广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期高一数学周末练习一
广东省深圳市2019-2020学年高一上学期数学第一次月考试卷(I)卷
广东省深圳市2019-2020学年高一上学期数学第一次月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={-1,0,1,2},B={1,2,3},C={2,3,4}则（）A . {1,2}B . {1,2,3}C . {1,2,3,4}D . {-1,0,1,2,3,4}2. （2分）下列各区间的数轴表示中，正确的是（）A . [﹣2，+∞）B . （﹣∞，2）C . （﹣1，2）D . [﹣1，+∞）3. （2分） (2019高一上·北京月考) 下列五个写法：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确写法的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2017·荆州模拟) 设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A . （﹣∞，3）B . [2，3）C . （﹣∞，2）D . （﹣1，2）5. （2分）(2018·绵阳模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·万全期中) 设A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x﹣a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，﹣1]C . [1，+∞）D . （1，+∞）7. （2分）计算（n∈N*）的结果为（）A .B . 22n+5C .D . （）2n﹣78. （2分） (2018高二上·湘西月考) 若不等式的解集为 ,则值是（）A . -10B . -14C . 10D . 149. （2分） (2019高一上·儋州期中) 计算：（）A . 6B . 7C . 8D .10. （2分）已知函数，若，则实数a的值等于（）A . －3B . －1C . 1D . －3或111. （2分）下列各组表示同一函数的是（）A . 与B . 与y=2lgxC . 与D . 与12. （2分）若函数，则f（f（1））的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·水富期中) 对于任意 R，函数表示，，中的较小者，则函数的最大值是________.14. （1分） (2016高一上·金台期中) 函数f（x）=x2﹣2的单调递增区间是________．15. （1分） (2018高一上·铜仁期中) 若，则 =________．16. （1分） (2016高一上·上海期中) 设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·阜新月考) 解下列一元二次方程.（1）；（2） .18. （10分） (2019高一上·宜昌期中) 计算：（1）（2）19. （10分） (2019高一上·石家庄月考) 已知函数 .（1）求函数的定义域（2）求的值20. （10分） (2019高一上·长春月考) 已知全集U=R，集合，．（1）若，求 ;（2）若，求实数的取值范围．21. （10分） (2016高一下·定州开学考) 已知函数f（x）= ．（1）分别求出f（1），f（a）的值．（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明．22. （10分） (2016高一上·襄阳期中) 已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2＜x＜8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）若C∩A=C，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年广东省广东实验中学高一第一学期期中数学试题【解析版】
2019-2020学年广东省广东实验中学高一第一学期期中数学试题【解析版】一、单选题1．设}{2,A y y k k N ==∈，}{4,B x y x x Q ==-∈，则()Q A B ⋂=（ ）A ．}{2 B ．}{02，C ．}{24，D ．}{024，， 【答案】B【分析】}{{}2,0,2,4,6,A y y k k N ==∈=，}{}{4,4,B x y x x Q x x x Q ==-∈=≥∈，然后可得答案.【详解】因为}{{}2,0,2,4,6,A y y k k N ==∈=，}{}{4,4,B x y x x Q x x x Q ==-∈=≥∈所以()QA B ⋂=}{02，故选：B2．下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ） A ．212y x =- B ．3y x =-C ．13log y x =D ．31x y =-【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及零点情况，即可得答案． 【详解】对于A ，212y x =-，为二次函数，在(1,0)-上为减函数，不符合题意； 对于B ，3y x =-，在(1,1)-上为减函数，不符合题意； 对于C ，13y log x=，其定义域为(0,)+∞，在(1,0)-上没有定义，不符合题意；对于D ，31xy =-，在(1,1)-上有零点0x =，且在(1,1)-为增函数，符合题意； 故选：D3．已知幂函数()223(22)n n f x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】B【分析】由幂函数f （x ）=（n 2+2n ﹣2）23nn x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜，由此能求出n 的值．【详解】∵幂函数f （x ）=（n 2+2n ﹣2）23n n x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜， 解得n=1． 故选B ．【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．注意幂函数的系数为1. 4．已知实数0a >且1a ≠，则再同一直角坐标系中，函数()xf x a-=和()()log a g x x =-的图象可能是（ ）A ．B．C ．D ．【答案】D【分析】根据()()log a g x x =-的定义域，可排除A ；根据指数函数过定点，排除B ；由两函数单调性，排除C ，即可得出结果.【详解】因为函数()()log a g x x =-的定义域为(),0-∞，故A 错； 因为指数函数()()0xf x ax -=>过点()0,1，故B 错；当1a >时，函数()xf x a -=单调递减，函数()()log a g x x =-单调递减，即两函数单调性相同；当01a <<时，函数()xf x a -=单调递增，函数()()log a g x x =-单调递增，即两函数单调性相同；故C 选项不可能，D 选项可能. 故选：D.5．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞ C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C【分析】将不等式转化为2(2)2(2)40a x a x -+--<，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在R 上恒成立，即可求得参数范围. 【详解】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<，当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是 ( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【答案】A【解析】由表格可得二次函数f x （） 对称轴为011022x a +==，＞， 再根据310240f f f f --（）（）＜，（）（）＜ ，可得f x （）的零点所在的区间是31--（，） 和24（，），即方程20ax bx c ++= 的两个根所在的区间是31--（，） 和24（，）， 故选A ．7．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(2)(3)f f f =>，则（ ）A ．0a >，40a b +=B ．0a <，40a b +=C ．0a >，20a b +=D ．0a <，20a b +=【答案】D【分析】根据函数值(0)(2)(3)f f f =>得()f x 的对称轴是1x =且在1x >时递减，从而得开口方向．【详解】由(0)(2)f f =知函数的对称轴是1x =，又(2)(3)f f >，∴1x >时，()f x 是减函数． ∴12ba-=且0a <，即20,0a b a +=<． 故选：D.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．8．已知偶函数()y f x =在[)0+∞，上单调递减，若()10f -=,则满足()0xf x >的x 的取值范围是（ ）A ．()()11-∞-⋃+∞，， B ．()()101-∞-，，C ．()()101-+∞，，D ．()()1001-，，【答案】B【分析】由条件可得当11x -<<时()0f x >，当1x <-或1x >时()0f x <，然后可选出答案.【详解】由题意偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，(1)(1)0f f -==， 所以当11x -<<时()0f x >，当1x <-或1x >时()0f x <，所以()0xf x >解为()()101-∞-，，故选：B9．若1a b >>，01c <<，则（ ） A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【解析】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．已知函数()()12,11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，且满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则a的取值范围是（ ）A ．103⎛⎤⎥⎝⎦，B ．3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1143⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再利用分段函数的单调性得到不等式组012101112log 13a a a a ⎧⎪<-<⎪<<⎨⎪⎪-≥+⎩，解不等式组即得解. 【详解】因为()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数在定义域上是减函数.所以012101112log 13a a a a ⎧⎪<-<⎪<<⎨⎪⎪-≥+⎩，解得103a <≤. 故选：A11．已知函数()y f x =的图像是连续不断的，且满足()()f x f x =-，当0x >时，()y f x =是单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ）A ．5-B ．3-C ．5D ．3【答案】A【分析】由条件可得要使()34x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭，则有34x x x +-+=，然后可得答案.【详解】因为函数()y f x =的图像是连续不断的，且满足()()f x f x =-，当0x >时，()y f x =是单调函数所以由()34x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭可得34x x x +-+=，即()25304x x x ++=≠- 因为4-不是方程2530x x ++=的根，且25120∆=-> 所以由韦达定理可得方程2530x x ++=的两根之和为5- 故选：A12．已知函数()2log f x x =，当0m n <<时，()()f m f n =，若()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则nm=（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】D【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x m =时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象， 易知当2x m =时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f m m==又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以4nm=. 故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据数形结合的思想，确定201m m <<<，得到当2x m =时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，进而可求得,m n ，得出结果.二、填空题 13．函数()2log 1f x x =-_______________.【答案】()2+∞，【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】因为()2log 1f x x =-所以2log 10x ->，解得2x >， 即函数()2log 1f x x =-()2+∞，. 故答案为：()2+∞，14．设函数()y f x =满足111x f x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，则()f x 的表达式为____________. 【答案】()()211f x x x=≠-+ 【分析】令121111x t x x -==-+≠-++，得出11t x t-=+，代入原式，即可得出结果. 【详解】令121111x t x x -==-+≠-++，则11t x t-=+， 代入111x f x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭可得()()121111t f t t t t -=+=≠-++， 因此()()211f x x x=≠-+. 故答案为：()()211f x x x=≠-+15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈） 【答案】5【分析】先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可.【详解】设x 小时后才能开车,则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,两边取对数有3lg lg 0.34x ≤,因为3lg 04<故lg 0.3lg313lg3lg 4lg 4x -≥=-.代入lg30.48,lg 40.60≈≈可得0.481130.480.603x -≥=-.故x 最小为5. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.16．若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.①()3xf x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；【答案】①②④【分析】根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立即可.【详解】①()3x f x =，考虑()3xf x =即：330x x k k ++=，3(3)0x kk +=，考虑2()3,(1),(0)13kg k k g g =+-=-=，必存在0(1,0)k ∈-使0()0g k =， 即存在0(1,0)k ∈-，使得()()000f x k k f x ++=对任意实数x 都成立，所以①正确； ②()3f x x =-，讨论()()0f x k kf x ++=，即3(3)0x k k x +-+-= 当2x =时，关于k 的方程23(23)0k k +-+-=无解， 不存在()k k R ∈使()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立， 所以()3f x x =-不是“k ～特征函数”，所以②正确；③设常数函数()f x m =，讨论()()0f x k kf x ++=，即(1)0k m +=，当1k =-时对任意实数x 都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”， 所以③错误；④设()f x 是“13～特征函数”， 则()f x 是定义在R 上的连续函数， 且()11033f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，下面利用反证法证明()f x 必有零点：证明：假设()f x 没有零点，因为()f x 是定义在R 上的连续函数，则()0f x >恒成立，或()0f x <恒成立； 当()0f x >恒成立，则103f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，与题矛盾；当()0f x <恒成立，则103f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，与题矛盾； 所以()f x 必有零点，所以④正确. 故答案为：①②④【点睛】此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数()k k R ∈对任意实数x 都成立，对转化与化归思想要求较高.三、解答题17．（1）计算：()()40.522log 29ln 1244e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）计算：()294lg2lg 20lg5log 2log 3+⋅+⋅. 【答案】（1）122-；（2）54.【分析】（1）根据指数的运算法则运算即可； （2）根据对数的运算法则运算即可. 【详解】（1）原式=311212222+-=-+（2）()294lg2lg 20lg5log 2log 3+⋅+⋅()()23211lg21lg 2lg5log 2log 322=++⋅+⋅()1lg2lg 2lg5lg54=+++1lg2lg54=++54=18．已知全集为实数R ，集合}{23180A x x x =--≤，24xB x y ⎧⎫⎪==⎨-⎪⎩. （1）分别求AB ，()R B A ；（2）已知集合}{20C x x ax x a =--+<,若C A ⊆，求实数a 的取值集合. 【答案】（1）}{26x x <≤，}{6x x ≤；（2）[]3,6-.【分析】（1）先解不等式，化简集合A ，化简集合B ，根据交集，并集，补集的概念，即可求出结果；（2）先得到()()}{10C x x x a =--<，根据C A ⊆，分别讨论1a =，1a <，1a >三种情况，即可得出结果.【详解】（1）}{}{2318036A x x x x x =--≤=-≤≤，}{}{240224x x B x y x x x ⎧⎫⎪===->=>⎨-⎪⎩， 所以}{26A B x x ⋂=<≤；}{2RB x x =≤，因此()}{6RB A x x ⋃=≤；（2）()()}{10C x x x a =--< ①当1a =时，C =∅满足条件C A ⊆；②当1a <时，}{1C x a x =<<，由C A ⊆得31a -≤<； ③当1a >时，}{1C x x a =<<，由C A ⊆得16a <≤； 综合①②③，可得a 的取值范围为[]3,6-. 19．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）用定义法证明()f x 在定义域上是增函数； （3）求不等式()()2520f x f x -+-<的解集.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）}{23x x <<.【分析】（1）求出函数定义域，求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性；（2）任取1211x x -<<<， 则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅⎪+-⎝⎭，得出与0的大小关系即可证明； （3）根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-，结合单调性和定义域列不等式组即可得解.【详解】（1）由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x x <⎧⎨>-⎩，即11x -<<所以函数()f x 的定义域为()1,1-.因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 是定义上的奇函数. （2）设1211x x -<<<，则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭因为1211x x -<<<，所以12011x x <+<+，21011x x <-<-， 于是12211101,0111x x x x +-<<<<+-. 则1221110111x x x x +-<⋅<+-，所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭ 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即函数()f x 是()1,1-上的增函数. （3）因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得23x <<.所以不等式的解集为}{23x x <<.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域.20．已知函数()1421xx f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围； （3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【分析】（1）当1a =时，可得出()()()44232123xxxxf x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x+∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4xt =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当1a =时，可得()()()44232123xxxxf x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x--<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3； （2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210xx a --+<，0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x+∈，21a ∴≤，解得12a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4xt =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得：()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.21．已知二次函数()21f x ax bx =++和函数()212bx g x a x b-=+.（1）若()21f x ax bx =++为偶函数，试判断()g x 的奇偶性； （2）若方程()g x x =有两个不相等的实根()1212,x x x x <则：①试判断函数()21f x ax bx =++在区间()1,1-上是否具有单调性，并说明理由；②若方程()0f x =的两实根为()3434,x x x x <，求使3124x x x x <<<成立的a 的取值范围.【答案】（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②1a >.【分析】(1)由()f x 是奇函数且为二次函数可知：0a ≠，0b =，故可得21()g x a x=-，再利用定义即可判断()g x 的奇偶性；(2)①由()g x x =可整理得到一元二次方程，由题意得0∆>，整理得出对称轴方程不在(1,1)-上，故可得出函数在区间(1,1)-上具有单调性；②由()=0f x 的两实根为()3434,x x x x <，且3124x x x x <<<成立，可由根的分布将其转化为不等式，即可解出a 的范围.【详解】解：（1）因为()f x 为偶函数，()(),0,0f x f x bx b ∴-=∴=∴=，()21g x a x∴=-，又二次函数()f x 的0a ≠，定义域为()()00-∞∞，，+，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数；（2）①由()212bx g x x a x b-==+得方程()210*a x bx ++=有不等实根， 2240b a ∴∆=->及0a ≠得12b a >，即12b a -<-或12b a->， 即二次函数()f x 的对称轴()1,12bx a=-∉-， 故()f x 在()1,1-是单调函数；②12,x x 是方程()*的根，221110a x bx ∴++=，22111bx a x ∴=--，同理22221bx a x --=；()()2222221111111f x ax bx ax a x a a x ∴=++=-=-，要使3124x x x x <<<，只需()()12000a f x f x ⎧>⎪<⎨⎪<⎩即200a a a >⎧⎨-<⎩，1a ∴>， 或()()12000a f x f x ⎧<⎪>⎨⎪>⎩即200a a a <⎧⎨->⎩，无实数解， 故a 的取值范围为1a >.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．对于区间[a,b](a<b),若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a,b]上是单调函数，②函数()y f x =在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数()f x 的“保值”区间 （1）求函数2y x =的所有“保值”区间（2）函数()2y x m m 0=+≠是否存在“保值”区间？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由【答案】（1）[]0,1； （2）31[1,)(0,)44--⋃. 【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数2yx 的值域是[0,)+∞，可得[,][0,)a b ⊆+∞，从而函数2y x 在区间[,]a b 上单调，列出方程组，可求解；（2）根据已知保值区间的定义，分函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递减和函数2y x m =+在区间[,]a b 单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】（1）因为函数2y x = 的值域是[)0,+∞，且2y x =在[],a b 的最后综合讨论结果，即可得到值域是[],a b ，所以[][),0,a b ⊆+∞，所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[],a b 上单调递增，故有22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或 .又a b < ，所以01a b =⎧⎨=⎩.所以函数2y x =的“保值”区间为[]0,1 .（2）若函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递减，所以22a m b b m a ⎧+=⎨+=⎩ ，消去m 得22a b b a -=-，整理得()()10a b a b -++= .因为a b <，所以10a b ++= ，即1a b =--.又01b b b≤⎧⎨--<⎩ ，所以102b -<≤.因为2221311(0)242m b a b b b b ⎛⎫=-+=--+=-+--<≤ ⎪⎝⎭ ，所以314m -≤<-.②若0b a >≥ ，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，整理得()()10a b a b -+-=.因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-.又01a a a≥⎧⎨<-⎩ ，所以102a ≤<.因为22111(0)242m a a a a ⎛⎫=-+=-++≤< ⎪⎝⎭ ，所以104m << .综合①、②得，函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，此时的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
高中数学练习题 2019-2020学年人教B新版高一(上)模块数学试卷(必修1) -有答案
2019-2020学年人教B新版高一（上）模块数学试卷（必修1）一．选择题（每小题5分，共50分）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°1．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sinC =23sinB ，则A 等于（ ）√√A ．99B ．66C ．144D ．2972．（5分）等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，则数列{a n }前9项的和S 9等于（ ）A ．30B ．25C ．20D ．153．（5分）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）A ．1，2，3B ．2，3，1C ．2，3，2D ．3，2，14．（5分）下列程序运行的结果是（ ）A ．11B ．5C ．-8D ．-115．（5分）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则S 5S 2等于（ ）A ．k >4？B ．k >5？C ．k >6？D ．k >7？6．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为（ ）二.填空题（每小题5分，共25分）三.解答题（共-75分16题13分，17题13分，18题13分，19题12分，20题12分，21题12分）A ．79B ．87C ．1920D ．787．（5分）若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n =4n +25n −5，则a 5+a 13b 5+b 13的值为（ ）A ．x >3B ．0<x <2C ．3<x <2D ．3<x ≤28．（5分）已知△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且a =x （x >0），b =2，A =60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）√√√A ．49B ．29C ．23D ．139．（5分）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．210．（5分）若实数x ,y 满足不等式组V Y Y W Y Y X x −2≤0y −1≤0x +2y −a ≥0，目标函数t =x -2y 的最大值为2，则实数a 的值是（ ）11．（5分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 ．12．（5分）已知a ,b 为正数，且满足2<a +2b <4，那么3a -b 的取值范围是 ．13．（5分）函数y =x 2+3x 2+2的最小值是．设x 、y ∈R +且1x +9y =1，则x +y 的最小值为 ．√14．（5分）设x ,y 满足约束条件V Y Y W Y Y X 3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z =ax +by （a >0，b >0）的值是最大值为12，则2a +3b 的最小值为 ．15．（5分）等差数列{a n }中，a 11a 10<-1，且其前n 项和S n 有最小值，以下命题正确的是 ．①公差d >0； ②{a n }为递减数列； ③S 1，S 2…S 19都小于零，S 20，S 21…都大于零；④n =19时，S n 最小；⑤n =10时，S n 最小．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=-1a n2−1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知a∈R，解不等式xx−1>a+1．18．（13分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．19．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ2+3υ+1600（υ>0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20．（12分）数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足a n=2S2n2S n−1（n≥2）．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）设存在正数k,使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1对一切n∈N*都成立，求k的最大值．√21．（12分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项S n，并证明S n+23T n−1=1．22．已知数列{a n}中，a1=1，na n+1=2（a1+a2+…+a n）（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b1=12，b n+1=1a kb n2+b n，求证：b n<1（n≤k）．。
广东省深圳实验学校高一新生入学考试数学模拟试卷
广东省深圳实验学校高一新生入学考试数学模拟试卷
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2020-2021学年广东省深圳实验学校高一新生入学考试
数学模拟试卷解析版
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）?12的相反数是（）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．?12 【解答】解：?12的相反数是12．
故选：C ．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A ．3a +4b ＝7ab
B ．（ab 3）3＝ab 4
C ．（a +2）2＝a 2+4
D ．x 12÷x 6＝x 6 【解答】解：A 、3a 和4b 不能合并，故本选项不符合题意；
B 、结果是a 3b 9，故本选项不符合题意；
C 、结果是a 2+4a +4，故本选项不符合题意；
D 、结果是x 6，故本选项符合题意；
故选：D ．
3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，
故A 错误；
B 、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B 错误；
C 、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C 正确；。
【20套试卷合集】广东省深圳中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}231,,log (1)1,,,A x x B x x x S A S B x ⎧⎫=≥∈=+≤∈⊆⋂≠∅⎨⎬⎩⎭N N ，则集合S 的个数为 A.0B.2C.4D.82. 某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这二项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 A.17B. 18C.19D.203. 已知0.30.22log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是A b a c >>.B. b c a >>C.a b c >>D.c b a >>4. 设函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于A.12B.45C.2D. 95. 化简()()4433log 3log 9log 2log 8++=A.6B.6-C.12D.12-7. 下列函数中在区间()3,4内有零点的是A. 53lg 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 335=--+y x x C. 144-=+-x y ex D. ()()()3234=+-++y x x x x8. 已知函数()ln 2xf x x =+，若2(4)2f x -<，则实数x 的取值范围是 A.(2,2)-B.C.(2)-D.(2)(2,-⋃9.设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立，则t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.220t t t ≥≤-=或或 D.11022t t t ≥≤-=或或 10. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，11()()2x f x -=，则：①(2)()f x f x +=；②函数()f x 在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0； ④当(3,4)x ∈时，31()()2x f x -=.其中正确结论的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将各题的正确答案直接写在题目中的横线上） 11. 若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =____________.12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时()2=1++f x x x ，则()1=f - . 13. 已知幂函数3*()m y xm N -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,+∞上单调递减，则m =14. 已知函数()()33(1)log (1)a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15. 已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x x x=>，则给出以下四个结论： ①函数()f x 的值域为［0，1］；②函数()f x 的图象是一条曲线；③函数()f x 是（0,+∞）上的减函数； ④函数()()g x f x a =-有且仅有3个零点时3445a <≤. 其中正确的序号为_______________.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）设集合{}{}2,21,4,5,1,9A x x B x x =--=--，若{}9A B ⋂=，求A B ⋃.17.（本题满分12分）若集合{}34M x x =-≤≤，集合{}211P x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使得M = P. 若存在求出m ，若不存在请说明理由. （2）若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）若定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19.（本题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）. 当年产量不少于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.（本题满分14分）若定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，都有：()()()1f x y f x f y +=+-； ②当0x <时，()1f x >.（Ⅰ）试判断函数()1f x -的奇偶性； （Ⅱ）试判断函数()f x 的单调性； （Ⅲ）若不等式21(27)02f a a --+>的解集为{}24a a -<<，求(5)f 的值.数学 参考答案故{}8,7,4,4,9A B ⋃=---；……………………………………8分当5x =时，{}{}25,9,4,0,4,9,A B =-=-此时{}4,9A B ⋂=-与{}9A B ⋂=矛盾，故舍去.……………………………………10分综上所述，{}8,7,4,4,9A B ⋃=---.……………………………………12分17.解：（1）321m -=-且41m =+ 1m ∴=-且3m =∴不存在.……………………………………4分（2）若P M ，则3211412121m m m m m -≤-⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪+≥-⎩或P =∅⇒2m >；……………8分 若M P ，则32141m m m -≥-⎧⇒∈∅⎨≤+⎩，……………………………………10分 综上：1m ≥.……………………………………12分18.解：（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102ba-+=+，解得1b =，从而有121()2x x f x a +-+=+. 又由11212(1)(1)41f f a a-+-+=--=-++知，解得2a =. ……………………6分（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式知()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<，等价于22(2)(2)f t t f t k -<--2(2)f t k =-+.因()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222,20t t t k x ->-+-≤≤即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-.……………………12分≠⊂≠⊂2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪-+≥⎪⎩………………………………6分（2）当080x <<时 21()(60)9503L x x =--+ 60x ∴=时，()m a x (60)9L x L == ………………………………8分当80x ≥时.L 10000()1200()12001000x x x=-+≤-= ………………………………10分当100x =时取“=”. max 10000950L => ∴当产量为100千件时，利润最大为1000万元.…………………………12分20.解：（1）设(,)P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(,)x y --.已知点Q 在函数()f x 的图象上，()y f x ∴-=-，而()l o g (1a f x x =+，l o g (1)a y x ∴-=-+ l o g (1)a y x ∴=--+ 而(,)P x y 是函数()y g x =图象上的点，1()log (1)log .1a ay g x x x∴==--+=- ……………………5分（2）当[0,1)x ∈时，11()()log (1)log log .11a aa x f x g x x x x++=++=-- ……………………7分下面求当[0,1)x ∈时()()f x g x +的最小值. 令11x t x +=-，则11t x t -=+.[0,1)x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥， 111xx+∴≥-.……………………………………10分 又11,log log 101aa xa x+>∴≥=-，……………………………………11分()()0f x g x ∴+≥，[01)x ∴∈，时，()()f x g x +的最小值为0.当[01)x ∈，时，总有()()f x g x m +≥成立，0m ∴≤，即所求m 的取值范围为(,0]-∞.……………………………………13分（Ⅱ）任取12,(,)x x ∈-∞+∞且12x x <，则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-21112112()()1()()1[()1]f x x f x f x f x x f x x =-+--=-----由（2）知120x x -<. 则121221()1,()10()()0f x x f x x f x f x ->∴-->∴-< 即：21()()f x f x <. ()f x ∴在(,)-∞∞上单调递减. …………9分（Ⅲ）21(27)()2f a f m -->-=由（Ⅱ）知：227a a m --<的解集为(2,4)- 1m ∴=. 即：1(1)2f =-. (2)2f ∴=- (4)5f =-13(5)(4)(1)12f f f =+-=-……………………………………14分数学 参考答案1-5 CBBCA6-10 DADCC11.1212.3-13. 114. 36a <≤15.④16.解：由9A ∈，可得29x =，或219x -=，解得3x =±，或5x =.……………………………………4分当3x =时，{}{}9,5,4,2,2,9A B =-=--，B 中元素重复，故舍去； ……6分当3x =-时，{}{}{}9,7,4,8,4,9,9A B A B =--=-⋂=满足题意， 故{}8,7,4,4,9A B ⋃=---；……………………………………8分当5x =时，{}{}25,9,4,0,4,9,A B =-=-此时{}4,9A B ⋂=-与{}9A B ⋂=矛盾，故舍去.……………………………………10分综上所述，{}8,7,4,4,9A B ⋃=---.……………………………………12分17.解：（1）321m -=-且41m =+ 1m ∴=-且3m =∴不存在.……………………………………4分（2）若P M ，则3211412121m m m m m -≤-⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪+≥-⎩或P =∅⇒2m >；……………8分 若M P ，则32141m m m -≥-⎧⇒∈∅⎨≤+⎩，……………………………………10分 综上：1m ≥.……………………………………12分18.解：（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102b a -+=+，解得1b =，从而有121()2x x f x a +-+=+.又由11212(1)(1)41f f a a-+-+=--=-++知，解得2a =. ……………………6分（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式知()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<，等价于22(2)(2)f t t f t k -<--2(2)f t k =-+.因()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222,20t t t k x ->-+-≤≤即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-.……………………12分19.解：（1）依题意当080x <<时，21()(0.051000)(10250)3L x x x x =⨯+--- 21402503x x =-+-. 当80x ≥时，10000()(0.051000)(511450250)L x x x x=⨯+--+- ≠⊂≠⊂100001200()x x=-+. 2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪-+≥⎪⎩………………………………6分（2）当080x <<时 21()(60)9503L x x =--+ 60x ∴=时，()m a x (60)9L x L == ………………………………8分当80x ≥时.L 10000()1200()12001000x x x=-+≤-= ………………………………10分当100x =时取“=”. max 10000950L => ∴当产量为100千件时，利润最大为1000万元.…………………………12分20.解：（1）设(,)P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(,)x y --.已知点Q 在函数()f x 的图象上，()y f x ∴-=-，而()l o g (1a f x x =+，l o g (1)a y x ∴-=-+ l o g (1)a y x ∴=--+ 而(,)P x y 是函数()y g x =图象上的点，1()log (1)log .1a ay g x x x∴==--+=- ……………………5分（2）当[0,1)x ∈时，11()()log (1)log log .11a aa x f x g x x x x++=++=-- ……………………7分下面求当[0,1)x ∈时()()f x g x +的最小值.令11x t x +=-，则11t x t -=+. [0,1)x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥， 111x x+∴≥-. ……………………………………10分 又11,log log 101a a xa x+>∴≥=-， ……………………………………11分()()0f x g x ∴+≥，[01)x ∴∈，时，()()f x g x +的最小值为0. 当[01)x ∈，时，总有()()f x g x m +≥成立， 0m ∴≤，即所求m 的取值范围为(,0]-∞.……………………………………13分21.解：（Ⅰ）令,(0)()()1y x f f x f x =-=+-- 0(0)1x y f ===得 即()1[()1f x f x --=-- ()1f x ∴-是奇函数.…………………………………………4分（Ⅱ）任取12,(,)x x ∈-∞+∞且12x x <，则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+- 21112112()()1()()1[()1]f x x f x f x f x x f x x =-+--=-----由（2）知120x x -<. 则121221()1,()10()()0f x x f x x f x f x ->∴-->∴-< 即：21()()f x f x <. ()f x ∴在(,)-∞∞上单调递减. …………9分（Ⅲ）21(27)()2f a f m -->-=由（Ⅱ）知：227a a m --<的解集为(2,4)- 1m ∴=. 即：1(1)2f =-. (2)2f ∴=- (4)5f =-13(5)(4)(1)12f f f =+-=- ……………………………………14分2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}2M y y x -==，{P x y =，那么( ) A. M P ⊆ B. P M ⊆ C. MP φ= D. MP R =2．已知集合{04}P x x =≤≤，集合{02}N y y =≤≤，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是( )A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →=C.2:3f x y x →= D. :f x y →=3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76％，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A.1009576.0xy ）（=B.x y 100)9576.0（=C.0.9576100xy =（） D.100)0424.0(1xy -=4.函数()lg af x x x=+在区间(1,10)上有唯一的零点，则实数a 应满足的条件为( ) A.(10)0a a +＞ B.(10)0a a +＜ C.(1)0a a +＞ D.(1)0a a +＜1，给出下列四个不等式：( )6.2(0)()(0)x x f x x a x ⎧≥=⎨+<⎩是R 上的增函数，则a 的范围是( )A. [2,)+∞B. (],2-∞C. [1,)+∞D. (],1-∞则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为( )A.1.5B.1.4C.1.3D.1.29.已知函数lg 1()12x f x =+，则1(2)()2f f +的值等于( ) A.1 B.2 C.12 D.1410.已知函数x x x h x x g x x f x+=+=+=33log )(,2log )(,3)(的零点依次是,,,c b a 则,,,c b a 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.a b c <<D. b c a <<二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.将答案填在题中的横线上 11. 已知{}25A x x x =<->或，{}4B x a x a =<<+．若A B φ=，则实数a 的取值范围是____________．12. 已知函数(),03,0xlnx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是____________．13．若幂函数()y f x =的图像过点，则(4)f 的值为____________．14. 若()lg(101)xf x ax =++是偶函数，4()2x x bg x -=是奇函数，那么a ＋b 的值为____________．15．若函数()x f 在定义域D 上存在12,x x ，当12x x ≠时()()12120f x f x x x ->-，则称()x f 为“非减函数”。
2019-2020学年广东省实验中学高一(上)期中数学试卷 -学生用卷(含答案解析)
2019-2020学年广东省实验中学高一（上）期中数学试卷 -学生用卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4，5}，B ={b|b =n 2−1,n ∈Z}，则A ∩B =( )A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D. {−1,0，3，5} 2. 三个数a =log 20.4，b =0.42，c =20.4的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. a <b <cD. b <c <a3. 下列函数既是奇函数又是偶函数的是( )A. f(x)=x +1xB. f(x)=1x 2C. f(x)=√x 2−1+√1−x 2D. f(x)={12x 2+1,x >0−12x 2−1,x <04. 已知{0,2}⊆M ⫋{0,2，5，7}，则符合条件的集合M 有( )A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个5. 方程e x−1−1x+1−2=0的根所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6. 设x 为实数，则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A. f(x)=1,g(x)=x 0B. f(x)=x −1,g(x)=x 2x −1C. f(x)=x 2,g(x)=(√x)4D. f(x)=x 2,g(x)=√x 637. 若函数f(x)=a x−1的图象经过点(2,4)，则函数g(x)=log a 1x+1的图象是( )A.B. C.D.8. 函数f(x)=log 2(1−2x)+1x+1的定义域为( )A. (0,12) B. (−∞,12)C. (−1,0)∪(0,12) D. (−∞,−1)∪(−1,12)9. 关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是 ( )A. m <−2B. m <0C. m <1D. m >010. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (54,+∞) B. (19,1)∪(54,+∞) C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞)11.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()元A. 170B. 190C. 180D. 20012.已知2x>21−x，则x的取值范围是()A. RB. x<12C. ⌀ D. x>12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=kx a的图象过点(2,√2)，则k−2a的值是______ ．14.若函数则f[f(−99)]=____.15.已知函数y=f(x)是奇函数，若f(−2)+f(−1)−3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=__________．16.已知函数f(x)=x2+ax+1的一个零点大于2，一个零点小于2，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2−8x+7≤0}，C={x|x≥a−1}．(Ⅰ)求A∩B，A∪(∁U B)；(Ⅱ)若A∪C=A，求实数a的取值范围．18.(1)lg12−lg58+lg12.5−log89⋅log278.(2)lg√27+lg8−lg√1000lg1.2．19.已知定义域为R的函数f(x)=a−2xb+2x是奇函数(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若存在t∈R，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，求k的取值范围．20.已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4，x∈[2,4]．(1)设t=log12x，x∈[2,4]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的值域．21.已知函数f(x)=e x−ax有两个不同的零点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x2>2．+a)．22.已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R，求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．。
深圳实验学校高中部高一数学周末练习(二)20200221
深圳实验学校高中部高一数学周末练习（二）数量积、基本定理及坐标运算（20200221）班级姓名成绩一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2019春•长春期末）下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2．（2019•栖霞市模拟）在△ABC中，D为线段BC上一点，且BD＝2CD，则（）A．B．C．D．3．（2019秋•赫山区校级月考）已知向量（2，1），（2，sinα﹣1），（﹣2，cosα），若（）∥，则tanα的值为（）A．2 B．C．D．﹣24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知向量，，则（）A．10 B．C．5 D．5．（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论：（1）若||＝||，则或；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且||＞||，则．其中正确的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）6．（2019•西湖区校级模拟）设向量，用，作基底可将表示为则实数p，q的值为（）A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝4 C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝﹣47．（2019春•达州期末）如图，E是平行四边形ABCD的边AD的中点，设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1a2，则S10＝（）A．25 B．C．D．558．（2020•天河区一模）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则（）（第7题图）（第8题图）A．B．C．D．9．（2019秋•香坊区校级月考）已知向量满足，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．10．（2019秋•越城区校级月考）在△ABC中，若••2•，则（）A．1 B．C．D．11．（2019秋•南陵县校级月考）已知非零向量，满足|2|||，⊥（2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．12．（2019秋•渭滨区校级月考）在正方形ABCD中，点E是线段CD的中点，F是线段BC上靠近C的三等分点，则（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2019•大庆三模）已知向量，且的夹角为，则．14．（2019秋•新吴区校级月考）如图所示，P，Q两点（可与A，B两点重合）是在以AB为直径的上半圆弧上的两点，且AB＝4，∠P AQ＝60°，则的取值范围为．15．（2019春•宛城区校级月考）如图，在△ABC中，，，若═，则．（第14题图）（第15题图）16．（2019秋•涪城区校级月考）如图，在平行四边形OACB中，E，F分别为AC和BC上的点，且，，若m n，其中m，n∈R，则m+n的值为．（第16题图）三．解答题（共3小题，每小题10分，满分30分）17．（本小题10分拟）（1）若向量与的夹角为，且，，求与的夹角；（2）已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，求的值．18．（本小题12分）已知向量（cos x+sin x，sin x），（cos x﹣sin x，2cos x），设f（x）•，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当时x∈[0，]，求函数f（x）的最大值及最小值．19．（本小题12分）己知向量．，函数f （x ）＝a •b +m ，且（1）求m 的值； （2）当时，不等式c ＜f （x ）＜2c +15恒成立，求实数c 的取值范围．20．（本小题12分）设两个向量,a b r r ，满足||2,||1a b ==r r .（1）若(2a b a b +⋅-）(）=1r r r r ，求,a b r r的夹角.（2）若,a b r r的夹角为60︒，向量27ta b +r r 与a tb +r r 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.21．（本小题12分）在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为线段AB 上的一点，且AP AB λ=uu u r uu u r．（1）若3144CP CA CB =+uu r uu r uu r，求λ的值；（2）若∠A ＝120°，且4CP AB AP PB ⋅>⋅uu r u r uu u r u r，求实数λ的取值范围．22．（本小题12分）如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A 为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ 为圆A 的一条直径.（1）请用,AP AB uu u r uu u r 表示BP uu r ，用,AP AC u u u r u u u r 表示CQ uu u r;（2）记∠BAP=θ,求BP CQ u u r u u u r的最大值.深圳实验学校高中部高一数学周末练习（二）数量积、基本定理及坐标运算参考答案（20200221）1~12：DDDBBBDDBDCC；13~16：2；1538+；[]04，；43；17．（本小题10分）（1）若向量与的夹角为，且，，求与的夹角；（2）已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，求的值．【解析】解：（1）2×1×cos1，∴（）24412，∴||＝2，（）26，设与的夹角为θ，则cosθ，∴θ，即与的夹角为．（2）设BC的中点为D，则2，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AD⊥BC，AD，∴2（）＝2•AD2＝6．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．18．（本小题12分）已知向量（cos x+sin x，sin x），（cos x﹣sin x，2cos x），设f（x）•，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当时x∈[0，]，求函数f（x）的最大值及最小值．【解析】解：（1）向量（cos x+sin x，sin x），（cos x﹣sin x，2cos x），所以（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）+2sin x cos x＝cos2x+sin2x，所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x∈[0，]，所以，当时，即x时，函数的最小值为，当时，即时，函数的最大值为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（本小题12分考）己知向量．，函数f（x）＝a•b+m，且（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当时，不等式c＜f（x）＜2c+15恒成立，求实数c的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题设可得4cos2x+m，∵，∴，得m＝7；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵，∴，∴，得，由不等式c＜f（x）＜2c+15恒成立得，解得，故实数c的取值范围为．【点睛】此题考查了向量数量积，三角变换，不等式恒成立等，难度适中．20．（本小题12分）设两个向量，满足.（1）若，求的夹角.（2）若夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】：（1）（2）且【解析】（1），，，，向量的夹角是。
广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高一下学期第一阶段(4月)考试数学试题(解析版)
深圳实验学校高中部2023-2024学年度第二学期第一阶段考试高一数学时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数34i z =−，则z 的虚部为（ ） A. 4 B. -4C. 4iD. -4i【答案】B 【解析】【分析】由复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意复数34i z =−，则z 的虚部为-4. 故选：B.2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量就是有向线段 B. 单位向量都是相等向量C. 若||||a b > ，则a b >D. 零向量与任意向量平行【答案】D 【解析】【分析】根据向量的有关概念确定正确选项.【详解】向量不是有向线段，故A 错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B 错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C 错误；规定：零向量与任意向量平行，故D 正确. 故选：D3. 已知ABC 外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量CA 在向量CB 上的投影向量为（ ）A. 14CBB. C. 14CB −D. 12CB【答案】A 【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得O 为BC 的中点，BC 为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可.的【详解】因为O 是ABC 的外接圆圆心，2AO AB AC =+， 所以由平行四边形法则可得O 为BC 的中点，BC 为圆的直径，因为OA AC = ，所以AOC 为等边三角形，π3ACB ∠=，所以向量CA 在向量CB上的投影向量为π1cos 34CB CA CB CB ⋅=， 故选：A4. 已知点()2,6A ，()2,3B −−，()0,1C ，7,62D，则与向量2AB CD + 同方向的单位向量为（ ）A.B.C. D. 43,55−【答案】A 【解析】【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.【详解】由题意()74,9,,52AB CD =−−=，所以()23,1AB CD +=，从而与向量2AB CD +同方向的单位向量为)23,12AB CD AB CD +=+. 故选：A.5. 已知a 和b 是两个不共线的向量，若AB a mb =+ ，54BC a b =+ ，2DC a b =−−，且A ，B ，D 三点共线，则实数m 的值为（ ） A.12B. 1C. 12−D. 1−【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得AB BD λ=，列出方程组即可得解.【详解】因为54266B BC a b a b a D CD b =+=++++=， 且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB BD λ=，即()66a mb a b λ+=+ ，则166m λλ= = ，解得1m =. 故选：B6. 在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足,2BE EC CF FD ==．若点P 在线段BD上运动，且(),AP AE AF λµλµ=+∈R，则λµ+的取值范围为（ ） A. 17,55 −B. 34,55C. 23,34D. 13,55−【答案】B 【解析】【分析】建立基底，,DC a DA b ==，则11,23AE a b AF a b =−=− ，然后将设(1),01AP t AB t AD t =+−≤≤，最终表示为28695555t t AP AE AF =−++−，然后得到4155t λµ+=−，进而求出范围． 【详解】矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足,2BE EC CF FD ==，设,DC a DA b ==，则12AE AB BE a b ==−+ ，13AF AD DFa b ==−+ ，联立1213AE a b AF a b =− =−，可解得63552655a AE AF bAE AF =− =−， 因为点P 在线段BD 上运动，则可设()1,01AP t AB t AD t =+−≤≤， ()()11AP t AB t AD ta t b =+−=−−()632615555t AE AF t AE AF −−−−28695555t t AE AF =−++−， 又(),AP AE AF λµλµ=+∈R ，所以28556955t t λµ=−+ =−，286941555555t t t λµ+=−++−=−， 因为01t ≤≤，所以4134,5555t λµ+=−∈ ．故选：B ．7. 在ABC 中，0BA AC AC BCBC BC⋅⋅+=，12BC AB BC AB ⋅= ，则ABC 的形状为（ ）A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形C. 等边三角形D. 等腰（非等边）三角形【答案】D 【解析】【分析】结合条件利用数量积的运算律得BC BA =，再根据数量积的定义求得2π3B ∠=，即可判断三角形的形状.【详解】因为0BA AC AC BC BC BC⋅⋅+=，所以0BA AC AC BC ⋅+⋅=，所以()0AC BA BC ⋅+= ， 所以()()0BC BA BA BC −⋅+=，所以22BC BA =，即BC BA =，又()111cos 2BC AB B BC AB ⋅=××−= ，所以1cos 2B =−，所以2π3B ∠=，所以ABC 为等腰非等边三角形. 故选：D8. 已知ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若22a b bc −=，则ba c+的取值范围是（ ）A. B. ()2C. ()21−−D.)2++【答案】C 【解析】【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sinsin()B A B =−，结合ABC 为锐角三角形，得到2A B =，故π6π4B <<，再利用正弦定理得到214cos 2cos 1b B a c B =+−+，求出取值范围即可. 【详解】因为22a b bc −=，得22a b bc =+． 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−，所以2222cos b bc b c bc A +=+−，即2cos b c b A =−． 由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =−，因为π()C A B =−+，则sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+， 所以sin sin cos cos sin B A B A B =−，即sinsin()B A B =−． 因为ABC 是锐角三角形，所以π02A <<，π02B <<，所以ππ22A B −<−<． 又sin y x =在ππ,22−上单调递增，所以B A B =−，则2A B =． 因为ABC 是锐角三角形，所以π02B <<，π022A B <<，203ππC B <<=−，所以π6π4B <<，由正弦定理得sin sin sin sin sin sin 2sin(π3)sin 2sin 3bB B B a c AC B B B B===+++−+ 22sin 1sin 2sin 2cos cos 2sin 2cos 2cos 2cos 1B B B B B B B B B =++++− 214cos 2cos 1B B =+−， 令cos B t =，因为π6π4B <<，所以t ∈． 2215421444y t t t =+−=+−在t ∈上单调递增，当t =时，1y =+，当t =时，2y =+，故()2121421b a c t t =∈−−++− 故选：C ．【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数1i,z z =−为z 的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. z 在复平面对应的点位于第二象限B.z =C. 22||z z =D.zz为纯虚数 【答案】BD 【解析】【分析】根据复数几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对A ，1i z =− ，复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，∴复数z 在复平面内对应的点位于第的象限，故A 错误；对B ，根据复数模的公式，z =B 正确；对C ，()221i 2i z =−=−，而22z =，故C 错误； 对D ， 1i z =+，()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ++∴====−−+，故D 正确. 故选：BD.10. 在ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1sin sin sin 8A B C =，abc =则（ ）A. ABC 的面积为2B. ABC 外接圆的半径为C. 4ab ≤D. 211()32sin sin sin C A B+≥ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形面积公式逐项分析计算即可得解. 【详解】设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，得3(2)sin sin sin abcR A B C==R =B 正确；ABC 的面积111sin 22222c S ab C ab R ==⋅==，A 正确；由1sin 22Sab C =，得44sin ab C=≥，C 错误； 由sin 0,sin 0A B >>，得2(sin sin )4sin sin A B A B +≥，即22(sin sin )4(sin sin )sin sin A B A B A B +≥， 由1sin sin sin 8A B C =，得432sin sin sin C A B =，因此22(sin sin )32sin (sin sin )A B C A B +≥， 所以211()32sin sin sin C A B+≥，D 正确． 故选：ABD【点睛】策略点睛：求三角形面积是解三角形的一种常见类型，经常利用正弦定理，进行边角转化求解. 11. 已知点P 在ABC 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若P 为ABC 的垂心，2AB AC ⋅=，则2AP AB ⋅=B. 若ABC 为边长为2的正三角形，则()PA PB PC ⋅+的最小值为-1C. 若ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP xAB y AC =+且21x y +=，则AB BC = D. 若111122cos cos APAB AC AB B AC C =+++，则动点P 的轨迹经过ABC 的外心 【答案】ACD 【解析】【分析】A 利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B 构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C 由已知得()BP y BC BA =+，进而可知,B P 与AC 中点共线，结合外心的性质有BD 垂直平分AC 即可判断；D 将等式两侧同时点乘BC并化简得2()AP BC AB AC BC ⋅=+⋅ ，即可判断.【详解】A ：如下图，,BE AC AD BC ⊥⊥，则P 为垂心，易知：Rt Rt AEP ADC ，所以AE APAD AC=，则AE AC AP AD ×=×， 根据向量数量积的几何意义知：2AB AC AE AC ⋅=×= ，同理AP AB AP AD ⋅=×，所以2AP AB ⋅=，正确；B ：构建以BC 中点O为原点的直角坐标系，则A ，若(,)P x y ，所以()PA x y =−−，(,)PO x y =−− ，由2(2,2)PB PC PO x y +==−− ，则()222232222(2PA PB PC x y x y ⋅+=+−=+− ，当0,x y==()PA PB PC ⋅+的最小值为32−，错误；C ：由题设(12)AP y AB y AC =−+ ，则(2)AP AB y AC AB −=−， 所以()BP y BC BA =+ ，若D 为AC 中点，则2BC BA BD += ， 故2BP yBD =，故,,B P D 共线，又PD AC ⊥，即BD 垂直平分AC ，所以AB BC =，正确；D ：由题设，1()2cos cos AB AC AP AB AC AB B AC C =+++，则11()()22cos AB BC AP BCAB AC BC AB AC BC AB B ⋅⋅=++⋅=+⋅， 所以2()AP BC AB AC BC ⋅=+⋅ ，若D 为BC 中点，则2AB AC AD +=，故AP BC AD BC ⋅=⋅，所以P 的轨迹经过ABC 的外心，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：A 根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到AB AC AE AC ⋅=×=AP AB AP AD ⋅=×；B 构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C 、D 根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知1e 、2e 是两个不共线的向量，122a e e =− ，12b ke e =+ ，若a 与b是共线向量，则实数k =________. 【答案】2− 【解析】【分析】设b a λ=，λ∈R ，可得出关于实数k 、λ的等式，即可解得实数k 的值.【详解】因为1e 、2e 是两个不共线的向量，122a e e =− ，12b ke e =+ ，若a 与b 是共线向量， 设b a λ=，λ∈R ，则()12121222ke e e e e e λλλ+=−=− ，所以，21k λλ= =−，解得2k =−.故答案为：2−.13. 如图，在四边形ABCD 中，,AB CD ∥3,AB =2,CD ==AD 90BAD ∠=°.若P 为线段AB 上一动点，则CP DP → →⋅的最大值为______.【答案】6 【解析】【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到2(1)2CP DP x ⋅=−+，再求二次函数的最大值即可．【详解】以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(3,0)B ，C ，D ， 设(,0)P x ，其中03x ≤≤，则(2,CP x =− ，(,DP x = ，∴22(2)323(1)2CP DP x x x x x ⋅=−+=−+=−+，当3x =时，CP DP ⋅有最大值6．故答案为：6.14. 已知△ABC 中，311,,523CD BC EC AC AF AB =−== ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且13DP DC xDE =−+ ，则实数x 的取值范围为___________. 【答案】14,23【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x 的取值范围. 【详解】解：如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得13DG DC =− ， 设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；GH ∥DE ，所以HE 13=EC ，AH 23=EC ，HG 43=DE ， 12AH AF HC FB==， 所以FH ∥BC ；所以FH 13=BC ， 所以FH KH DG KG=， 所以KG 35=HK ， KG 38=HG 12=DE . 所以实数x 的取值范围是(1423，).故答案为：(1423，).【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知平面向量()1,a x = ，()23,b x x =+− ，R x ∈． （1）若a b ⊥，求x 的值；（2）若a b ∥ ，求2a b − 的值． 【答案】（1）1−或3（2）1或【解析】【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式12120x x y y +=计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式12210x y x y −=计算可求得x 的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可.【小问1详解】若a b ⊥ ，则()()()()1,23,1230a b x x x x x x ⋅=⋅+−=×++−= ． 整理得2230x x −−=，解得=1x −或3x =．故x 的值为1−或3．【小问2详解】若a b ∥，则有()()1230x x x ×−−+=，即()240x x +=，解得0x =或2x =−． 当0x =时，()1,0a = ，()3,0b = ，∴()021,a b −=− ，∴21a b −= ． 当2x =−时，()1,2a =− ，()1,2b =− ，∴()623,a b −=− ，∴2a b =−= ． 综上，2a b −的值为1或．的16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22(sin sin )sin sin sin B C A B C −=−. （1）求角A ；（2）若D 为BC 边上一点，且2AD BD CD ==，求tan B .【答案】（1）π3A =； （2）tan B =【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合余弦定理求解，（2）根据正弦定理即可结合和差角公式求解.【小问1详解】因为22(sin sin )sin sin sin B C A B C −=−，由正弦定理得22()b c a bc −=−，化简得222b c a bc +−=， 由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===， 又()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】 AD BD = ，BAD B ∴∠=∠.在ADC △中，π3DAC B ∠=−，2π3C B =−， 由正弦定理可得sin sin AD CD C DAC =∠，即2ππsin sin 33AD CD B B = −−， 又2AD CD =，得2ππsin 2sin 33B B −=−，11sin 2sin 22B B B B +=−，化简得3sin 2B B =，显然cos 0B ≠，即tan B =.17. 在ΔABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且2AO OC = ，设AB =a ，AC =b（1）试用a ，b 表示AR； （2）若21,60ab a b ===° ，，，求∠ARB 的余弦值． 【答案】（1）1142AR a b =+ （2） 【解析】【分析】（1）由两个三点共线设出来，列出方程组求解即可；（2）由平面向量数量积的定义求夹角的余弦值即可.【小问1详解】因P ，R ，C 共线，则存在λ使RP PC λ=， 则()()AR AP AC AP λ−=− ，整理得()112AR AP AC a b λλλλ−=−+=+ . 由,,B R O 共线，则存在µ使BR BO µ= ，则()()AR AB AO AB µ−=− ，整理得()()2113AR AB AO a b µµµµ=−+=−+ . 根据平面向量基本定理，有111222334λµλλµµ− =−= ⇒ ==， 则1142AR a b =+ . 【小问2详解】由（1），1142AR a b =+ ，1324BR b a =− ，的则22131341644AR BR b a a b ⋅=−−⋅=− ，AR= ，BR = .则cos ,AR BR AR BR AR BR⋅==⋅ ； 18. 某小区拟对一扇形区域AOB 进行改造，如图所示，平行四边形OMPN 为休闲区域，阴影部分为绿化区，点P 在弧AB 上，点M ，N 分别在OA ，OB 上，且4OA =米，π3AOB ∠=，设POB θ∠=.（1）请求出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值，最大值为多少平方米？（2）设OP xOA yOB =+ ，求22xy +的取值范围. 【答案】（1）当π6θ=时，max S = （2）2,13【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得S 关于θ的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.（2）由平面向量基本定理首先得π,3xy θθ −，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.【小问1详解】由题意π3AOB ∠=，POB θ∠=，//PN MO ，4OP OA ==，在OPN 中，2ππ,33ONP OPN θ∠=∠=−， 由正弦定理得sin sin ON OP OPN ONP=∠∠， 即2ππsin sin 33ON OP θ= −，即π3ON θ =− ，则顾客的休息区域面积π2sin sin 3OPN S S OP ON θθθ ==⋅⋅=−，即πsin 3S θθ − ，其中π03θ<<，而π1sin sin 32Sθθθθθ −=−)21cos 2cos sin 22θθθθθ −−=−π26θ +， 因为π03θ<<，所以ππ5π2666θ<+<， 则当ππ262θ+=，即π6θ=时，顾客的休息区域面积S取得最大值，且最大值为max S =. 【小问2详解】由（1）2ππsin sin sin 33ON OP PN θθ== −，4OP OA ==，所以π,43ON OM PN θθθ −=， 由题意OP xOA yOB OM ON =+=+ ，所以π,3x y θθ −，所以2222224145sin 3sin sin cos cos 32344x y θθθθθθθ +=+−=−+()()45342142π1cos 221cos 22cos 2sin 2388332336θθθθθθ =−++=−+=−+， 因为π03θ<<，所以ππ5π2666θ<+<， 所以π12π21sin 2,1,sin 2,623633θθ +∈−+∈−−， 所以2242π2sin 2,13363x y θ +=−+∈ . 【点睛】关键点点睛：关键是熟练利用三角恒等变换，从而可得三角函数性质，由此即可顺利得解.19. 定义非零向量()OA m n = ，．若函数解析式满足()sin cos f x m x n x =+，则称()f x 为向量OA 的“m n −伴生函数”，向量OA为函数()f x 的“源向量”．（1）已知向量()20OA = ，为函数()g x 的“源向量”，若方程()1g x k x =+−在[]02π，上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k 的取值范围；（2）已知点()A m n ，满足223410n m mn +−+=，向量OA 的“m n −伴生函数”()h x 在x a =时取得最大值，当点A 运动时，求tan 2a 的取值范围；（3）已知向量OA 的“01−伴生函数”()F x 在x t =．若在三角形ABC 中，AB =，()cos C F t =，若点O 为该三角形的外心，求OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值.【答案】（1）()()111,3∪ （2）34∞−−，（3）3【解析】【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可； （2）根据题中条件求得a 的值，继而求得tan a ，利用二倍角公式求得tan 2a 的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；（3）根据条件可先求得π4C =，继而根据正弦定理可得角形ABC 外接圆半径1R =，则1OA OB OC === ，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可. 【小问1详解】因为向量()20OA = ，为函数()g x 的“源向量”，所以()2sin g x x = ，则方程[]2sin 102πx k x =+−在，上有且仅有四个不相等的实数根，所以2sin 1k x x =+−在[]02π，上有且仅有四个不相等的实数根，令()2sin 1I x x x =+−，[]02πx ∈， ①当π3π02π22x∈∪ ，，时，()π2sin 14sin 13I x x x x=+−=+− ②当π3π22x∈ ，时，()π2sin 14sin 13I x x x x=−−=−− ，所以()ππ3π4sin 1,02π322ππ3π4sin 1,322x x I x x x+−∈∪=−−∈，，， ，其图象为：结合()0,1A −,π,12B,()2π,1C −,最大值为3，故当2sin 1k x x =+−在[]02π，上有且仅有四个不相等的实数根时， k取值范围为()()111,3∪. 【小问2详解】由题意得: ()()h x msinx ncosx x ϕ=++，其中tan n mϕ=， 当()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，即()π2πZ 2a k k ϕ=−++∈时， ()h x 取最大值， 故π1tan tan 2π2tan m a k nϕϕ =−++== ， 则22tan 2tan 21tan a a n m a m n==−−， 令n t m=，由于223410n m mn +−+=， 故22234110n n m mm +−+= ， 即()2234110t t m −++=则()2Δ43410t t =−−+>，解得113t <<， 所以2tan 21a t t=−（113t <<） 因为1y t t =−单调递增，所以1803t t−∈−，， 所以tan 2a 的取值范围为34∞ −− ，【小问3详解】由题意得，()cos F x x =，则cos t =， 在三角形ABC 中， 的AB =，()cos cos C F t t ===，因此π4C = ， 设三角形ABC 外接圆半径为R ， 根据正弦定理，22sin AB R C ==，故1R = 所以1OAOB OC === ()()()OC AB CA CB OC OB OA OA OC OB OC ⋅+⋅=⋅−+−⋅− 2OC OB OC OA OA OB OA OC OC OB OC =⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+222cos cos 1OC OA OA OB OC AOC AOB =−⋅+⋅+=−∠+∠+πππ2cos 0422C AOB C cos AOB =∠==∠==，，， 代入得：12cos OC AB CA CB AOC ⋅+⋅=−∠ ，所以当πAOC ∠=时，OC AB CA CB ⋅+⋅取得最大值3.【点睛】关键点点睛：第1问的关键是参变分离，数形结合；第2问的关键是换元法构造函数；第3问的关键是利用正弦定理得到1OAOB OC === .。