极坐标练习题(含详细答案)

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨
⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y
后，曲线C 变为曲线
x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )
A ．25x 2
＋9y 2
＝1 B ．9x 2
＋25y 2
＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 2
9＝1
2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝1
4 B ．x 2＋(y ＋12)2＝1
4 C ．x 2＋(y －12)2＝1
4 D ．(x －12)2＋y 2＝1
4
答案 D
解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π
2) B ．(1，－π
2) C ．(1,0) D ．(1，π) 答案 B
解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π
2)，故应选B.
5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π
3，3) B ．(2，2π
3，3) C ．(2，4π
3，3) D ．(2，5π
3，3) 答案 C
6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝π
2(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝π
2(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
答案 B
解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方
程化为极坐标方程分别为θ＝π
2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.
7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()
A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1
答案 C
解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.
8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标
为(4，π
3)，则|CP|＝________.
答案2 3
解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.
9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π
6)到直线l：ρsin(θ－π
6)＝1的
距离是________．
答案3＋1
解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1.
10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2
，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，
得ρ＝2y ρ＋4x
ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
答案 4 3
解析 直线ρsin(θ＋π
4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得
2
r 2
－d 2
＝2
42
－(222
)2
＝4 3.
12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π
4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．
答案 (1,0) (2，π
4)
解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．
13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
答案 (2，3π
4)
解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.
联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1，
即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π
4)．
14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4
解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π
4.
∴点M 的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4.
15．已知点M 的极坐标为(6，11π
6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．
答案 (－33，－3)
解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π
6)， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×3
2＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×1
2＝－3. ∴点M 的直角坐标为(33，－3)．
∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．
16．在极坐标系中，点P (2，3π
2)到直线l ：
3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．
答案 1
解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所
以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|
32
＋4
2
＝1.
17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1
解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．
(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为3
2的圆，易得|RP |的最小值为1.
18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π
2)
解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.
直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝1.。