评】本题考查正态分布，考查概率的计算，比较基础．12．已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．[，] B．[1，]C．（﹣1，] D．（﹣1，]【考点】34：函数的值域．（1﹣x）+1，由定义域可知，k≤1，其【分析】分段考查值域，当﹣1≤x＜k时，f（x）=log2值域f（x）∈[1，log（1﹣k）+1]，讨论其值域[0，2]，k的值，可得答案2（1﹣x）+1，由定义域可知，k≤1，其值域f（x）【解答】解：当﹣1≤x＜k时，f（x）=log2∈[1，log（1﹣k）+1]，2当k≤x≤a时，f（x）=x3﹣3x+2，f′（x）=3x2﹣3，当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣1，1）单调递减．当x=1时，取得极小值为0，当x=﹣1时，取得极大值为4．当x=0时，可得f（x）=2．∴k≥0，可得：1≥k≥0．∴a≥1；当x3﹣3x+2=2时，可得x=1或x=，f（x）在（1，+∞）单调递增则x．∴1．可使得函数f（x）的值域为[0，2]，故选B．【点评】本题考查了分段函数的定义域和值域问题，需要对单调性进行判断，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设复数z=1+i，则复数z+的虚部是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z+=1+i+=1+i+=1+i+﹣i=+i的虚部为．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知tanα=﹣，cosβ=，β∈（0，），则tan（α+β）= 1 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanβ，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tan α=﹣，cos β=，β∈（0，），∴tan β===2，∴tan （α+β）==1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点A （，），且点A 到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率e=．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的定义分析可得a=2，将点A 的坐标代入椭圆方程可得+=1，由a 的值解可得b 的值，计算可得c 的值，由椭圆离心率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆上A 到椭圆两焦点的距离之和为4，则2a=4，即a=2，又由椭圆+=1经过点A （，），则有+=1，又由a=2，解可得b=1，则c==，则该椭圆的离心率e==；故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．16．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=（n ∈N *），若b n+1=（n ﹣2λ）（+1）（n ∈N *），b 1=﹣λ且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是 λ＜ ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，再代值得到b n+1=（n ﹣2λ）•2n ，根据数列的单调性即可求出λ的范围．【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=（n ∈N *），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n ，∴b n+1=（n ﹣2λ）（+1）=（n ﹣2λ）•2n ，∵b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列， ∴b 2＞b 1，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，解得λ＜，故答案为：λ＜【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016•萍乡一模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得2cos 2A+3cosA ﹣2=0，得到cosA 的值，即可求解A ．（II ）通过三角形的面积求出b 、c 的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A ，得3（cosBcosC﹣sinBsinC）=cos2A﹣1，即3cos（B+C）=2cos2A﹣2，即2cos2A+3cosA﹣2=0…（3分）可得：（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，可得：cosA=或cosA=﹣2（舍去），可得：A=…6分（II）由S=bcsinA=bc=5，得bc=20．又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）又由正弦定理，得sinBsinC=•sin2A==．﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）（2016•萍乡一模）边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，M为AD上的点，AE=1，AM=．（Ⅰ）求证：EM⊥BD；（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值为，试确定点F在BC上的位置．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AE⊥平面CDE，可得AE⊥DE，AE⊥CD，由已知可得AD⊥CD，利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ADE，得到CD⊥ME，求解△AME中可得ME⊥AM．从而得到ME⊥平面ABCD，即ME⊥BD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥DE，建立空间直角坐标系D﹣xyz，可得D，C，E，A的坐标，求出所用向量的坐标，求得平面FDE与平面ADE的法向量，利用两法向量所成角的余弦值列式求解点F在BC上的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，AE⊥CD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面ADE，则CD⊥ME，∵AD=2，AE=1，∴∠DAE=60°，在△AME中，AE=1，AM=，由余弦定理可得：ME=．∴AE2=AM2+ME2，则ME⊥AM．∴ME⊥平面ABCD，∴ME⊥BD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥DE，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），C（0，2，0），E（），A（），∴，，则B（）．设，λ∈[0，1]，则F（），设平面FDE的法向量，则，取z=﹣2，则，又平面ADE的法向量为，∴cos＜＞=，解得．故当点F满足时，二面角A﹣DE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2016•萍乡一模）经统计，2015年，某公路在部分界桩附近发生的交通事故次数如下表：把界桩公里数1001记为x=1，公里数1005记为x=5，…，数据绘成的散点图如图所示，以x 为解释变量、交通事故数y为预报变量，建立了两个不同的回归方程y（1）=29.9+50.2×和y （2）=33.9+125.9e﹣x表述x，y二者之间的关系．（Ⅰ）计算R2的值，判断这两个回归方程中哪个拟合效果更好？并解释更好的这个拟合所对R2的意义；（Ⅱ）若保险公司在每次交通事故中理赔60万元的概率为0.01，理赔2万元的概率为0.19，理赔0.2万元的概率为0.8，利用你得到的拟合效果更好的这一个回归方程，试预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费（理赔费精确到0.1万元）．附：对回归直线y=+x，有R2=1﹣．一些量的计算值：表中： =29.9+50.2×， =33.9+125.9e， =0.025，e﹣40≈0．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）计算R2的值，即可得出结论；（Ⅱ）求出界桩1040公里取x=40，由y（1）=29.9+50.2×≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，即可得出结论．2=1﹣≈0.9995；【解答】解：（Ⅰ）y（1）=29.9+50.2×拟合时，R12=1﹣≈0.9734y（2）=33.9+125.9e﹣x拟合时，R2∵0.9995＞0.9734，∴y（1）=29.9+50.2×比y（2）=33.9+125.9e﹣x拟合效果更好，2=1﹣≈0.9995，表明界桩公里数解释了99.95%的交通事故发生次数的变化；R1（Ⅱ）界桩1040公里取x=40，由y（1）=29.9+50.2×≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，∴预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费为31.16×1.14≈35.5万元．【点评】本题考查回归方程，考查拟合效果，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016•萍乡一模）如图，点A（2，0），直线l垂直y轴，垂足为点B，线段AB的垂直平分线与l相交于点C，（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）若P为点C的轨迹上的一动点，Q为抛物线x2=y﹣4上的一动点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求点C的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线OQ ：（t 2+4）x ﹣ty=0，P 到直线OQ 的距离，表示面积，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设C （x ，y ），则|BC|=|x|，由题意，|AC|=|BC|，∴=|x|，化简得点C 的轨迹方程为y 2=4（x ﹣1）；（Ⅱ）设P （s 2+1，2s ），Q （t 2，t+4），则直线OQ ：（t 2+4）x ﹣ty=0，P 到直线OQ 的距离h=，∴S △OPQ ==|（t 2+4）（s 2+1）﹣2ts|=|s 2t+23s 2+（s ﹣t ）2+4|≥2，当且仅当s=t=0时，取等号，∴△OPQ 面积的最小值为2．【点评】本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•萍乡一模）设a 为实数，函数f （x ）=（x 2﹣a ）e 1﹣x ． （Ⅰ）当x ≥1时y=f （x ）存在斜率为2的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）时，是否存在实数λ，使x 2f （x 1）+a λ（e +1）≤0？请说明你的理由．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的单调性求出a 的范围即可；（Ⅱ）问题转化为不等式x 1[2﹣λ（+1）]≤0对任意x 1∈（﹣∞，1）恒成立，通过讨论x 1的范围结合函数的单调性求出满足条件的λ的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=（2x ﹣x 2+a ）e 1﹣x ， 令f′（x ）=（2x ﹣x 2+a ）e 1﹣x =2，得a=x 2﹣2x+2e x ﹣1， 令g （x ）=x 2﹣2x+2e x ﹣1，（x ≥1），由于g （x ）的导数g′（x ）=2x ﹣2+2e x ﹣1≥2， 即g （x ）在[1，+∞）递增， 故g （x ）的最小值是g （1）=1， 故a 的范围是[1，+∞）；（Ⅱ）由题意方程﹣x 2+2x+a=0有2个不同的实数根x 1，x 2（不妨设x 1＜x 2）， 有﹣x 2+2x+a=0，则△=4+4a ＞0，解得：a ＞﹣1，且x 1+x 2=2，∵x 1＜x 2，∴x 1＜1，x 2f （x 1）+a λ（e +1）≤0，即（2﹣x 1）（﹣a ）≤λ[（2x 1﹣）﹣a]，故（2﹣x 1）（2x 1）≤λ[（2x 1﹣）+（2x 1﹣）]，即不等式x 1[2﹣λ（+1）]≤0对任意x 1∈（﹣∞，1）恒成立，①x 1=0时，不等式x 1[2﹣λ（+1）]≤0恒成立，λ∈R ，②x 1∈（0，1）时，2﹣λ（+1）≤0，即λ≥，令函数k （x ）==2﹣，显然k′（x ）=﹣＜0，k （x ）在R 递减，∴当x ∈（0，1）时，k （x ）＜k （0）=，∴λ≥；③x 1∈（﹣∞，0）时，2﹣λ（+1）≥0恒成立，即λ≤，由②得x ∈（﹣∞，0）时，k （x ）＞k （0）=，即λ≤，综上，存在λ=使得x 2f （x 1）+a λ（e+1）≤0总成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016•萍乡一模）如图，以锐角△ABC 的边BC 为直径的半圆分别与AC 、AB 交于点D 、E ，BD 、CE 的交点为H ，且BC=2． （Ⅰ）证明：AB•CD=BD•HC；（Ⅱ）求BE•BA+CD•CA的值．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明△BAD∽△CHD，即可证明AB•CD=BD•HC；（Ⅱ）延长AH交BC于F，AF⊥BC，A，E，F，C四点共圆，A，B，F，D四点共圆，由割线定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，即可求BE•BA+CD•CA的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为以BC为直径的半圆分别与AC，AB交于点D，E所以∠BDC=∠ADB=90°，所以 A，E，H，D四点共圆所以∠BAD=∠CHD所以△BAD∽△CHD（AA）所以，所以AB•CD=BD•HC；（Ⅱ）解：∵BC是直径，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴H为△ABC的垂心，故延长AH交BC于F，AF⊥BC，∴A，E，F，C四点共圆，A，B，F，D四点共圆，由割线定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，两式相加可得BE•BA+CD•CA=BF•BC+CF•CB=BC2=4∴所求代数式的值是4．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查割线定理的运用，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016•萍乡一模）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x+y=1+，圆C 2的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设直线C 1与圆C 2的交点为A ，B ，且A 为OM 的中点，求△OBM 的面积． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）直线C 1与圆C 2的极坐标方程联立可得cos θ+sin θ=，求出θ，即可求△OBM 的面积．【解答】解：（Ⅰ）直线C 1：x+y=1+，极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1+，圆C 2的参数方程为（α为参数），普通方程为x 2+y 2=4，极坐标方程为ρ=2；（Ⅱ）直线C 1与圆C 2的极坐标方程联立可得cos θ+sin θ=∵0＜θ＜，∴θ=或，∴∠AOB=，∵A 为OM 的中点，∴|OM|=4，∴△OBM 的面积|OM||OB|sin=2．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•萍乡一模）设f （x ）=|x+a|﹣|x+1|． （Ⅰ）求不等式f （a ）＞1的解集；（Ⅱ）当x ∈R 时，f （x ）≤2a （a ∈R ），求实数a 的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f （a ）＞1，即|2a|﹣|a+1|＞1，分类讨论，即可求不等式f （a ）＞1的解集；（Ⅱ）f （x ）=|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a ）﹣（x ﹣1）|=|a ﹣1|．令|a ﹣1|≤2a ，即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f （a ）＞1，即|2a|﹣|a+1|＞1，a≤﹣1，不等式化为﹣2a+a+1＞1，即a＜0，∴a≤﹣1；﹣1＜a≤0，不等式化为﹣2a﹣（a+1）＞1，即a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣；a＞0，不等式化为2a﹣（a+1）＞1，即a＞2，∴a＞2，故不等式的解集为{a|a＜﹣或a＞2}；（Ⅱ）f（x）=|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x﹣1）|=|a﹣1|．令|a﹣1|≤2a，显然a＞0，两边平方得a2﹣2a+1≤4a2，即3a2+2a﹣1≥0，∴a≥．【点评】本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．。