多目标进化算法在航天器转移轨道中途修正中的应用

式 ( 7 )为牛顿迭代方程 ,收敛条件为 Lam bert方 程得到满足 ,即 ( 8) F ( a) <ξ 其中 ,ξ 为很小的一个正值 。
2. 2 变轨速度计算
3 多目标进化算法设计
对于中途修正问题 , 优化的目标是最终位置误 差和修正消耗的速度增量 , 优化变量是修正的时间 点 , 2 个优化目标不可能同时收敛 ,因此是典型的多 目标优化问题 。本文采用 2 次修正策略 , 设计多目 标进化算法 (MOEA ) 。 3. 1 Pareto 方法 传统的多目标优化方法是将各个子目标聚合成 一个带正系数的单目标函数 ,系数由决策者决定 ,最 终获得的是由权重系数决定的优化解 ; 而 Pareto 方 法则是以求解问题的 Pareto 最优解集合为目的 , 最 终获得一组位于 Pareto 非劣解集前端的优化解 , 它 们构成了问题的 Pareto 最优解集 。关于 Pareto 优 胜、 非劣解集及其前端 、 Pareto 最优解集的定义可参 考文献 [ 6 ]。 目标向量定义为 : L = ΔR ΔV , 其中 ΔR 为 最终位置误差 ,ΔV 为 2 次修正速度脉冲增量之和 。 个体向量定义为 : x = t1
σ) 图 1 初始位置误差与速度误差的时间历程 (3
・
r = v
・
v =-
μ
r
3
r + gJ 2
( 1)
其中 , gJ 2为地球 J2 摄动项 3 1 2 gJ 2 = J2 R Eμ 5 ・ 2 r
rx 1 -
5 rz
r
2
2
ry 1 -
5 rz
r
2
2
rz 3 -
5 rz
r
2
2
T
( 2)
其中 , J2 为地球 J2 项带谐系数 , R E 为地球半 径 ,μ为地球引力常数 。
producing the velocity increm en t based on the infor m a tion of the transfer poin t of the in itia l orbit and the in 2 ject poin t of the ta rget orbit . B u t by the influence of errors, it is necessa ry to execu te m idcou rse correction in orbit2transfer . The in ject accu racy and fuel consum ption a re deter m ined by the correction ti m e selected. Tw ice correction stra tegy is chosen and a m u lti2objective evolu tiona ry a lgorithm is designed. F itness of the un it is com pu ted by Pareto rank and N iche coun t sha re function. Genetic opera tion is ca rried ou t by the sha re function selection and adaptive va ria tion w h ile an ex terna l g roup is established to store Pareto optim a l solu tions and the bounda ry va lues of the optim a l solu tion set is inducted to speed up the convergence of the a lgorithm tow a rd the fron t of the Pareto non 2dom ina ted solu tion set . S im u la tion resu lts ind ica te tha t the Pa2
[6]
通过迭代方法得到了在预定飞行时间 , 航天器 从当前位置到达目标点的转移轨道半长轴 a , 由式 ( 5 )可得 ε和 δ ,则转移轨道的半通径为
p =
4 a ( S - r1 ) ( S - r2 )
r
2 12
sin
2
ε +δ 2
( 9)
其中 , S = 令 q =
r 1 + r 2 + r 12
2
。
r 2 p [7] , m = , 则转移轨道的偏心率为 : r1 r 1 e = c2 q + c1 q + c0 c2 = c1 = 2 2
( 10 )
1 -
Δf 2co s
m
+
1
m
2
c sc Δf
( 11 )
2
1 +
1 sec2 Δf 2 m
t2 。
2 Δf c0 = sec 2 r1 × r2 其中 Δf = arctan , r1 , r2 分别为当前位置和 r1 ・ r2 目标点在地心惯性系下的位置矢量 。 由
2 Lambert变轨速度的计算
2. 1 求解 Lambert方程 Lam bert方程
[1]
为:
( 3)
1 误差分析
1. 1 转移点初始状态误差
μ
a
3
1 2
Δ t = (ε - δ ) - ( sin ε - sin δ )
首先对航天器在转移轨道的飞行过程进行误差 分析 ,误差源主要有 : 转移点初始状态误差 、 地球扁 率摄动 、 中途修正速度误差等 ,其中转移点初始状态 误差对入轨精度的影响最大 ,如图 1 所示 。 σ) ,速度误差 初始状态的位置误差只有 90m ( 3 σ) ,经过转移轨道的飞行 , 最终目标入 只有 3m / s ( 3 轨点的位置误差达到 10 量级 , 速度误差达到 10 量级 ,因此进行中途修正是十分必要的 。 1. 2 地球 J2 项摄动 除了初始状态误差 ,地球 J2 项摄动对航天器转 移轨道入轨精度的影响也较大 。在地心惯性坐 标系下 ,航天器运动状态方程为 :
第 27 卷 第 5期
王蒙一等 : 多目标进化算法在航天器转移轨道中途修正中的应用
・53・
航天器由低轨道进入高轨道 , 需要由推进级产 生推力 ,使其首先进入转移轨道 。理论上只要根据 初始轨道转移点和目标轨道进入点的信息 , 计算并 [1] 产生转移所需速度增量 , 就可以完成轨道转移 。 但是实际上在较长的转移飞行时间内 , 航天器受到 导航误差 、 轨道摄动等各种误差因素的影响 ,无法准 确地在预定时间点飞到目标轨道上的预定位置 。因 此 ,对航天器在转移轨道上进行中途修正是十分必 要的 。 针对航天器转移轨道中途修正问题的研究较 少 。文献 [ 2 ]采用显式制导方法设计转移轨道修正 方案 ,选择了类似间距比的修正策略 ; 文献 [ 3 ]通过 算例对修正时机的选择进行了一些定性分析 , 但是 没有得到具体结果 ; 文献 [ 4 ]将中途修正视为多目 标优化问题 ,采用经典的权重系数法将多目标问题 转化为单目标问题 , 构造遗传算法进行修正时机的 寻优计算 ,但并没有完整地得到多目标问题的 Pare2 to 最优解集 。 本文采用多目标进化算法 (M ulti - objective Ev2 olutionary A lgorithm s, MOEA s) 对修正 时机 进行 寻 优 ,采用 Pareto 排序法确定个体适应度 ,同时引入小 生境系数 (N iche Count) 概念 ,构造共享函数修正个 体适应度 ,并通过建立外部种群储存进化过程中得 到的 Pareto 最优解 , 为了加快搜索方向向 Pareto 非 劣集前沿进化的速度 , 在初始种群中引入了解集的 边界点 。当进化过程结束后 , 就可以较完整地得到 中途修正问题的 Pareto 最优解集 。
reto optim a l solu tion set can be ach ieved in teg ra lly and un ifor m ly by the a lgorithm in th is paper by w h ich
the need of eng ineering applica tion can be m et
Oct12009 Vol127, No. 5
多目标进化算法在航天器转移轨道 中途修正中的应用
王蒙一 江 涌
中国航天科工集团第二研究院第二总体设计部 ,北京 100854 摘 要 理论上只要根据初始轨道转移点和目标轨道进入点的信息 , 计算并产 生转移所需速度增量 ,就可以完成航天器的轨道转移 。但是由于误差的影响 ,需 要在转移轨道飞行中进行中途修正 , 修正时刻的选择决定了入轨精度和燃料消 耗 。本文选择二次修正策略 ,设计了一种多目标进化算法 ,以 Pareto 秩和小生境 参数共享函数计算个体适应度 ,采用共享函数选择法 、 自适应变异法进行遗传操 作 。同时构造外部种群储存 Pareto 最优解 , 并引入最优解集边界值以加快算法 收敛至非劣解集前端的速度 。通过仿真验证 , 该算法能够较完整地得到中途修 正时机问题的 Pareto 最优解集 ,且分布均匀 ,满足工程实际的需要 。 关键词 中途修正 ; 多目标进化 ; 遗传算法 +1 中图分类号 : V412. 4 文献标识码 : A ( ) 文章编号 : 1006 2 3242 2009 05 2 0052 2 06
[5] 5 1
其中 , a 为转移轨道的半长轴 ,ε,δ 定义如下 : ε - δ = E2 - E1 ε - sin δ = e ( sin E2 - sin E1 ) sin
( 4)
E1 , E2 分别为初始转移点和入轨点在转移轨道 上的偏近点角 。 一般情况下 ,由初始轨道到目标的转移是在转 移轨道半圈之内完成 ,即 0 <ε ,δ<π,则有 :