选修4-4极坐标练习题

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高中数学选修4-4 北师大版点的极坐标与直角坐标的互化作业 Word版含答案

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(2,0)D.(－2,0)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝2cos 3π2＝0， y ＝ρsin θ＝2sin 3π2＝－2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为(0，－2). 故应选B. 【答案】 B2.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4π3 【解析】极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－ 3.∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3.【答案】 A3.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 【解析】点P (－2， 2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.【答案】 B4.将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A.(5,53)B.(53，5)C.(5,5)D.(－5，－5)【解析】 x ＝10cos π3＝5，y ＝10sin π3＝5 3. 【答案】 A5.已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 【解析】 AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，根据互化公式x ＝ρcos θ＝cos 4π3＝－12，y ＝ρsin θ＝sin 4π3＝－32，因此，所求直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.【答案】 B 二、填空题6.直角坐标为(－π，π)的点的极坐标为________. 【解析】 ∵ρ＝(－π)2＋π2＝2π，tan θ＝－1，当0≤θ＜2π时，θ＝3π4或7π4，又(－π，π)在第二象限，∴θ＝3π4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π4为所求. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π47.已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2＜θ＜π，则点M 的直角坐标为________.【导学号：12990009】【解析】 ∵tan θ＝－43，π2＜θ＜π， ∴cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4， ∴点M 的直角坐标为(－3,4). 【答案】 (－3,4)8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 的倾斜角等于________.【解析】把极坐标化为直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.∴k AB ＝32－3232－32＝－1，∴直线l 的倾斜角为3π4.【答案】 3π4 三、解答题9.将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐标. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3；(3)()3， 3；(4)(－2，－23). 【解】 (1)x ＝5cos 2π3＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52，y ＝5sin 2π3＝5×32＝532，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532. (2)x ＝3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3×12＝32，y ＝3×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－332，所以极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－323.(3)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝y x ＝33，所以θ＝π6，所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.(4)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，∴θ＝4π3，∴点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3. 10.已知极坐标系中的三点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，11π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6.(1)将A ，B ，C 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断△ABC 的形状.【解】 (1)A ，B ，C 三点的直角坐标为： A (0,5)，B (－43，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，－32. (2)|AB |＝(43)2＋(5－4)2＝7， |AC |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋322＝7，|BC |＝⎝⎛⎭⎪⎫－43＋3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋322＝7，因为|AB |＝|AC |＝|BC |，所以△ABC 是正三角形.[能力提升]1.在极坐标系中，两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，则PQ 的中点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，7π12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，5π12【解析】∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，∴P (1，3).∵Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3).∴中点M 的直角坐标为(－1，3). ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.【答案】 B2.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )【导学号：12990010】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，34π 【解析】复数－3＋3i 对应的点P 的坐标为P (－3,3). ∴ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1. 又点(－3,3)在第二象限，∴θ＝34π，故其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π.【答案】 A3.已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________.【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)， ∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.4.已知定点P⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标.【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3， ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3，∴∠PO ′x ′＝2π3， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.。

(完整版)高中数学选修4-4极坐标练习题2(详细答案附后).docx

极坐标练习题2第1页共6页高中数学选修4-4 极坐标练习题 2班号姓名一、选择题1．已知M5,，下列所给出的不能表示M 点的坐标的是3A．5,3B．5,4C．5,2D．5,5 3332．点P 1,3，则它的极坐标是A．2,B．2,4C．2,D．2,433 333．极坐标方程cos表示的曲线是4A ．双曲线B ．椭圆C．抛物线D．圆4．圆 2 (cos sin) 的圆心坐标是A．1,4B．1,C．2,D．2,24445．在极坐标系中，与圆 4 sin相切的一条直线方程为A ．sin 2 B．cos 2 C．cos4D．cos46．已知点A2,, B3,O 0,0则ABO 为2,24A ．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形7．(0) 表示的图形是4A ．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆8．直线与cos() 1 的位置关系是A ．平行B ．垂直C．相交不垂直D．与有关，不确定9．两圆 2 cos,2sin 的公共部分面积是A.1B.2C.1D.2422极坐标练习题 2第2页共 6 页10.已知点P1的球坐标是P1(23, , ), P2的柱坐标是 P2(5, ,1) ,求P1P2的最小值.4A．2 3 6 B．23 5 C．23 5 D．2二、填空题11．极坐标方程 4 sin 2 5 化为直角坐标方程是212．圆心为C3,，半径为 3 的圆的极坐标方程为613．已知直线的极坐标方程为sin(2，则极点到直线的距离是)4214、在极坐标系中，点11到直线sin() 1的距离等于 ____________．P 2,6615、与曲线cos 1 0 关于对称的曲线的极坐标方程是___________________ ．4三、解答题16．说说由曲线y tan x 得到曲线y3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．2， O 为极点，求使''点坐标．17．已知P 5,POP是正三角形的P318．棱长为 1 的正方体OABC D1A1B1C1中，对角线OB'与 BD '相交于点P，顶点 O 为坐标原点， OA 、 OC 分别在x轴 , y轴的正半轴上，已知点P 的球坐标P,,，求, tan , sin ．119．ABC 的底边BC10, A B, 以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程．220．在平面直角坐标系中已知点 A （ 3， 0）， P 是圆x 2y 2 1 上一个运点，且AOP 的平分线交PA 于 Q 点，求 Q 点的轨迹的极坐标方程．PQO A21．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3,，半径 r 1，Q点在圆C上运动．6（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）若 P 在直线 OQ 上运动，且OQ : QP2:3 ，求动点P的轨迹方程．22．建立极坐标系证明：已知半圆直径AB2r (r 0) ，半圆外一条直线 l 与AB所在直线垂直相交于点 T ，并且AT2a(2a r )．若半圆上相异两点M 、 N 到l的距离2MP,NQ，满足 MP:MA NQ : NA 1，则 MA NA AB ．23．如图，AD BC ，D是垂足，H是AD上任意一点，直线BH 与 AC 交于 E 点，直线CH 与 AB 交于 F 点，求证：EDA FDA ．AFEHB D C极坐标练习题 2 参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案ACDABDABCA二．填空题11． y25x25 ；12． 6 cos；13．2； 14． 3 1 ； 15． sin1 0462三．解答题16．解： ytan x 的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，得到 ytan 2x ，2再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到曲线y 3 tan 2x ．设 y '3 tan x ' ，变换公式为x 'x, 0 y 'y, 0将其代入 y '3 tan x ' 得3 x '1 1 ， xy '223 y17.P '(5, )或 P '(5, ) 318.3a, tan2 ,sin1219. 解:设 M,是曲线上任意一点 ,在ABC 中由正弦定理得 :103 )sin(sin22得A 的轨迹是:30 40 sin 220.: O ,2, Q , ,P1,2为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设解以SOQASOQPSOAP1 3 sin 1 sin 1 3 1 sin2 ， 3cos22 2221．（ 1）26 cos0 ；（ 2） 215 cos50 06622．证法一：以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos，设 M1 ,1 ,N(2 ,2)，则 12r cos 1 ，22r cos2 ，又MP2a 1 cos 12a 2r cos21， NQ2a2 cos22a 2r cos22 ，MP 2a 2r cos 21 2r cos 1 NQ2a 2r cos 222r cos 2cos 1, cos 2 是方程 r cos 2r cos a 0 的两个根，由韦达定理：cos 1cos21， MA NA2r cos 12r cos 2 2rAB证法二：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos，设 M1 ,1, N (2, 2)又由题意知， M1 ,1, N (2 , 2 )2a上， 2r cos2a 在抛物线1 cos1 ，cosr cos 2r cos a由韦达定理： cos 1cos， cos 1 , cos 2 是方程 r cos 2r cos a 0 的两个根，21， MA NA 2r cos 1 2r cos 2 2r AB23．证明：以 BC 所在的直线为x 轴， AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，设A(0, a) ，B(b,0) ， C (c,0) ， H ( 0, t) ，则A:xylBH1，即 txby btbtFlCH x y 1，即 txcyct 0E:tHcl AC :xy 1 ，即 ax cy accaxy1 ，即 axby ab0 BDCl AB :abE bc a t , b c t，F bc t a , at c bab ct ab ctbt ac ac bt kDEb c at ab ctb c at ab ct bc a tbc a tkDFc b atbt acb c at ac bt bc t abc a tEDCFDB , EDA FDA。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业

选修4-4 极坐标系课时作业一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．答案：B2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3，200π)中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．答案：A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案：A4．已知极坐标平面内的点P (2，－5π3)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A ．(2，π3)，(1，3)B ．(2，－π3)，(1，－3)C ．(2，2π3)，(－1，3)D ．(2，－2π3)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)，即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1， y ＝2sin (－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6)，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.∴点M 的直角坐标为(－3,4)．答案：(－3,4)三、解答题9．设点A (1，π3)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为B (1，－π3) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3)．关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíìx ′＝2x y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得îíì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A (42，π4)，所以(42)2＋r2－82r·cos π4 5.即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。

高中数学选修4-4极坐标系与极坐标方程综合练习一

17．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cosθ＋sinθ 和直线 l：ρsin(θ－π4)＝ 22. (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
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(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标．解析 (1)圆 O：ρ＝cosθ＋sinθ，即 ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y
B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1
D．ρsinθ＝1
二、填空题：（共 10 小题，每小题 5 分）
7．若曲线的极坐标方程为 ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 8．在极坐标系中，点 P(2，－π6)到直线 l：ρsin(θ－π6)＝1 的距离是________． 9．在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB(其中 O 为极点)的面积为________． 10．在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋π4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为________． 11．在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的圆心的极坐标是________，它与方程 θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 12．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 的交点的极坐标为________． 13．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线 ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0 被曲线 C：ρ＝2 所截得弦的中点的极坐标为 ________． 14．已知点 M 的极坐标为(6，116π)，则点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为________． 15．在极坐标系中，点 P(2，32π)到直线 l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3 的距离为________．

(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

坐标系与参数方程练习题及参考答案

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．ρ=1B ．ρ=cos θC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是（）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

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极坐标系姓名学号成绩 1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 ( )． A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π) D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆10．方程θθρsin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为． 12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是． 15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为．16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是．17．求以点A (2，0)为圆心，且经过点B (3，3π)的圆的极坐标方程．18．先求出半径为a ，圆心为(ρ0，θ0)的圆的极坐标方程．再求出 (1)极点在圆周上时圆的方程；(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程．19．已知直线l 的极坐标方程为)(4π＋ cos 24θρ=，点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)，求点P 到直线l 距离的最大值及最小值．20．A ，B 为椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)上的两点，O 为原点，且AO ⊥BO ．求证：(1)221＋1OB OA 为定值，并求此定值；(2)△AOB 面积的最大值为ab 21，最小值为2222 ＋ ba b a ．参考答案一、选择题 1．A解析：ρ＝4，tan θ＝3＝232－－，θ＝3π2．故选A ． 2．D解析：∵ ρ cos θ＝2sin θ cos θ，∴cos θ＝0或 ρ＝2sin θ，ρ＝0时，曲线是原点；ρ＞0时，cos θ＝0为一条射线，ρ＝2sin θ 时为圆．故选D ．3．B解析：原方程化为2cos =+θρρ，即x －y x 2 ＝＋22，即y 2＝4(1－x )．故选B ． 4．D解析：∵x ＋2y ＝3，即x ＋2y －3＝0，又∵ 0≤θ ≤4π，ρ＞0，故选D ． 5． B解析：两曲线化为普通方程为y ＝2和(x ＋1)2＋y 2＝1，作图知选B ． 6．D解析：曲线化为普通方程后为13422=+y x ，变换后为圆． 7．Ｃ解析：直线可化为x ＋y ＝22，圆方程可化为x 2＋y 2＝9．圆心到直线距离d ＝2， ∴弦长＝22223－＝52．故选Ｃ． 8．B解析：圆为：x 2＋y 2－y x 2 ＋ 2＝0，圆心为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222－,，即) ，(4π71，故选B ． 9．B解析：原方程化为ρ＝10cos θ，cos θ＞0．∴0≤θ ＜2π和23π＜θ＜2π，故选B ．10．C解析：∵1＝ρ－ρcos θ＋ρsin θ，∴ρ＝ρcos θ－ρsin θ＋1，∴x 2＋y 2＝(x －y ＋1)2，∴2x －2y －2xy ＋1＝0，即xy －x ＋y ＝21，即(x ＋1)(y －1)＝－21，是双曲线xy ＝－21的平移，故选Ｃ．二、填空题 11．ρ＝2a sin θ．解析：圆的直径为2a ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，则∠AOP ＝2π－θ 或θ－2π， ∵ρ＝2a cos ∠AOP ，即2cos 2 ＝ πθρ－a ＝2a sin θ．12．极点或垂直于极轴的直线．解析：∵ ρ·(ρ cos θ －1)＝0，∴ρ＝0为极点，ρ cos θ －1＝0为垂直于极轴的直线． 13．ρ sin θ ＝1．O (第11题)(第12题)解析：2＝ sin θρ×1 ＝ 4πsin ．14．(42，4π3)．解析：由8sin θ＝－8cos θ 得tan θ＝－1．ρ＞0得⎩⎨⎧θθ cos sin ∴θ＝4π3；又由 ρ＝8sin4π3得 ρ＝42． 15．⎪⎭⎫ ⎝⎛6π32 ，．解析：由 ρ cos θ＝3有 ρ＝θ cos 3，θcos 3＝4cos θ，cos 2θ ＝43，θ ＝6π；消去θ 得 ρ2＝12，ρ＝23． 16．ρ＝6R cos θ．解析：设Q 点的坐标为(ρ，θ)，则P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛θρ ，31，代回到圆方程中得31ρ＝2R cos θ，ρ＝6R cos θ．三、解答题17．解析：在满足互化条件下，先求出圆的普通方程，然后再化成极坐标方程． ∵A (2，0)，由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 3π＝7， ∴圆方程为(x －2)2＋y 2＝7，由⎩⎨⎧θρθρsin ＝ cos ＝y x 得圆的极坐标方程为(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝7，即 ρ2－4ρ cos θ －3＝0．18．(1)解析：记极点为O ，圆心为C ，圆周上的动点为P (ρ，θ)，则有CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos ∠COP ，即a 2＝ρ2＋20ρ－2 ρ·ρ0·cos (θ－θ 0)．当极点在圆周上时，ρ0＝a ，方程为 ρ＝2a cos (θ－θ 0)；(2)当极点在圆周上，圆心在极轴上时，ρ0＝a ，θ 0＝0，方程为 ρ＝2a cos θ． 19．解析：直线l 的方程为42＝ρ(22cos θ －22sin θ)，即x －y ＝8．＞0，＜0.∴点P (3cos θ ，sin θ )到直线x －y ＝8的距离为28sin cos 3＝－－d θθ286π＋ cos 2＝－)(θ，∴最大值为25，最小值为23． 20．解析：(1)将方程化为极坐标方程得θθρ2222222＋＝ sin cos a b b a ，设A (ρ1，θ1)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋ 12θρ ，，则221＋1OBOA22211＋1＝ρρ＋sin ＋cos ＝22122122b a a b θθ221221222π＋sin ＋2π＋cos b a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ 2222＋＝ba b a ，为定值．(2) S △AOB ＝21ρ1ρ2＝12212222＋21θθsin a cos b b a 12212222＋θθcos a sin b b a221222222＋2sin 4121＝b a b －a b a θ)(，当4π ＝ 1θ时，S △AOB 最小值为2222＋b a b a ，当θ 1＝0时，S △AOB 最大值为ab 21．。