基于数论变换快速算法实现经典功率谱估计及应用

基于数论 变换快 速算法实来自 经典功率谱 估计及应用
罗朝辉【 ¨ 陈兴芬【
（ ［ １ ］ 兴义 民族 师 范学院 ［ ２ ］ 赵 家坪 小学
摘 要
贵州 ・ 兴义
５ ６ ２ ４ ０ ０ ；
贵 州 ・贞丰
５ ６ ２ ２ ０ １ ）
功率谱估计是利 用有 限长 的数据估 计信 号的功率谱 ， 功率谱估计可分为经典谱估计和现代谱估 计。文章主
进 行 改进 ， 采 用 的措 施 主要 是将 周 期 图进 行平 滑 ， 使估 计 方 差
１ Ｎ— ｍ一 １
（ ）
。
（
＋ ）
减少， 从而得到一致谱估计 。 相关函数进行谱估计 以及修正方法对于周期图的谱估计， 当数据长度 Ｎ太大时， 谱 曲线图像起伏加剧 ， 如 果 Ｎ太小， 谱 分辨率又不好 ，因此需要改进 。利用数论变换快速算法是将
随 着 所 取 的信 号 序 列 长度 的不 同 ， 所 得 到 的 周 期 图也 不 而所截取样本之外的数据假 设为零 。根据截 取的个样本数据 因 此 ，
周期图法估计 出功率谱 。这些方法实质上依赖 于 Ｆ Ｆ Ｔ，实现 能 得 到 比较 稳 定 的估 值 。 较为容易，可 以采用快速数论变换使计算量大大 降低 。但 由 以利用快速数论变换算法进行修 正改进 。 对于离散 随机信号有：
信号的功率谱密度描述随机信号的功率谱在时域和频域 傅里叶变换， 然后取其幅频特性 的平方并除 以序 列长度 Ｎ。 由 随频率的分布 。利用给定的个样本数据估计一个平稳随机信 于 序 列 ｘ （ ｎ ） 的 离散 傅 里 叶变 换 具 有 周 期性 ， 因而 这 种 功 率谱
号 的功 率 谱 密度 叫做 谱 估 计 ，谱估 计 方 法 分 为 非 参 数 化方 法 也具有周期性 ， 常称为周期 图。周期 图法是把 随机序列 Ｘ （ ｎ ） 和 参 数 化 方 法 。 非 参数 化 方 法 又 叫做 经典 谱 估 计 ，而 参 数 化 的 Ｎ观测数据视为－ － Ｉ ￣ ｅ ， 量有 限的序列 ， 直接计算 ｃ的离散傅
谱估计又 叫做现代 谱估计 。 ２经典功率谱估计 经典 功率谱估 计是截取很长的数据 中的一段作为样本 ， 估计 出其功率谱可 以利用相 关函数估计功率谱、也可 以利用
里叶变换 ， 得Ｘ （ ｋ ） 。然后再取其服值 的平方 ， 并除 以Ｎ， 作为 序列 ｘ （ ｎ ） 真实功率谱估计。信号功率谱 的一个有偏估值 。 而 且， 当信号序列的长度增大到无穷时， 估值的方差不趋 于零 。 同， 这种现象称为随机起伏 。由于随机起伏 大， 使用周 期图不
… …
因此 取平稳随机信号 Ｘ （ ｎ ） 的有限个观察值 Ｘ （ Ｏ ） ， ｘ （ １ ） ，
于利用周 期图法和 自相关法 得到的功率谱方差性能不好 ，可 …… ｘ （ Ｎ一 １ ） ， 求 出数 论 变 换 。
设有 ｌ Ｚ ｖ ， ｎ ＝ ｌ ， ２ ， ３ ， …… ， Ｎ． １ ， 如果在序列 Ｘ 。 ， Ｘ 。 ， ｘ ２ ，
要以数论变换快速算法研究经典谱估计 中的修正算法， 目前经典谱估计中主要采用周期 图法和 自相关法， 而数论 变换
修正算法是在上述方法基础上进行 改进得到 的。 关键 词 数论 变换 功率谱估 计
文献标识码 ： Ａ 中 图 分类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
１引言
周期图法是为 了得到功率谱估值 ，先取信号序列的离散
Ｎ 点 的有 限长 序 列 ｘ （ ｎ ） 分 段 求 周期 取 余 。 将 长 度 为 Ｎ 的数 据 分 为 Ｌ段 ， 每一段长度为 Ｍ， 对 每一 段 数 据 进 行 谱 估 计 ， 然 后
然后在 （ － Ｎ， Ｎ） 内Ｒ ｘ （ ｍ） 作数 论 变 换 ， 得 到功 率 谱
ａ Ｏ Ｒ （ ｍ） ｅ
， Ｘ Ｎ ． 上 的一 个 变 换
Ｎ －１
Ｓ
） ＝ａ Ｒ （ ｍ） ｅ
Ｏ 、
＿
Ｘ Ｋ ＝∑ｘ （ ｎ ） ａ （ ｍｏ ｄ Ｎ）
（ １ ）
其中ｋ ＝ ０ ， １ ， ２ ， ……， Ｎ 一 １ ， ａ ｉ Ｚ
（ ，
（ ） ＝ ２
Ｓ ｘ
３ 周期图法
一
对 Ｌ段求平均得到长度为 Ｎ的数据 功率谱 。
科 教导刊 ｒ 电子版Ｊ・２ ０ １ ４年第 １ ０期 ｒ 中ｊ一
５实验
图１ ： 用相 关函数获得 的功率谱
６ 结论
图３ ： 利用 ＮＴ Ｔ修 正后得到 的功率谱
对 于 平 稳 随机 过程 来 说 ，功 率 谱 理 论 上 的 数 值 是 不可 能
机 信 号 的有 限 个 离 散值 Ｘ（ ０ ） ， Ｘ （ １ ） ， … …Ｘ （ Ｎ． １ ） 求 出相 关 函 数：
ｎ ＝ ０ ， １ ， ２ ， ……， Ｎ一 １ ， 并且满足 （ １ ） 式具有循环卷积特性， 则 称（ ２ ） 为一维数论变换 ， 记为 ＮＴ Ｔ ， 其 中０ 【 ∈Ｚ。 ４经典谱估计 的改进 从上面的分析知， 周期图法不满足一致估计 的条件， 必须
ｐ
具 有 如 下 形 式 的逆 变 换
Ｎ－ Ｉ
１ ）
ｘ （ ｎ ） ＝ Ｎ ∑ Ｘ（ ｋ ） （ ｍｏ ｄ Ｎ） ，
ｎ ＝０
（ ２ ）
上式 中 凡 （ ｍ） 为 离 散 随 机 信 号 的 自相 关 函数 ， Ｓ ｘ （ ｅ ｊ ） 为
功率谱密度。如果获取 随机信号的 自相关 函数 ，可 以通过相 关 函数 的估值求数 论变换 即为功率谱密度 。这样可 由平稳随
实现的， 只能用有限观测数据来逼近真实值， 估计结果的好坏， 与实验 拟合 的数 学模 型及采用 的处理方法有关系。
参 考文 献
［ １ 】 李俭 川， 温激鸿， 陈循． 快速小波变换算法与信噪分离［ Ｍ】 ｌ 国防科技大学 出
版 社， ２ ０ ０ ７ ．
【 ２ ］ 姚武任 ． 经典谱估计方法 的ＭＡ Ｔ Ｌ Ｂ分析【 华中理工大学学报 ， ２ ０ ０ ０ （ ２ ８ ） ． 【 ３ ］ 曹宁， 虞湘滨． 基 于Ｆ Ｆ Ｔ的快速小波变换算法研究【 Ｊ ］ ． 河海大学场中分校学