全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》(共五套)

全国高等教育自学考试线性代数试题说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( ) A ．44 B ．45 C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( ) A ．A +E B ．A -E C ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( ) A ．A -1CB -1 B ．CA -1B -1 C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s ≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( ) A ．A T A 是s×s 对称矩阵 B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( ) A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关 B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关 C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出 D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( ) A ．A =0 B ．A =E C ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( ) A ．10 B ．20 C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设A ，B 是正定矩阵，则( ) A ．AB 一定是正定矩阵 B ．A +B 一定是正定矩阵 C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

填错、不填均无分。

11．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k= ． 12．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则矩阵A =__________．13．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________. 14．设向量α=(6, -2, 0, 4), β=（-3，1，5，7），向量γ满足2α+γ=3β, 则γ=____________.15．实数向量空间V={(x 1, x 2, …, x n )|3 x 1+ x 2+…+ x n =0}的维数是_______． 16．矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541420713032的秩=___________.17．设21αα,是齐次线性方程组Ax =0的两个解，则A （3217α+α）=_________. 18．设方阵A 有一个特征值为0，则det(A 3)=__________. 19．设P 为正交矩阵，若（Px , Py ）=8, 则（x , y ）=_________.20．设f (x 1，x 2，x 3)=31212322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_____.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算行列式ba c c2c2b 2c a b b2a2a2c b a ------22．判断矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．23．求向量组1α=(1，2，-1，-2),2α=(2，5，-6，-5),3α=(3，1，1，1), 4α=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．24．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-03204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其结构解．25．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3142281232的特征值和特征向量．26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．f (x 1，x 2，x 3)=32312122216223x x x x x x x x -+-+四、证明题(本大题共1小题，6分)27．设方阵A 满足(A +E )2=E ，且B 与A 相似，证明：B 2+2B =0．全国高等教育自学考试（二）线性代数试题说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列等式中，正确的是（ ） A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.设矩阵A =100220340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.03.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（ ） A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0）的极大线性无关组为（ ） A.1α，4α B.1α，3α C.1α，2αD.2α，3α5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A.111010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.200020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C.108010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.108018001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =⎛⎫ ⎪⎝⎭0B A 0，则C -1是（ ）A.11B 00A --⎛⎫⎪⎝⎭ B.110B A 0--⎛⎫⎪⎝⎭ C.110A B0--⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11A 00B --⎛⎫ ⎪⎝⎭7.设A为3阶矩阵，A的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(A*)=（）A.0B.1C.2D.38.设λ=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵114-⎛⎫⎪⎝⎭A有一个特征值等于（）A.43- B.34-C.34D.439.设矩阵A=100212312-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则A的对应于特征值λ=0的特征向量为（）A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）TD.（0，1，1）T10.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.1223⎛⎫⎪⎝⎭B.3336-⎛⎫⎪-⎝⎭C.0331⎛⎫⎪-⎝⎭D.1001-⎛⎫⎪-⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式111123149=___________.12.设矩阵A=112231⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭，B=（1，2，3），则BA= ___________.13.行列式3040111101005322--中第4行各元素的代数余子式之和为___________.14.设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=___________.15.设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为___________.16.设3阶方阵A的行列式|A|=12，则|A3|=___________.17.已知3维向量α=（1，-3，3），β=（1，0，-1）则α+3β=___________.18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________.19.设1，2，…，n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=___________.20.二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3的秩为___________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.已知矩阵A =111210101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =100210021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.22.设A =123221343⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =2153⎛⎫ ⎪⎝⎭，C =132031⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，且满足AXB=C ，求矩阵X.23.求向量组1α=(1,2,1,0)T ，2α=（1,1,1,2）T ，3α=（3,4,3,4）T ，4α=（4,5,6,4）T 的秩与一个极大线性无关组.24.判断线性方程组12341234134x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+=-⎩是否有解，有解时求出它的解.25.设向量1α=（1，1，0）T ，2α=（-1，0，1）T ， （1）用施密特正交化方法将1α，2α化为正交的1β，2β； （2）求3β，使1β，2β，3β两两正交.26.已知二次型f=22212313x x x 2x x ++-，经正交变换x=Py 化成了标准形f=2212y 2y +，求所用的正交矩阵P.四、证明题（本大题共6分）27.设A 为5阶反对称矩阵，证明|A |=0.高等教育自学考试（三）线性代数试题说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=（ ） A.-1B.14-C. 14D.12.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若A B ≠,则必有（ ）A.B.C.D.3.设212()222122323235x x x f x x x x x x x ---=------，则方程()0f x =的根的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.设A 为n 阶方阵，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A. A T A 是对称矩阵 B. AA T 是对称矩阵 C. E +A T 是对称矩阵D. A +A T 是对称矩阵5.设111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 0,0,1,2,3i i b i ≠≠=,则矩阵A 的秩为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 36.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵*A 的秩为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A. -10 B. -4 C. 4 D. 10 8.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3)E A -=++λλλ，则A =（ ）A. -18B. -6C. 6D. 189.已知线性方程组1231231243224x x x x ax x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩无解，则数a =( )A.12-B. 0C.12D. 110.设二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++正定，则数a 的取值应满足（ ）A.a ＞9B. 3≤a ≤9C.-3＜a ＜3D. a ≤-3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。