选修4-4极坐标练习题(有答案)
上海 华东师范大学第一附属初级中学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图所示，某人P 去草场打靶，猎物R 被放在了两个固定物E 、F 之间，满足4EF =，1RF =,此人在移动过程中，始终保持到E ，F 两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（ ）A ．2B ．152C ．1D ．21032．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 3．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．254．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为23cos ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1B ．3C ．2D ．235．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆6．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ． 7．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（ ）． A ．2sin ρθ= B ．2sin ρθ=- C ．2cos ρθ= D ．2cos ρθ=- 8．圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=9．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B ．22C ．2D ．110．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin3y x = D ．1sin 3y x =11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y +-= C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为___________．16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为:cos 424l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程21222x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．在以O 为极点的极坐标系中，曲线2cos ρθ=和直线cos =a ρθ相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为__________．18．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．19．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．已知直线l 的参数方程为1324x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于, A B 两点，求AB ．22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB =，求α的值.24．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()cos sin 0m m ρθθ+=>.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且6OA OM ON ⋅⋅=，求m .25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积. 26．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。
高中数学选修4-4解答题
选修4-4一、解答题1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．6.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.7.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．9.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
高中数学选修4-4检测：极坐标系及其极直互化(附解析)
⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2)2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π)4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－435．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( ) A.9 B.10 C.14 D.27.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛4174π，8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2) 解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛22ππ，.答案 C 3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π) 解析 与极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛32π，相同的点可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππk 232，(k ∈Z)，只有⎪⎭⎫⎝⎛372π，适合.答案 C4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝x 2＋y 2＝32＋(－4)2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D5．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限，tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B7.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫⎝⎛4174π，解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，，⎪⎭⎫⎝⎛474π，在极轴下方，点⎪⎭⎫⎝⎛4174π，在极轴上方，故选D.8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 3 9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2. 因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛422π，.答案：A10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B。
高中数学选修4-4 北师大版 点的极坐标与直角坐标的互化 作业 Word版 含答案
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(2,0)D.(－2,0)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝2cos 3π2＝0， y ＝ρsin θ＝2sin 3π2＝－2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为(0，－2). 故应选B. 【答案】 B2.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4π3 【解析】 极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－ 3.∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3.【答案】 A3.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 【解析】 点P (－2， 2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.【答案】 B4.将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A.(5,53)B.(53，5)C.(5,5)D.(－5，－5)【解析】 x ＝10cos π3＝5，y ＝10sin π3＝5 3. 【答案】 A5.已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 【解析】 AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，根据互化公式x ＝ρcos θ＝cos 4π3＝－12，y ＝ρsin θ＝sin 4π3＝－32，因此，所求直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.【答案】 B 二、填空题6.直角坐标为(－π，π)的点的极坐标为________. 【解析】 ∵ρ＝(－π)2＋π2＝2π，tan θ＝－1， 当0≤θ＜2π时，θ＝3π4或7π4， 又(－π，π)在第二象限，∴θ＝3π4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π4为所求. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π47.已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2＜θ＜π，则点M 的直角坐标为________.【导学号：12990009】【解析】 ∵tan θ＝－43，π2＜θ＜π， ∴cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4， ∴点M 的直角坐标为(－3,4). 【答案】 (－3,4)8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 的倾斜角等于________.【解析】 把极坐标化为直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.∴k AB ＝32－3232－32＝－1，∴直线l 的倾斜角为3π4.【答案】 3π4 三、解答题9.将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐标. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3；(3)()3， 3；(4)(－2，－23). 【解】 (1)x ＝5cos 2π3＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52，y ＝5sin 2π3＝5×32＝532，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532. (2)x ＝3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3×12＝32，y ＝3×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－332，所以极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－323.(3)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝y x ＝33， 所以θ＝π6，所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.(4)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，∴θ＝4π3，∴点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3. 10.已知极坐标系中的三点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，11π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6.(1)将A ，B ，C 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断△ABC 的形状.【解】 (1)A ，B ，C 三点的直角坐标为： A (0,5)，B (－43，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，－32. (2)|AB |＝(43)2＋(5－4)2＝7， |AC |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋322＝7，|BC |＝⎝⎛⎭⎪⎫－43＋3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋322＝7，因为|AB |＝|AC |＝|BC |，所以△ABC 是正三角形.[能力提升]1.在极坐标系中，两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，则PQ 的中点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，7π12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，5π12【解析】∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，∴P (1，3).∵Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3).∴中点M 的直角坐标为(－1，3). ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.【答案】 B2.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )【导学号：12990010】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，34π 【解析】 复数－3＋3i 对应的点P 的坐标为P (－3,3). ∴ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1. 又点(－3,3)在第二象限，∴θ＝34π，故其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π.【答案】 A3.已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________.【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝22， 又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)， ∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.4.已知定点P⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标.【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3， ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3，∴∠PO ′x ′＝2π3， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业
选修4-4 极坐标系课时作业一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．答案：B2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3，200π)中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．答案：A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案：A4．已知极坐标平面内的点P (2，－5π3)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A ．(2，π3)，(1，3)B ．(2，－π3)，(1，－3)C ．(2，2π3)，(－1，3)D ．(2，－2π3)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1， y ＝2sin (－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.∴点M 的直角坐标为(－3,4)．答案：(－3,4)三、解答题9．设点A (1，π3)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为B (1，－π3) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíìx ′＝2x y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得îíì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A (42，π4)，所以(42)2＋r2－82r·cos π4 5.即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。
选修4-4极坐标练习1
选修4-4《极坐标》练习11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是----------------- ----- （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是------------------------------------------------------------ - （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是--------------------------------------------- （ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是-------------------------------------------------- （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为---------------------------- （ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ，则ABO ∆为------------------------ （ ）A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是------------------------------------------ （ ）A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆 8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是-------------------------- （ ） A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10．极坐标方程52sin42=θρ化为直角坐标方程是11．圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为12．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是13、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于 14、与曲线01cos =+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是_ ________15．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'P 点坐标。
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高中数学选修4-4极坐标系练习题姓名 班别 成绩一、选择题（每题5分，共50分）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线 D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C.圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆C ． 双曲线D ． 圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π) D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点 C.以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆 D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆 10．方程θθρsin ＋ cos 11＝ －表示的曲线是( )．A ． 圆B ．椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线二、填空题（每题5分，共30分） 11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为 ． 12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是 ． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是 ． 15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为 ．16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是 ． 三、解答题（共70分）17．（10分）求以点A (2，0)为圆心，且经过点B (3，3π)的圆的极坐标方程．18．（12分）先求出半径为a ，圆心为(ρ0，θ0)的圆的极坐标方程．再求出(1)极点在圆周上时圆的方程；(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程．19．（12分）已知直线l 的极坐标方程为)(4π＋ cos 24θρ=，点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)，求点P 到直线l 距离的最大值及最小值．20．（12分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．21.（12分）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积 .22.（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.参考答案一、选择题 1．A解析：ρ＝4，tan θ＝3＝232－－，θ＝3π2．故选A ． 2．D解析：∵ ρ cos θ＝2sin θ cos θ，∴cos θ＝0或 ρ＝2sin θ，ρ＝0时，曲线是原点；ρ＞0时，cos θ＝0为一条射线，ρ＝2sin θ 时为圆．故选D ．3．B解析：原方程化为2cos =+θρρ，即x －y x 2 ＝ ＋22，即y 2＝4(1－x )．故选B ． 4．D解析：∵x ＋2y ＝3，即x ＋2y －3＝0，又∵ 0≤θ ≤4π，ρ＞0，故选D ． 5． B解析：两曲线化为普通方程为y ＝2和(x ＋1)2＋y 2＝1，作图知选B ． 6．D解析：曲线化为普通方程后为13422=+y x ，变换后为圆． 7．Ｃ解析： 直线可化为x ＋y ＝22，圆方程可化为x 2＋y 2＝9．圆心到直线距离d ＝2， ∴弦长＝22223－＝52．故选Ｃ． 8．B解析： 圆为：x 2＋y 2－y x 2 ＋ 2＝0，圆心为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222－,，即) ，(4π71，故选B ． 9．B解析： 原方程化为ρ＝10cos θ，cos θ＞0．∴0≤θ ＜2π和23π＜θ＜2π，故选B ． 10．C解析：∵1＝ρ－ρcos θ＋ρsin θ，∴ρ＝ρcos θ－ρsin θ＋1，∴x 2＋y 2＝(x －y ＋1)2，∴2x －2y －2xy ＋1＝0，即xy －x ＋y ＝21，即(x ＋1)(y －1)＝－21，是双曲线xy ＝－21的平移，故选Ｃ．二、填空题 11．ρ＝2a sin θ．解析：圆的直径为2a ，在圆上任取一点P (ρ，θ)， 则∠AOP ＝2π－θ 或θ－2π， ∵ρ＝2a cos ∠AOP ， 即2cos 2 ＝ πθρ－a ＝2a sin θ．12．极点或垂直于极轴的直线．解析：∵ ρ·(ρ cos θ －1)＝0，∴ρ＝0为极点，ρ cos θ －1＝0为垂直于极轴的直线． 13．ρ sin θ ＝1．解析：2＝ sin θρ×1 ＝ 4πsin ．14．(42，4π3)．解析：由8sin θ＝－8cos θ 得tan θ＝－1．O (第11题)(第12题)ρ＞0得⎩⎨⎧θθ cos sin ∴θ＝4π3；又由 ρ＝8sin4π3得 ρ＝42． 15．⎪⎭⎫ ⎝⎛6π32 ，．解析：由 ρ cos θ＝3有 ρ＝θ cos 3，θcos 3＝4cos θ，cos 2θ ＝43，θ ＝6π；消去θ 得 ρ2＝12，ρ＝23． 16．ρ＝6R cos θ．解析：设Q 点的坐标为(ρ，θ)，则P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛θρ ，31，代回到圆方程中得31ρ＝2R cos θ，ρ＝6R cos θ．三、解答题17．解析：在满足互化条件下，先求出圆的普通方程，然后再化成极坐标方程． ∵A (2，0)，由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 3π＝7， ∴圆方程为(x －2)2＋y 2＝7， 由⎩⎨⎧θρθρsin ＝ cos ＝y x 得圆的极坐标方程为(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝7，即 ρ2－4ρ cos θ －3＝0．18．(1)解析：记极点为O ，圆心为C ，圆周上的动点为P (ρ，θ)， 则有CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos ∠COP ，即a 2＝ρ2＋20ρ－2 ρ·ρ0·cos (θ－θ 0)．当极点在圆周上时，ρ0＝a ，方程为 ρ＝2a cos (θ－θ 0)；(2)当极点在圆周上，圆心在极轴上时，ρ0＝a ，θ 0＝0，方程为 ρ＝2a cos θ． 19．解析：直线l 的方程为42＝ρ(22cos θ －22sin θ)，即x －y ＝8． ∴点P (3cos θ ，sin θ )到直线x －y ＝8的距离为28sin cos 3＝－－d θθ286π＋ cos 2＝－)(θ，∴最大值为25，最小值为23． 20．因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，＞0， ＜0.所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 236AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． 21..22.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．。