聊城大学实变函数期末试题

《实变函数》一、单项选择题1、下列各式正确的是（ C D ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃（C ）1lim n n n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n n n k nn A A ∞∞==→∞=⋃⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）（A ）=P c (B) 0m P = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5. 下列说法不正确的是( C )(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C )(A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ⊆⊆⊆⊆ ，则有（B ）。

（A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞⎛⎫⋃> ⎪⎝⎭ (B) 1lim n n n n m E m E ∞=→∞⎛⎫⋃= ⎪⎝⎭（C ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭;（D ）以上都不对 9、设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-= ，则（ B ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1](C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=10、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）（A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1m E = 11、下列说法不正确的是（ C ）(A) 若B A ⊂，则B m A m **≤ （B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测 12、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ A ）（A ）nn n n mEE m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) nn n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1（C ）nn n n mEE m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对13、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数 14．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ C ）(A) M (B) N (C) M N ⋂ (D) ∅16. 下列断言( B )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 17. 下列断言中( C )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；18. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ A ）是正确的(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积 19、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（A ）.A 1m E = .B 0m E = .C E是不可测集 .D E 是闭集二、填空题1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=∅2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,oE =∅,E =[]0,1.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂，则称E 是L 可测的.4、)(x f 可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.5、设11[,2],1,2,n A n nn=-= ，则=∞→n n A lim （0，2）6、设E R ⊂,若,E E ⊂'则E 是闭集；若0E E ⊂，则E 是开集；若'E E =，则E 是完备集.7、设{}i S 是一列可测集，则11i ii i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃≤ ⎪⎝⎭∑8、设集合N M ⊂，则()M M N --=N9、设P 为Cantor 集，则 =P c ，m P =0，oP =∅。

10、果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数f的可测函数，则对任意,0>δ存在子集E E ⊂δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

11、)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的充要条件是|)(x f |在E 上可积. 12、设P 为Cantor 集，则 =P c ，m P =0，oP =∅。

13、设{}i S 是一列可测集，则11i ii i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃≤⎪⎝⎭∑14、鲁津定理：设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ⊂，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

15、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果对任意0,0εδ>∃>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n = 只要()1nii i ba δ=-<∑，就有1|()()|ni i i Fb F a ε=-<∑则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

16、()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的一一映射为()()()t a n ,,.2x x a x a b b a ππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦.17、设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的 集合，则{}1(,)cos ,0(0,)1E x y y x y y x ⎧⎫'==≠≤⎨⎬⎩⎭ ，E ︒=∅ .18、设E 是闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则m E b a =-.19、设nE R⊂,0nx R∈,若0x 的任一邻域内都含有无穷多个属于E 的点,则称0x 是E 的聚点.20设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤= ⎣⎦, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 三、判断1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则c E 是无处稠密集。

F2、若0=mE ，则E 一定是可数集.F3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

F4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0Ef x >⎰ F5、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ⋃B 是可数集.T6、若0=mE ，则0=E m F7、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数F8．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0Ef x >⎰ F9、任意多个开集之交集仍为开集 F10、若0=mE ，则E 一定是可数集.F 11、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

F12、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

F 13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

T14、 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则m A m B <.F 15、设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. F16、点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为闭集.F17、任意多个闭集的并集是闭集.F 四、解答题1、设2,(),x x f x a x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在x a =处连续，即不连续点为正测度集，因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,11()3f x dx x dx ==⎰⎰2、求0ln()lim cos xnx n exdx n∞-+⎰解：设ln()()cos xn x n f x exn-+=，则易知当n →∞时，()0n f x →又因'2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时， ln()ln()ln 3ln 3(1)33x n n x x n n x x n nx nn++++=≤≤++从而使得ln 3|()|(1)3xn f x x e-≤+但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有0lim ()lim ()0n n nn f x dx f x dx ∞∞==⎰⎰，0lim()lim ()0n n nnf x dx f x dx ∞∞==⎰⎰3、求极限 121322limsin 1n nx nxdx n x→∞+⎰解：记12322()sin 1n nx f x nx n x=+则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R ）可积和（L ）可积. 又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞→x x f n n111223222221|()||sin |||211n nx nx f x nx xn xn x-=≤≤⋅++ ,2,1],1,0[=∈n x且2121-⋅x在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得12111322lim ()()lim sin 001n n n nx R f x dx nxdx dx n x→∞→∞===+⎰⎰⎰4、设,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。